2022年高中數(shù)學 1.2.1平面的基本性質學案 蘇教版必修2

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1、2022年高中數(shù)學 1.2.1平面的基本性質學案 蘇教版必修2 我們在日常生活中常見到一些物體如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都給我們以平面的感覺．那么我們能夠將這些面定義為平面嗎？測量中的平板儀、望遠鏡或照相機等都用三條腿的架子支撐在地面上，你知道其中的道理嗎？ 1．我們知道，幾何里的平面是無限延展的，通常把水平的平面畫成一個平行四邊形，常用符號的規(guī)定是：①A∈α，讀作：“點A在平面α內(nèi)”；B?α，讀作：“點B在平面α外或點B不在平面α內(nèi)”．②A∈l，讀作：“點A在直線l上”；B?l，讀作：“點B在直線l外或點B不在直線l上”．③l?α，讀作：“直線l在平面α內(nèi)”；l?α，讀作：“

2、直線l在平面α外或直線l不在平面α內(nèi)”． 2．公理1.(1)文字語言：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)． (2)符號語言：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α?l?α． 3．公理2.(1)文字語言：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線． (2)符號語言：P∈α，P∈β?α∩β＝l，P∈l． 4．公理3.(1)文字語言：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面． (2)符號語言：A∈l，B∈l，C?l?三點A、B、C確定唯一平面α． 5．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平

3、面． 6．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 7．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．, 一、公理1 公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)． 該公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．證明一條直線在某一平面內(nèi)，即只需證明這條直線上有兩個不同的點在該平面內(nèi)即可． 二、公理2 公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線． 該公理主要用于判定或證明兩個平面相交及三點在同一條直線上．證明點共線的問題，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點(依據(jù)：由點在線上，線在面內(nèi)

4、，推出點在面內(nèi))，這樣，可根據(jù)公理2證明這些點都在這兩個平面的公共直線上．證明共點問題，一般是先證明兩條直線交于一點，再證明這點在第三條直線上，而這一點是兩個平面的公共點，這第三條直線是這兩個平面的交線． 三、公理3及其三個推論 公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面． 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． 公理3和三個推論是證明點和點、點和線、線和線共面的重要依據(jù)，是把空間問題化歸成平面問題的重要渠道． 知識點一　平面的概念及符號表示 1

5、．下列說法中，正確的有________(填序號)． ①一個平面長4 m，寬2 m； ②2個平面重疊在一起比一個平面厚； ③一個平面的面積是25 cm2； ④一條直線的長度比一個平面的長度大； ⑤圓和平行四邊形都可以表示平面． 解析：根據(jù)平面定義，前4個說法均不正確，⑤正確． 答案：⑤ 2．點M在直線a上，且直線a在平面α內(nèi)，可記為________． 解析：點、線、面的關系采用集合中的符號來記． 答案：M∈a?α 3．根據(jù)下列條件，畫出圖形：平面α∩平面β＝AB，直線CD?α，CD∥AB，E∈CD，直線EF∩β＝F，F(xiàn)?AB. 解析：由題意畫圖形如下：

6、 知識點二　平面基本性質三條公理 4．平面α、β有公共點A，則α、β有________個公共點． 解析：根據(jù)公理2. 答案：無數(shù) 5．如圖，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直線AB∩l＝D ，過A、B、C三點確定的平面為γ，則平面γ、β的交線必過點________． 解析：根據(jù)公理判定點C和點D既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi)，故在β與γ的交線上． 答案：C和D 6．空間任意四點可以確定________個平面． 解析：若四點共線，可確定無數(shù)個平面；若四點共面不共線，可確定一個平面；若四點不共面，可確定四個平面． 答案：1個或4個或無數(shù) 知識點三　平

7、面基本性質三條推論 7．下列命題說法正確的是________(填序號)． ①空間中不同三點確定一個平面； ②空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面； ③一條直線和一個點能確定一個平面； ④梯形一定是平面圖形． 解析：根據(jù)三個公理及推論知①②③均不正確． 答案：④ 8．下列各圖的正方體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則使這四個點共面的圖形是________(把正確圖形的序號都填上)． 解析：①中PS∥RQ，③中SR∥PQ，由推論3知四點共面． 答案：①③ 9．點A在直線l上但不在平面α內(nèi)，則l與α的公共點有__________個． 答案：0或1

8、 綜合點一　點共線的問題 10．如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設A1C∩平面ABC1D1＝E，則B、E、D1三點的關系是________________________________． 解析：連接AC、A1C1、AC1，則E為A1C與AC1的交點，故E為AC1的中點．又ABC1D1為平行四邊形，所以B、E、D1三點共線． 答案：共線 11．如右圖，E、F、G、H分別是空間四邊形中AB、BC、CD、DA上的點，且EH與FG交于點O. 求證：B、D、O三點共線． 證明：∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面ABD，H∈平面ABD. ∴EH?平面ABD.

9、 ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD. 同理可證O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD， 即B、D、O三點共線． 綜合點二　線共點問題 12．如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1、AB的中點，求證：D1E、CF、DA三線共點． 證明：如圖，連接EF，A1B，D1C， ∵E、F為AA1、AB的中點， ∴EF綊A1B. 又∵A1B綊D1C， ∴EF綊D1C. 故直線D1E、CF在同一個平面內(nèi)，且D1E、CF不平行，則D1E、CF必相交于一點，設該點為M.又∵M∈平面ABCD且M∈平面ADD1A1，∴M∈AD，即D1E、CF

10、、DA三線共點． 綜合點三　點、線共面問題 13．下列敘述中，正確的是________(填序號)． ①若點P在直線l上，點P在直線m上，點P在直線n上，則l、m、n共面； ②若點P在直線l上，點P在直線m上，則l、m共面； ③若點P不在直線l上，點P不在直線m上，點P不在直線n上，則l、m、n不共面； ④若點P不在直線l上，點P不在直線m上，則l、m不共面； ⑤若點P在直線l上，點P不在直線m上，則l、m不共面． 解析：∵P∈l，P∈m，∴l(xiāng)∩m＝P.由推論2知，l、m共面． 答案：② 綜合點四　同一法證直線共面 14．已知：a∥b∥c，直線l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求證：a、b、c、l四線共面． 證明：∵a∥b，∴a、b確定一個平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. ∴AB?α，即l?α.同理，由b∥c，得b，c確定一個平面β，可證l?β. ∴l(xiāng)、b?α，l、b?β. ∵l∩b＝B，∴l(xiāng)、b只能確定一個平面． ∴α與β重合．故c在平面α內(nèi)． ∴a、b、c、l四線共面．