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1、2022年高二數學下學期期中試題 理(VIII)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的,請將所選答案涂在答題卡上)。
1.復數2=( )
(A)-3-4i (B)-3+4i (C)3-4i (D)3+4i
2.函數的導數為( )
(A) (B) (C) (D)
3.設函數f(x)=ax+2,若f′(1)=3,則a=( )
(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-3
4.用反證法證明命題“三角形的內角至多有一
2、個鈍角”時,假設正確的是( )
(A)假設至少有一個鈍角 ?。˙)假設至少有兩個鈍角
(C)假設沒有一個鈍角 ?。ǎ模┘僭O沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角
5.i是虛數單位,若=a+bi(a,b∈R),則a+b的值是( )
(A)0 (B) (C)1 (D)2
6.函數y=x4-2x2+5的單調減區(qū)間為 ( )
(A)(-∞,-1]和[0,1] (B)[-1,0]和[1,+∞)
(C)[-1,1] (D)(-∞,-1]和[1,+∞)
7
3、.函數在處有極值10, 則點為 ( )
(A) (B)或 (C) (D)不存在
8. 曲線, 和直線圍成的圖形面積是 ( ?。?
(A) (B) (C) (D)
9.用數學歸納法證明不等式“”時的過程中,由到時,不等式的左邊( )
(A)增加了一項
(B)增加了兩項
(C)增加了兩項,又減少了;
(D)增加了一項,又減少了一項;
10、如圖是導函數的圖象,那么函數在下面哪個區(qū)間是減函數( )
(A) (B) (C) (D)
11.設底面
4、為等邊三角形的直棱柱的體積為,則其表面積最小時,底面邊長為( )
(A) (B) (C) ?。―)
12.點是曲線上任意一點, 則點到直線的距離的最小值是( )
(A) 1 (B) (C) 2 (D)
第Ⅱ卷(非選擇題,共90分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在答題卡相應題中橫線上)。
13. 設復數z的模為17,虛部為- 8,則復數z=_________;
14. 曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程為____________
5、;
15. 設,當時,恒成立,則實數的取值范圍為______;
16. ____________。
三、解答題:(本大題共5小題,共70分,解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。把答案寫在答題卡相應題目的位置,寫錯位置的不給分)
17.(本小題10分)已知復數z=m(m-1)+(m2+2m-3)i;當實數m取什么值時,復數z是:
(1)零;(2)純虛數.
18. (本小題12分)
求函數y=2x3-6x2+7的單調增區(qū)間。
19. (本小題12分)
已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x
6、=時,y=f(x)有極值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
20.(本小題12分)
已知數列的前項和.
(1)計算,,,;
(2)猜想的表達式,并用數學歸納法證明你的結論.
21. (本小題12分)
已知函數f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1)求f (x)的單調區(qū)間;
(2)若f (x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f (x)的圖象有三個不同的交點,求m的取值范圍.
22. (本小題12分)
已知函數f(x)=xln x.
(1
7、)求函數f(x)的極值點;
(2)設函數g(x)=f(x)-a(x-1),其中a∈R,求函數g(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)
答案
A
B
C
B
C
A
C
D
C
A
C
D
高二數學(理科)答案
13. 14. y=2x 15. 16. 10
17. 解析 (1)由得m=1,即當m=1時,z=0.
(2)由得m=0.即當m=0時,z是純虛數.
18. (-∞,0),(2,+∞)
19. 解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,
8、
得f′(x)=3x2+2ax+b,
當x=1時,切線l的斜率為3,可得2a+b=0.①
當x=時,y=f(x)有極值,
則f′=0,可得4a+3b+4=0.②
由①②解得a=2,b=-4.
由于切點的橫坐標為x=1,∴f(1)=4,
∴1+a+b+c=4,∴c=5.
∴a=2,b=-4,c=5.
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4,
令f′ (x)=0,得x1=-2,x2=.
當x變化時,y、y′的取值及變化如下表:
x
-3
(-3,-2)
-2
1
y′
+
0
-
0
+
9、
y
8
單調遞增↗
13
單調遞減↘
單調遞增↗
4
∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.
20.解:(1)依題設可得,,,;
(2)猜想:.
證明:①當時,猜想顯然成立.
②假設時,猜想成立,即.
那么,當時,,即.
又,所以,
從而.即時,猜想也成立.
故由①和②,可知猜想成立.
21.解 (1)f ′(x)=3x2-3a=3(x2-a).
當a<0時,對x∈R,有f ′(x)>0,
∴當a<0時,f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,+∞).
當a>0時,由f′(x)>0,解得x<-或x>;
由f′(x)<0,解得-
10、當a>0時,f(x)的單調增區(qū)間為(-∞,-),
(,+∞),f(x)的單調減區(qū)間為(-,).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1.
由(1)中f(x)的單調性可知,f(x)在x=-1處取得極大值f (-1)=1,在x=1處取得極小 值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數y=f(x)的圖象有三個不同的交點,∴結合f(x)的單調性可知,m
的取值范圍是(-3,1).
22. 解 (1)f′(x)=ln x+1,x>0,
由
11、f′(x)=0得x=,
所以,f(x)在區(qū)間(0,)上單調遞減,
在區(qū)間(,+∞)上單調遞增.
所以,x=是函數f(x)的極小值點,極大值點不存在.
(2)g(x)=xln x-a(x-1),則g′(x)=ln x+1-a,
由g′(x)=0,得x=ea-1,
所以,在區(qū)間(0,ea-1)上,g(x)為減函數,
在區(qū)間(ea-1,+∞)上,g(x)為增函數,
所以x=ea-1是極小值點.
以下對極小值點是否在[1,e]上作分類討論.
當ea-1≤1,即a≤1時,在區(qū)間[1,e]上,g(x)為增函數,
所以g(x)的最小值為g(1)=0.
當1