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1、2022年高一數(shù)學(xué)上 第二章 函數(shù):函數(shù)2.2.1優(yōu)秀教案
[教學(xué)目的]
使學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的概念,能根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關(guān)系,求出它的解析式,并掌握解析式的一些形式的變換.
[重點(diǎn)難點(diǎn)]
重點(diǎn)、難點(diǎn):函數(shù)解析式的求法.
[教學(xué)過程]
一、復(fù)習(xí)引入
⒈用映射刻劃的函數(shù)的定義是什么?函數(shù)符號(hào)的含義是什么?函數(shù)的表示方法常用的有哪些?
答:函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集A到B的特殊映射f:x→y=f(x),xR,yCB;定義域A、值域C和定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則f稱為函數(shù)的三要素;符號(hào)y=f(x)表示y是x的函數(shù),不是f與x的乘積;函數(shù)的表示方法常用的有解析法、列表法
2、和圖象法,而中學(xué)階段所研究的函數(shù)主要是能用解析式表示的函數(shù)..
⒉引入:我們已經(jīng)了解了函數(shù)的概念和表示方法.在此基礎(chǔ)上,今天我們來學(xué)習(xí)確定函數(shù)解析式的幾種常見方法.
二、學(xué)習(xí)、講解新課
我們知道,把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)等式表示,這個(gè)等式就叫做函數(shù)的解析表達(dá)式,簡稱解析式.下面我們通過例題來說明求函數(shù)解析式的幾種常用方法
例1 ⑴已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
⑵已知f(+1)=x+2,求f(x+1);
⑶已知f(x)滿足2f(x)+f(1/x)=3x,求f(x);
⑷設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)且f
3、(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,圖象過點(diǎn)(0,3),求f(x)的解析式.
解:⑴設(shè)f(x)=ax+b,則3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-
2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,比較系數(shù)得a=2且5a+b=17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.
⑵設(shè)u=+11,則=u-1,x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)
=u2-1(u1),即f(u)=u2-1(u1), ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+11),
即f(x+1)=x2+2x(x0).
⑶∵已知2f(x)+f(1/x)=3x ---①,將①
4、中x換成1/x得2f(1/x)
+f(x)=3/x ---②,①×2-②得3f(x)=6x-3/x,∴f(x)=2x-1/x.
⑷設(shè)f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a0), ∵圖象過點(diǎn)(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3;又∵f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的兩實(shí)根平方和為10,∴得對(duì)稱軸x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10,即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10,∴a=1,b=-4,∴f(x)=x2-4x+3.
說明:求函數(shù)解析式常用的方法有:待定系數(shù)法(如⑴⑷)、換元法(如⑵)、構(gòu)造方程法(如⑶)等.
例
5、2 高為h,底面半徑為r的圓柱形容器內(nèi),以單位時(shí)間內(nèi)體積為a的速度充水,試求出水面高y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式,并求其定義域.(提示:圓柱的體積=底面積×高)
解:由題意有at=r2y,即y=(a/r2)t,∵0yh,即0(a/r2)h, ∴0tr2h/a,即定義域是[0,r2h/a].
說明:這是函數(shù)知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,其定義域是由實(shí)際問題所決定的.
練習(xí):⑴若f(1/x)=1/(1+x),則f(x)= ;
⑵已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,則f(x)= ;
⑶已知g(x)=1-2x,f[g(x)]=(1-x2)/x2(
6、x0),則f(1/2)= ;
⑷將長為a的鐵絲折成矩形,面積y關(guān)于邊長x的函數(shù)關(guān)系是
,其定義域是 ;
⑸已知f(x)=,若f(x)=10,則x= ;
⑹已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,則f(36)= .
解:⑴令u=1/x,則x=1/u,f(u)=u/(1+u),∴f(x)=x/(1+x);
⑵設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),∵f(0)=1,∴c=1,又f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x,即2ax+a+b=2x,比較系數(shù)得2a
7、=2且a+b=0,∴a=1,b=-1,∴f(x)=x2-x+1.
⑶由g(x)=1-2x=1/2,得x=1/4,∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15.
⑷設(shè)矩形的長為x,則寬為(a-2x)/2,∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x2,定義域是(0,a/2).
⑸由已知-2x<0,∴f(x)=x2+1=10,即x=3,又x0,∴x=-3.
⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]
=2(p+q).
三、小 結(jié)
⒈解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁;
⒉解析
8、式只表示一種對(duì)應(yīng)關(guān)系,與所取的字母無關(guān),如y=2x-1與u=2t-1是同一個(gè)函數(shù);
⒊求函數(shù)解析式的方法一般有待定系數(shù)法和換元法,若已知函數(shù)的構(gòu)造模式,可用待定系數(shù)法;若已知復(fù)合函數(shù)f[f(x)]的表達(dá)式來求f(x),常用換元法;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時(shí),甚至可直接用湊合法求解.
⒋用賦值法(特殊值法)求函數(shù)式中的參數(shù),是一種比較常用的方法.
⒌根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)的表達(dá)式,是應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的基礎(chǔ),在設(shè)定或選定自變量后去尋找等量關(guān)系,以求得表達(dá)式,要注意函數(shù)定義域應(yīng)由實(shí)際問題確定.
四、布置作業(yè)
(一)復(fù)習(xí):課本和課堂上的有關(guān)內(nèi)容.
(二)書面:⒈填空:
⑴若f(x)=2x+1,則f[f(2)]= ;f(-x)= ;f[f(x)]= .
⑵若f(x+1)=x2-2x+5,則f(x)= .
⑶若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),則g(x)= .
⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x,則f(x)= .
⑸若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=-1,則f(-5)= .
⒉設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4x-4的定義域?yàn)閇t-2,t-1],對(duì)任意t∈R,求函數(shù)f(x)的最小值(t)的解析式,并畫出圖象.(練習(xí)冊(cè)P26B組第2題)