2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第3課時）定點、定值、探索性問題教學案 文（含解析）北師大版

《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第3課時）定點、定值、探索性問題教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問題（第3課時）定點、定值、探索性問題教學案 文（含解析）北師大版（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3課時定點、定值、探索性問題定點問題【例1】(2019開封第一次質量預測)已知動圓M恒過點(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動直線l過點P(0，2)，且與點M的軌跡交于A，B兩點，點C與點B關于y軸對稱，求證：直線AC恒過定點解(1)由題意，得點M與點(0,1)的距離始終等于點M到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(0,1)為焦點，直線y1為準線的拋物線，則1，p2.圓心M的軌跡方程為x24y.(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，設直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，kAC，則直線AC的方程

2、為yy1(xx1)，即yy1(xx1)xx.x1x28，yxx2，故直線AC恒過定點(0,2)規(guī)律方法 圓錐曲線中定點問題的兩種解法 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點F(1,0)，O為坐標原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB過x軸上一定點解(1)因為拋物線y22px(p0)的焦點坐標為(1,0)，所以1，所以p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明：當直線AB的斜率不存在時，設A，B.因為直線OA，OB的斜率之積為，所以，化簡得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此時直線AB的方程為x8.當直線AB的斜

3、率存在時，設其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立方程組消去x，得ky24y4b0.由根與系數(shù)的關系得yAyB，因為直線OA，OB的斜率之積為，所以，即xAxB2yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線AB過定點(8,0)定值問題【例2】已知橢圓C：1，過點A(2,0)，B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由橢圓過點A(2,0)，B(0,1)知

4、a2，b1.所以橢圓方程為y21，又c.所以橢圓離心率e.(2)證明：設P點坐標為(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4，由B點坐標(0,1)得直線PB方程為：y1(x0)，令y0，得xN，從而|AN|2xN2，由A點坐標(2,0)得直線PA方程為y0(x2)，令x0，得yM，從而|BM|1yM1，所以S四邊形ABNM|AN|BM|(2)(1)2.即四邊形ABNM的面積為定值2.規(guī)律方法求定值問題的常用方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值 已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，點(2，)在C上(1)求C的方程

5、；(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.所以C的方程為1.(2)證明：設直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得 (2k21)x24kbx2b280.故xM，yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOMk.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值探索性問題【例3】如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點P(0,1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設O為坐標原點，過點P的動直線

6、與橢圓交于A，B兩點是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解(1)由已知，點C，D的坐標分別為(0，b)，(0，b)又點P的坐標為(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為ykx1，點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當1時，23.此時3為定值當直線AB的斜率不存在時，直線AB即為直線CD，此時213，

7、故存在常數(shù)1，使得為定值3.規(guī)律方法解決探索性問題的注意事項探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在(1)當條件和結論不唯一時要分類討論；(2)當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；(3)當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法 已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由解(1)依題意，可設橢圓C的方程為1(ab0)

8、，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設存在符合題意的直線l，設其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在(2017全國卷)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.(1)求點P的軌跡方程；(2)設點Q在直線x3上，且1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.解(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(x

9、x0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在C上，所以1.因此點P的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知F(1,0)設Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.(五)平面解析幾何中的高考熱點問題命題解讀1. 圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識，主要以一個小題一個大題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上2高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質，高考中

10、的解答題，在第(1)問中常以求曲線的標準方程，在第(2)問以求作或證明位置關系、定點、定值、最值、范圍、探索性問題為主. 這些試題的命制有一個共同特點，就是起點低，但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復雜的運算，對考生解決問題的能力要求較高. 圓錐曲線的標準方程與性質圓錐曲線的方程與性質是高考考查的重點，求離心率、準線、雙曲線的漸近線是常見題型，多以選擇題或填空題的形式考查，各種難度均有可能【例1】(2017全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點，則C的方程為()A1B1C1D1B由yx可得.由橢圓1的焦點為(3,0)，(3,0)，可得a2b2

11、9.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.規(guī)律方法解決此類問題的關鍵是熟練掌握各曲線的定義、性質及相關參數(shù)間的聯(lián)系. 掌握一些常用的結論及變形技巧，有助于提高運算能力 (1)(2017全國卷)若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長為2，則C的離心率為()A2 B CD(2)(2017全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為()A16B14 C12D10(1)A(2)A(1)設雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為

12、2，由弦長為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A(2)因為F為y24x的焦點，所以F(1,0)由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484216，當且僅當k2，即k1時，取得等號故選A圓錐曲線中的定點、定值問題定點、定值問題一般涉及曲線過定點、與曲線上的動點有關的定

