2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第8節(jié) 圓錐曲線的綜合問(wèn)題（第3課時(shí)）定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題教學(xué)案 文（含解析）北師大版

第3課時(shí)定點(diǎn)、定值、探索性問(wèn)題定點(diǎn)問(wèn)題【例1】(2019·開(kāi)封第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，且與直線y1相切(1)求圓心M的軌跡方程；(2)動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且與點(diǎn)M的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求證：直線AC恒過(guò)定點(diǎn)解(1)由題意，得點(diǎn)M與點(diǎn)(0,1)的距離始終等于點(diǎn)M到直線y1的距離，由拋物線定義知圓心M的軌跡為以點(diǎn)(0,1)為焦點(diǎn)，直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，則1，p2.圓心M的軌跡方程為x24y.(2)證明：由題知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則C(x2，y2)，聯(lián)立得x24kx80，kAC，則直線AC的方程為yy1(xx1)，即yy1(xx1)xx.x1x28，yxx2，故直線AC恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)規(guī)律方法 圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法 已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為，求證：直線AB過(guò)x軸上一定點(diǎn)解(1)因?yàn)閽佄锞€y22px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以1，所以p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A，B.因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為，所以·，化簡(jiǎn)得t232.所以A(8，t)，B(8，t)，此時(shí)直線AB的方程為x8.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立方程組消去x，得ky24y4b0.由根與系數(shù)的關(guān)系得yAyB，因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為，所以·，即xAxB2yAyB0，即·2yAyB0，解得yAyB32或yAyB0(舍去)所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線AB過(guò)定點(diǎn)(8,0)定值問(wèn)題【例2】已知橢圓C：1，過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由橢圓過(guò)點(diǎn)A(2,0)，B(0,1)知a2，b1.所以橢圓方程為y21，又c.所以橢圓離心率e.(2)證明：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4，由B點(diǎn)坐標(biāo)(0,1)得直線PB方程為：y1(x0)，令y0，得xN，從而|AN|2xN2，由A點(diǎn)坐標(biāo)(2,0)得直線PA方程為y0(x2)，令x0，得yM，從而|BM|1yM1，所以S四邊形ABNM|AN|·|BM|(2)(1)2.即四邊形ABNM的面積為定值2.規(guī)律方法求定值問(wèn)題的常用方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值 已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值解(1)由題意有，1，解得a28，b24.所以C的方程為1.(2)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入1，得 (2k21)x24kbx2b280.故xM，yMk·xMb.于是直線OM的斜率kOM，即kOM·k.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值探索性問(wèn)題【例3】如圖，橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當(dāng)1時(shí)，23.此時(shí)··3為定值當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD，此時(shí)····213，故存在常數(shù)1，使得··為定值3.規(guī)律方法解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)探索性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開(kāi)放思維，采取另外合適的方法 已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由解(1)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，所以(3t)24×3×(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t±2.由于±24，4，所以符合題意的直線l不存在(2017·全國(guó)卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且·1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.解(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由得x0x，y0y.因?yàn)镸(x0，y0)在C上，所以1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2y22.(2)證明：由題意知F(1,0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)，(1m，n)，·33mtn，(m，n)，(3m，tn)由·1得3mm2tnn21.又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以·0，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.(五)平面解析幾何中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題命題解讀1. 圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分，也是高考必考知識(shí)，主要以一個(gè)小題一個(gè)大題的形式呈現(xiàn)，難度中等偏上2高考中的選擇題或填空題主要考查圓錐曲線的基本性質(zhì)，高考中的解答題，在第(1)問(wèn)中常以求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在第(2)問(wèn)以求作或證明位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問(wèn)題為主. 這些試題的命制有一個(gè)共同特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問(wèn)或第(3)問(wèn)中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問(wèn)題的能力要求較高. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線的方程與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線的漸近線是常見(jiàn)題型，多以選擇題或填空題的形式考查，各種難度均有可能【例1】(2017·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A1B1C1D1B由yx可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.規(guī)律方法解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各曲線的定義、性質(zhì)及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系. 掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力 (1)(2017·全國(guó)卷)若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A2 B CD(2)(2017·全國(guó)卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A16B14 C12D10(1)A(2)A(1)設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A(2)因?yàn)镕為y24x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)由題意直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|·|x1x2|··.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)48484×216，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k±1時(shí)，取得等號(hào)故選A圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題定點(diǎn)、定值問(wèn)題一般涉及曲線過(guò)定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問(wèn)題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長(zhǎng)、面積、橫(縱)坐標(biāo)等定值問(wèn)題【例2】(2017·全國(guó)卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn)解(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)又由知，橢圓C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，則k1k21，得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0，解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，1)規(guī)律方法1.