2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù)：函數(shù)2.2.1優(yōu)秀教案

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1、2022年高一數(shù)學上 第二章 函數(shù)：函數(shù)2.2.1優(yōu)秀教案 [教學目的] 使學生進一步鞏固函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)所具有的某些性質(zhì)或它所滿足的一些關系，求出它的解析式，并掌握解析式的一些形式的變換. [重點難點] 重點、難點：函數(shù)解析式的求法. [教學過程] 一、復習引入 ⒈用映射刻劃的函數(shù)的定義是什么？函數(shù)符號的含義是什么？函數(shù)的表示方法常用的有哪些？ 答：函數(shù)是兩個非空數(shù)集A到B的特殊映射f：x→y=f(x),xR，yCB；定義域A、值域C和定義域到值域的對應法則f稱為函數(shù)的三要素；符號y=f(x)表示y是x的函數(shù)，不是f與x的乘積；函數(shù)的表示方法常用的有解析法、列表法

2、和圖象法，而中學階段所研究的函數(shù)主要是能用解析式表示的函數(shù).. ⒉引入：我們已經(jīng)了解了函數(shù)的概念和表示方法.在此基礎上，今天我們來學習確定函數(shù)解析式的幾種常見方法. 二、學習、講解新課 我們知道，把兩個變量的函數(shù)關系用一個等式表示，這個等式就叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式.下面我們通過例題來說明求函數(shù)解析式的幾種常用方法 例1 ⑴已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)； ⑵已知f(+1)=x+2，求f(x+1)； ⑶已知f(x)滿足2f(x)+f(1/x)=3x，求f(x)； ⑷設二次函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)且f

3、(x)=0的兩實根平方和為10，圖象過點(0,3)，求f(x)的解析式. 解：⑴設f(x)=ax+b，則3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]- 2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,比較系數(shù)得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7. ⑵設u=+11,則=u-1，x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1) =u2-1(u1),即f(u)=u2-1(u1), ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+11), 即f(x+1)=x2+2x(x0). ⑶∵已知2f(x)+f(1/x)=3x ---①，將①

4、中x換成1/x得2f(1/x) +f(x)=3/x ---②，①×2-②得3f(x)=6x-3/x，∴f(x)=2x-1/x. ⑷設f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a0), ∵圖象過點(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的兩實根平方和為10，∴得對稱軸x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10，即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10，∴a=1，b=-4，∴f(x)=x2-4x+3. 說明：求函數(shù)解析式常用的方法有：待定系數(shù)法(如⑴⑷)、換元法(如⑵)、構(gòu)造方程法(如⑶)等. 例

5、2 高為h，底面半徑為r的圓柱形容器內(nèi)，以單位時間內(nèi)體積為a的速度充水，試求出水面高y與時間t的函數(shù)關系式，并求其定義域.(提示：圓柱的體積=底面積×高) 解：由題意有at=r2y，即y=(a/r2)t,∵0yh,即0(a/r2)h, ∴0tr2h/a，即定義域是[0，r2h/a]. 說明：這是函數(shù)知識在實際問題中的應用，其定義域是由實際問題所決定的. 練習：⑴若f(1/x)=1/(1+x),則f(x)= ； ⑵已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x，則f(x)= ； ⑶已知g(x)=1-2x，f[g(x)]=(1-x2)/x2(

6、x0),則f(1/2)= ； ⑷將長為a的鐵絲折成矩形，面積y關于邊長x的函數(shù)關系是 ，其定義域是 ； ⑸已知f(x)=,若f(x)=10，則x= ； ⑹已知函數(shù)f(x)滿足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p，f(3)=q，則f(36)= . 解：⑴令u=1/x，則x=1/u，f(u)=u/(1+u)，∴f(x)=x/(1+x)； ⑵設f(x)=ax2+bx+c(a0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f(x)=2x，∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-ba-1=2x，即2ax+a+b=2x，比較系數(shù)得2a

7、=2且a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x2-x+1. ⑶由g(x)=1-2x=1/2，得x=1/4，∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15. ⑷設矩形的長為x，則寬為(a-2x)/2，∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x2,定義域是(0,a/2). ⑸由已知-2x<0，∴f(x)=x2+1=10,即x=3,又x0,∴x=-3. ⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)] =2(p+q). 三、小 結(jié) ⒈解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對應關系，是函數(shù)與自變量之間建立聯(lián)系的橋梁； ⒉解析

8、式只表示一種對應關系，與所取的字母無關，如y=2x-1與u=2t-1是同一個函數(shù)； ⒊求函數(shù)解析式的方法一般有待定系數(shù)法和換元法，若已知函數(shù)的構(gòu)造模式，可用待定系數(shù)法；若已知復合函數(shù)f[f(x)]的表達式來求f(x)，常用換元法；當已知表達式較簡單時，甚至可直接用湊合法求解. ⒋用賦值法(特殊值法)求函數(shù)式中的參數(shù)，是一種比較常用的方法. ⒌根據(jù)實際問題求函數(shù)的表達式，是應用函數(shù)知識解決實際問題的基礎，在設定或選定自變量后去尋找等量關系，以求得表達式，要注意函數(shù)定義域應由實際問題確定. 四、布置作業(yè) (一)復習：課本和課堂上的有關內(nèi)容. (二)書面：⒈填空： ⑴若f(x)=2x+1，則f[f(2)]= ；f(-x)= ；f[f(x)]= . ⑵若f(x+1)=x2-2x+5，則f(x)= . ⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，則g(x)= . ⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x，則f(x)= . ⑸若f(x)=x2-mx+n，f(n)=m，f(1)=-1，則f(-5)= . ⒉設函數(shù)f(x)=x2-4x-4的定義域為[t-2,t-1]，對任意t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值(t)的解析式，并畫出圖象.(練習冊P26B組第2題)