2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（含解析選修4-4）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專(zhuān)題十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程（含解析，選修4-4） 抓住1個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件是： （1）極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合； （2）極軸與直角坐標(biāo)系的軸正半軸重合； （3）兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，它的極坐標(biāo)為，則互化公式是或；若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角時(shí)，應(yīng)注意判斷點(diǎn)所在的象限（即角的終邊的位置），以便正確地求出角，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中注意不要漏解，特別是在填空題和解答題中，則更要謹(jǐn)防漏解． 2．消去參數(shù)是參數(shù)方程化為普通方程的根本途徑，常用方法有代入消元法（包括集團(tuán)代人法）、加減消

2、元法、參數(shù)轉(zhuǎn)化法和三角代換法等，轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意參數(shù)方程中含有的限制條件，在普通方程中應(yīng)加上這種限制條件才能保持其等價(jià)性. 3．參數(shù)方程的用途主要有以下幾個(gè)方面： （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，如果的關(guān)系不好找，我們引入?yún)⒆兞亢?，很容易找到與和與的等量關(guān)系式，消去參變量后即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.此時(shí)參數(shù)方程在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程中起橋梁作用． （2）可以用曲線(xiàn)的參數(shù)方程表示曲線(xiàn)上一點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣把二元問(wèn)題化為一元問(wèn)題來(lái)解決，這也是圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程的主要功能． （3）有些曲線(xiàn)參數(shù)方程的參變量有幾何意義．若能利用參變量的幾何意義解題，常會(huì)取得意想不到的效果．如利用直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的幾何意義解題，會(huì)使難題化

3、易、繁題化簡(jiǎn). [高考常考角度] 角度1 若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為 . 解析：關(guān)鍵是記住兩點(diǎn)：1、，2、即可. 由已知為所求. 角度2在極坐標(biāo)系中，點(diǎn) 到圓的圓心的距離為（ ） A. 2 B. C. D. 解析：極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為，即.圓的極坐標(biāo)方程可化為，化為直角坐標(biāo)方程為，即，所以圓心坐標(biāo)為（1,0），則由兩點(diǎn)間距離公式.故選D. 角度3 已知兩曲線(xiàn)參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為

4、 . 解：表示橢圓，表示拋物線(xiàn) 聯(lián)立得或（舍去）， 又因?yàn)?，所以它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為 角度4 直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)分別在曲線(xiàn)：（為參數(shù)）和曲線(xiàn)：上，則的最小值為 ． 點(diǎn)評(píng)：利用化歸思想和數(shù)形結(jié)合法，把兩條曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的方程． 解析：曲線(xiàn)的方程是，曲線(xiàn)的方程是，兩圓外離，所以的最小值為． 角度5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)l：與，各有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)=

5、時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合． （Ⅰ）分別說(shuō)明是什么曲線(xiàn)，并求出a與b的值； （Ⅱ）設(shè)當(dāng)=時(shí)，l與的交點(diǎn)分別為，當(dāng)=時(shí)，l與的交點(diǎn)為，求四邊形的面積． 解析：（Ⅰ）的普通方程分別為和，故是圓，是橢圓. 當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)l與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，因?yàn)檫@兩點(diǎn)間的距離為2，所以. 當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)l與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，因?yàn)檫@兩點(diǎn)重合，所以. （Ⅱ）的普通方程分別為和 當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)l與交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為，與交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)l與的兩個(gè)交點(diǎn)分別與關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此，四邊形為梯形. 故四邊形的面積為 規(guī)避2個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 參數(shù)的幾何意義不明

6、典例 已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)為極點(diǎn)，方向?yàn)闃O軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 （1）求直線(xiàn)的傾斜角； （2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求． 易失分提示：對(duì)直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義不明確導(dǎo)致錯(cuò)誤． 解析：（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程可以化為，根據(jù)直線(xiàn)參數(shù)方程的意義，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為. （2）的直角坐標(biāo)方程為，即 曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為， 所以圓心到直線(xiàn)的距離 所以 易失分點(diǎn)2 極坐標(biāo)表達(dá)不準(zhǔn) 典例 已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程分別為則曲線(xiàn)與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)________________ 易失分提示: 本題

7、考查曲線(xiàn)交點(diǎn)的求法，易錯(cuò)解為：由方程組 即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為或 正解解析：由方程組或 即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為或 在極坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合與平面內(nèi)的點(diǎn)集不是一一對(duì)應(yīng)的.給出一個(gè)有序數(shù)對(duì)，在極坐標(biāo)系中可以唯一確定一個(gè)點(diǎn)，但極坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，它的極坐標(biāo)不是唯一的，若點(diǎn)不是極點(diǎn)，是它的一個(gè)掇坐標(biāo)，那么有無(wú)窮多個(gè)極坐標(biāo)與 各類(lèi)題型展現(xiàn)： 1. （本小題滿(mǎn)分10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓方程為為參數(shù)） （1）求過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與直線(xiàn)為參數(shù)）平行的直線(xiàn)的普通方程. （2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值。 解析：（1）由已知得橢圓的普通方程為，右焦點(diǎn)為，

8、直線(xiàn)的普通方程為，所以,于是所求直線(xiàn)方程為即. （2），?當(dāng)時(shí)，面積最大為30. 2. （本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，已知圓的圓心，半徑. （Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)交圓于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的取值范圍. 解析：（Ⅰ）方法一：∵圓心的直角坐標(biāo)為，∴圓的直角坐標(biāo)方程為. 化為極坐標(biāo)方程是. 方法二：如圖，設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則 化簡(jiǎn)得.．．．．．．．．4分 （Ⅱ）將代入圓的直角坐標(biāo)方程， 得 即 所以 . 故， ∵，∴ ， 即弦長(zhǎng)的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．

9、．．．10分 3. （本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知直線(xiàn)的參數(shù)方程是（是參數(shù)），圓的極坐標(biāo)方程為. （Ⅰ）求圓心的直角坐標(biāo)； （Ⅱ）由直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，求切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值。 解析：（Ⅰ）由 得 圓的直角坐標(biāo)方程為 即， 所以 圓心的直角坐標(biāo)為 （Ⅱ）由直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)為 所以，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為 4.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線(xiàn)上兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，圓的參數(shù)方程為參數(shù)） （Ⅰ）設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的平面直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）判斷直線(xiàn)與圓

10、的位置關(guān)系。 解析：（Ⅰ）由題意知，的直角坐標(biāo)為，，因?yàn)槭蔷€(xiàn)段中點(diǎn)，則 因此直角坐標(biāo)方程為 （Ⅱ）因?yàn)橹本€(xiàn)上兩點(diǎn)， ∴的方程為：即，又圓心，半徑. 所以,故直線(xiàn)和圓相交. 5.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系中，圓，圓 （1）在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓的極坐標(biāo)方程，并求出圓的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示） （2）求圓與圓的公共弦的參數(shù)方程 解析：圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為，解 得， 故圓與圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ……5分 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一 （2）（解法一）由，得圓與圓交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 故圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) （或參數(shù)方程寫(xiě)成） … 10分 （解法二）將代入，得，從而 于是圓與圓的公共弦的參數(shù)方程為 … 10分