2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(含解析選修4-4)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(含解析,選修4-4) 抓住1個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件是: (1)極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合; (2)極軸與直角坐標(biāo)系的軸正半軸重合; (3)兩種坐標(biāo)系取相同的長度單位.設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,它的極坐標(biāo)為,則互化公式是或;若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),求極角時(shí),應(yīng)注意判斷點(diǎn)所在的象限(即角的終邊的位置),以便正確地求出角,在轉(zhuǎn)化過程中注意不要漏解,特別是在填空題和解答題中,則更要謹(jǐn)防漏解. 2.消去參數(shù)是參數(shù)方程化為普通方程的根本途徑,常用方法有代入消元法(包括集團(tuán)代人法)、加減消

2、元法、參數(shù)轉(zhuǎn)化法和三角代換法等,轉(zhuǎn)化的過程中要注意參數(shù)方程中含有的限制條件,在普通方程中應(yīng)加上這種限制條件才能保持其等價(jià)性. 3.參數(shù)方程的用途主要有以下幾個(gè)方面: (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡,如果的關(guān)系不好找,我們引入?yún)⒆兞亢螅苋菀渍业脚c和與的等量關(guān)系式,消去參變量后即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.此時(shí)參數(shù)方程在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程中起橋梁作用. (2)可以用曲線的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo),這樣把二元問題化為一元問題來解決,這也是圓錐曲線的參數(shù)方程的主要功能. (3)有些曲線參數(shù)方程的參變量有幾何意義.若能利用參變量的幾何意義解題,常會(huì)取得意想不到的效果.如利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的幾何意義解題,會(huì)使難題化

3、易、繁題化簡. [高考常考角度] 角度1 若曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為 . 解析:關(guān)鍵是記住兩點(diǎn):1、,2、即可. 由已知為所求. 角度2在極坐標(biāo)系中,點(diǎn) 到圓的圓心的距離為( ) A. 2 B. C. D. 解析:極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為,即.圓的極坐標(biāo)方程可化為,化為直角坐標(biāo)方程為,即,所以圓心坐標(biāo)為(1,0),則由兩點(diǎn)間距離公式.故選D. 角度3 已知兩曲線參數(shù)方程分別為和,它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為

4、 . 解:表示橢圓,表示拋物線 聯(lián)立得或(舍去), 又因?yàn)?,所以它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 角度4 直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)分別在曲線:(為參數(shù))和曲線:上,則的最小值為 . 點(diǎn)評(píng):利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法,把兩條曲線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程. 解析:曲線的方程是,曲線的方程是,兩圓外離,所以的最小值為. 角度5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:與,各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,當(dāng)=

5、時(shí),這兩個(gè)交點(diǎn)重合. (Ⅰ)分別說明是什么曲線,并求出a與b的值; (Ⅱ)設(shè)當(dāng)=時(shí),l與的交點(diǎn)分別為,當(dāng)=時(shí),l與的交點(diǎn)為,求四邊形的面積. 解析:(Ⅰ)的普通方程分別為和,故是圓,是橢圓. 當(dāng)時(shí),射線l與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為,因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2,所以. 當(dāng)時(shí),射線l與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為,因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合,所以. (Ⅱ)的普通方程分別為和 當(dāng)時(shí),射線l與交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為,與交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí),射線l與的兩個(gè)交點(diǎn)分別與關(guān)于x軸對(duì)稱,因此,四邊形為梯形. 故四邊形的面積為 規(guī)避2個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 參數(shù)的幾何意義不明

6、典例 已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),若以平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)為極點(diǎn),方向?yàn)闃O軸,選擇相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為 (1)求直線的傾斜角; (2)若直線與曲線交于兩點(diǎn),求. 易失分提示:對(duì)直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不明確導(dǎo)致錯(cuò)誤. 解析:(1)直線的參數(shù)方程可以化為,根據(jù)直線參數(shù)方程的意義,直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為. (2)的直角坐標(biāo)方程為,即 曲線的直角坐標(biāo)方程為, 所以圓心到直線的距離 所以 易失分點(diǎn)2 極坐標(biāo)表達(dá)不準(zhǔn) 典例 已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_________________ 易失分提示: 本題

7、考查曲線交點(diǎn)的求法,易錯(cuò)解為:由方程組 即兩曲線的交點(diǎn)為或 正解解析:由方程組或 即兩曲線的交點(diǎn)為或 在極坐標(biāo)系中,有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合與平面內(nèi)的點(diǎn)集不是一一對(duì)應(yīng)的.給出一個(gè)有序數(shù)對(duì),在極坐標(biāo)系中可以唯一確定一個(gè)點(diǎn),但極坐標(biāo)系中的一點(diǎn),它的極坐標(biāo)不是唯一的,若點(diǎn)不是極點(diǎn),是它的一個(gè)掇坐標(biāo),那么有無窮多個(gè)極坐標(biāo)與 各類題型展現(xiàn): 1. (本小題滿分10分)選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓方程為為參數(shù)) (1)求過橢圓的右焦點(diǎn),且與直線為參數(shù))平行的直線的普通方程. (2)求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值。 解析:(1)由已知得橢圓的普通方程為,右焦點(diǎn)為,

8、直線的普通方程為,所以,于是所求直線方程為即. (2),?當(dāng)時(shí),面積最大為30. 2. (本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中,已知圓的圓心,半徑. (Ⅰ)求圓的極坐標(biāo)方程; (Ⅱ)若,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線交圓于兩點(diǎn),求弦長的取值范圍. 解析:(Ⅰ)方法一:∵圓心的直角坐標(biāo)為,∴圓的直角坐標(biāo)方程為. 化為極坐標(biāo)方程是. 方法二:如圖,設(shè)圓上任意一點(diǎn),則 化簡得.........4分 (Ⅱ)將代入圓的直角坐標(biāo)方程, 得 即 所以 . 故, ∵,∴ , 即弦長的取值范圍是...............

9、...10分 3. (本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),圓的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求圓心的直角坐標(biāo); (Ⅱ)由直線上的點(diǎn)向圓引切線,求切線長的最小值。 解析:(Ⅰ)由 得 圓的直角坐標(biāo)方程為 即, 所以 圓心的直角坐標(biāo)為 (Ⅱ)由直線上的點(diǎn)向圓引切線,切線長為 所以,當(dāng)時(shí),切線長的最小值為 4.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為,圓的參數(shù)方程為參數(shù)) (Ⅰ)設(shè)為線段的中點(diǎn),求直線的平面直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)判斷直線與圓

10、的位置關(guān)系。 解析:(Ⅰ)由題意知,的直角坐標(biāo)為,,因?yàn)槭蔷€段中點(diǎn),則 因此直角坐標(biāo)方程為 (Ⅱ)因?yàn)橹本€上兩點(diǎn), ∴的方程為:即,又圓心,半徑. 所以,故直線和圓相交. 5.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中,圓,圓 (1)在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓的極坐標(biāo)方程,并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示) (2)求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程 解析:圓的極坐標(biāo)方程為,圓的極坐標(biāo)方程為,解 得, 故圓與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ……5分 注:極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一 (2)(解法一)由,得圓與圓交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 故圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) (或參數(shù)方程寫成) … 10分 (解法二)將代入,得,從而 于是圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 … 10分

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