13、值問題以及與圓錐曲線有關的弦長、面積、橫(縱)坐標等定值問題【例2】(2017全國卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點解(1)由于P3，P4兩點關于y軸對稱，故由題設知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點又由知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設l：xt，由題設知t0，且|t|2，可得A，B的坐標分別為，則k1k

14、21，得t2，不符合題設從而可設l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設可知16(4k2m21)0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0，解得k.當且僅當m1時，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(2，1)規(guī)律方法1.證明直線過定點，應根據(jù)已知條件建立直線方程中斜率k或截距b的關系式，此類問題中的定點多在坐標軸上2解決定值問題應以坐標運算為主，需建立相應的目標函數(shù)，然后代入相應的坐標運算，結果即可得到3無論定點或定值問

15、題，都可先用特殊值法求出，然后再驗證即可，這樣可確定方向和目標 已知橢圓E：1(ab0)過點(0,1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設直線l：yxm與橢圓E交于A，C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，問B，N兩點間的距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由解(1)由題意可知，橢圓的焦點在x軸上，橢圓過點(0,1)，則b1.由橢圓的離心率e，解得a2，所以橢圓E的標準方程為y21.(2)設A(x1，y1)，C(x2，y2)，線段AC的中點為M(x0，y0)由整理得x22mx2m220.由(2m)24(2m22)84m20，解得m0)交于A，

16、B兩點，O為坐標原點，(4，12)(1)求直線l和拋物線C的方程；(2)拋物線上一動點P從A到B運動時，求ABP面積的最大值解(1)由得x22pkx4p0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因為(x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，所以解得所以直線l的方程為y2x2，拋物線C的方程為x22y.(2)設P(x0，y0)，依題意，知拋物線過點P的切線與l平行時，ABP的面積最大，又yx，所以x02，故x02，y0x2，所以P(2，2)此時點P到直線l的距離d.由得x24x40，故x1x24，x1x24，所以|AB|4.所

17、以ABP面積的最大值為8.圓錐曲線中的證明與探索性問題圓錐曲線中的證明問題是高考的?？紵狳c，其命題切入點較多，既可以考查位置關系，也可以與定點、定值、存在性問題綜合命題，有時也涉及一些否定質命題，證明時一般常用直接法或反證法難度一般較大【例4】(本小題滿分12分)(2018全國卷)設橢圓C：y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設O為坐標原點，證明：OMAOMB.信息提取 看到求直線方程，想到利用先求斜率再利用點斜式求直線方程；看到證明兩角相等，想到利用兩直線的斜率之和為0可證明兩角相等規(guī)范解答(1)由已知得F

18、(1,0)，l的方程為x1.1分由已知可得，點A的坐標為或.2分又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.3分(2)證明：當l與x軸重合時，OMAOMB0.4分當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以OMAOMB.5分當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，6分則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.7分由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.8分將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.9分則2kx1x23k(x1x2)4k0.11分從而kMAkMB0，故MA，MB

19、的傾斜角互補所以OMAOMB.綜上，OMAOMB.12分易錯與防范解答本題(2)時易漏掉對特殊情況的討論，即直線與x軸重合及直線與x軸垂直，想當然認為斜率一定存在而致錯，解答此類問題時應特別注意直線斜率存在與否通性通法圓錐曲線中的證明問題多涉及證明定值、點在定直線上等，有時也涉及一些否定性命題，證明方法一般是采用直接法或反證法 在直角坐標系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(1)當k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有OPMOPN？說明理由解(1)由題設可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故

20、y在x2處的導數(shù)值為，所以C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點證明如下：設P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意大題增分專訓1(2019衡水聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)過點(，1)，

21、離心率為，直線l：kxy20與橢圓C交于A，B兩點(1)求橢圓C的標準方程；(2)是否存在實數(shù)k，使得|(其中O為坐標原點)成立？若存在，求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由解(1)依題意，得解得a24，b22，c22，故橢圓C的標準方程為1.(2)假設存在符合條件的實數(shù)k.依題意，聯(lián)立方程消去y并整理，得(12k2)x28kx40.則64k216(12k2)0，即k或k0)(1)證明：k；(2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且0.證明：2|.證明(1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得k0.由題設知1，m，于是k.由題設得0m，故k.(2)由題意得F(1,0

22、)設P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2mb0)的一個焦點為F2(1,0)，且該橢圓過定點M.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設點Q(2,0)，過點F2作直線l與橢圓E交于A，B兩點，且，2，1，以QA，QB為鄰邊作平行四邊形QACB，求對角線QC長度的最小值解(1)由題易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故橢圓E的標準方程為y21.(2)設直線l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小與k2的取值有關由可得y1y2，(y1y20)從而，由2，1得，從而2，解得0k2.令t，則t，|28t228t1682，當t時，|min2.- 18 -