證明直線過(guò)定點(diǎn)，應(yīng)根據(jù)已知條件建立直線方程中斜率k或截距b的關(guān)系式，此類(lèi)問(wèn)題中的定點(diǎn)多在坐標(biāo)軸上2解決定值問(wèn)題應(yīng)以坐標(biāo)運(yùn)算為主，需建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，然后代入相應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)果即可得到3無(wú)論定點(diǎn)或定值問(wèn)題，都可先用特殊值法求出，然后再驗(yàn)證即可，這樣可確定方向和目標(biāo) 已知橢圓E：1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：yxm與橢圓E交于A，C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點(diǎn)為N，問(wèn)B，N兩點(diǎn)間的距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓過(guò)點(diǎn)(0,1)，則b1.由橢圓的離心率e，解得a2，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，線段AC的中點(diǎn)為M(x0，y0)由整理得x22mx2m220.由(2m)24(2m22)84m2>0，解得<m<，所以x1x22m，x1x22m22，y1y2(x1x2)2mm，所以線段AC的中點(diǎn)為M.則|AC|××.l與x軸的交點(diǎn)為N(2m,0)，所以|MN|，所以|BN|2|BM|2|MN|2|AC|2|MN|2.故B，N兩點(diǎn)間的距離為定值.圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題大致分為兩類(lèi)：一類(lèi)是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；二類(lèi)是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問(wèn)題【例3】平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：1(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxnn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|x4x3| .由已知，四邊形ACBD的面積S|CD|·|AB| ，當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.規(guī)律方法圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一種是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過(guò)建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二種是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線幾何意義求最值 如圖所示，已知直線l：ykx2與拋物線C：x22py(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(4，12)(1)求直線l和拋物線C的方程；(2)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求ABP面積的最大值解(1)由得x22pkx4p0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22pk，y1y2k(x1x2)42pk24.因?yàn)?x1x2，y1y2)(2pk，2pk24)(4，12)，所以解得所以直線l的方程為y2x2，拋物線C的方程為x22y.(2)設(shè)P(x0，y0)，依題意，知拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線與l平行時(shí)，ABP的面積最大，又yx，所以x02，故x02，y0x2，所以P(2，2)此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離d.由得x24x40，故x1x24，x1x24，所以|AB|××4.所以ABP面積的最大值為8.圓錐曲線中的證明與探索性問(wèn)題圓錐曲線中的證明問(wèn)題是高考的?？紵狳c(diǎn)，其命題切入點(diǎn)較多，既可以考查位置關(guān)系，也可以與定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題綜合命題，有時(shí)也涉及一些否定質(zhì)命題，證明時(shí)一般常用直接法或反證法難度一般較大【例4】(本小題滿分12分)(2018·全國(guó)卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB.信息提取 看到求直線方程，想到利用先求斜率再利用點(diǎn)斜式求直線方程；看到證明兩角相等，想到利用兩直線的斜率之和為0可證明兩角相等規(guī)范解答(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.1分由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.2分又M(2,0)，所以AM的方程為yx或yx.3分(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0°.4分當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.5分當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，6分則x1，x2，直線MA，MB的斜率之和為kMAkMB.7分由y1kx1k，y2kx2k得kMAkMB.8分將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以x1x2，x1x2.9分則2kx1x23k(x1x2)4k0.11分從而kMAkMB0，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)所以O(shè)MAOMB.綜上，OMAOMB.12分易錯(cuò)與防范解答本題(2)時(shí)易漏掉對(duì)特殊情況的討論，即直線與x軸重合及直線與x軸垂直，想當(dāng)然認(rèn)為斜率一定存在而致錯(cuò)，解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意直線斜率存在與否通性通法圓錐曲線中的證明問(wèn)題多涉及證明定值、點(diǎn)在定直線上等，有時(shí)也涉及一些否定性命題，證明方法一般是采用直接法或反證法 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a0)交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說(shuō)明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，所以C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意大題增分專(zhuān)訓(xùn)1(2019·衡水聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(，1)，離心率為，直線l：kxy20與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))成立？若存在，求出實(shí)數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意，得解得a24，b22，c22，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)假設(shè)存在符合條件的實(shí)數(shù)k.依題意，聯(lián)立方程消去y并整理，得(12k2)x28kx40.則64k216(12k2)>0，即k>或k<.(*)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由|，得·0，x1x2y1y20，即x1x2(kx12)(kx22)0，即(1k2)x1x22k(x1x2)40.40，即0，k22，即k±，滿足(*)式故存在實(shí)數(shù)k±，使得|成立2(2018·全國(guó)卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0)(1)證明：k<；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：2|.證明(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0<m<，故k<.(2)由題意得F(1,0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P1，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.3已知橢圓E：1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(1,0)，且該橢圓過(guò)定點(diǎn)M.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q(2,0)，過(guò)點(diǎn)F2作直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且，2，1，以QA，QB為鄰邊作平行四邊形QACB，求對(duì)角線QC長(zhǎng)度的最小值解(1)由題易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小與k2的取值有關(guān)由可得y1y2，(y1y20)從而，由2，1得，從而2，解得0k2.令t，則t，|28t228t1682，當(dāng)t時(shí)，|min2.- 18 -