2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第19章 矩形、菱形與正方形 19.3 正方形課堂練習(xí) （新版）華東師大版

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1、2022年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第19章 矩形、菱形與正方形 19.3 正方形課堂練習(xí) （新版）華東師大版 1．在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形為正方形的是(　　) A．AD∥BC，∠B＝∠D B．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC C．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD 2．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，DE≠EB，則圖中的全等三角形的對(duì)數(shù)共有(　　) A．1對(duì)　　 B．2對(duì)　　 C．3對(duì)　　 D．4對(duì) 3．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CA，連結(jié)AE，交

2、CD于點(diǎn)F，則∠AFC的度數(shù)是(　　) A．150° B．125° C．135° D．112.5° 4．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED的度數(shù)為_(kāi)___． 5．[蘭州]在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正確的序號(hào)是________． 6．[xx·廣安]如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上的點(diǎn)，連結(jié)AM，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AE＝AM，過(guò)

3、點(diǎn)E作EF⊥AM，垂足為F.求證：AB＝EF. 7．[xx·洛寧縣期末]如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB、ED. (1)寫(xiě)出圖中所有的全等三角形； (2)延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度數(shù)． 8．[xx·靈石縣期末]如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：四邊形ABFE是正方形． 9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為∠ACB的平分線，DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC

4、于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形． 10．[xx·肥城市期末]如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝3，E為OC上一點(diǎn)，OE＝1，連結(jié)BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，與BD交于點(diǎn)G. (1)BE與AG相等嗎？若相等，請(qǐng)證明；若不相等，請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)求AF的長(zhǎng)． 11．[xx·吉林改編]如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE，垂足為G. (1)求證：AF＝BE； (2)如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ.MP與NQ是否相等？請(qǐng)

5、說(shuō)明理由． 圖1　　圖2 12．[xx·惠城區(qū)期末]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AE交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，使∠EAB＝∠C，連結(jié)BE. (1)求證：BC∥AE； (2)求證：四邊形AEBD是矩形； (3)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由． 13．[xx·成都期末]如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連結(jié)DE.過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連結(jié)AG. (1)求證：矩形DEFG是正方形； (2)求AG＋AE的值．

6、 14．[宿遷]如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝1，若點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng)，則PA＋PE的最小值是________． 參考答案 1． D 2． C 3． D 4． 45° 5．①③④ 6．證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠EAF＝∠BMA. ∵EF⊥AM， ∴∠AFE＝90°＝∠B， 在△ABM和△EFA中， ∴△ABM≌△EFA(AAS)，∴AB＝EF. 7．解：(1)根據(jù)正方形的對(duì)稱性，正方形ABCD關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，所以全等的三角形有：△ADC≌△A

7、BC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE. (2)∵四邊形ABCD是正方形， ∴DC＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，且CE＝CE， ∴△DCE≌△BCE， ∴∠DEC＝∠BEC. ∵∠DEB＝140°， ∴∠DEC＝∠BEC＝70°， ∴∠EBC＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CBE＝65°. 8．證明：∵AE∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＋∠BAE＝180°， ∴∠BAE＝90°. ∵EF⊥BC于點(diǎn)F， ∴∠F＝90°， ∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°， ∴四邊形ABFE是矩形， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝4

8、5°， ∴∠AEB＝∠EBF＝45°， ∴∠ABE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝AE， ∴四邊形ABFE是正方形． 9．證明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°. 又∵∠ACB＝90°， ∴四邊形CEDF是矩形． ∵DE＝DF， ∴矩形CEDF是正方形． 10．解：(1)BE＝AG. 證明：∵AF⊥BE， ∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝BO， ∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°， ∴∠AEF＝∠AGO. 在△AOG和△BOE中， ∴

9、△AOG≌△BOE(AAS)， ∴AG＝BE. (2)∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3， ∴BO＝3. ∵OE＝1， ∴AE＝3＋1＝4. 由勾股定理得BE＝＝， S△ABE＝BE·AF＝AE·OB， ∴××AF＝×4×3， ∴AF＝. 11．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°， ∴∠FAD＋∠AFD＝90°. ∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°， ∴∠FAD＋∠AEG＝90°， ∴∠AFD＝∠AEG， ∴△DAF≌△ABE(AAS)， ∴AF＝BE. (2)MP＝NQ.理由：如答圖，過(guò)點(diǎn)A作AF∥MP交CD

10、于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于點(diǎn)E，得到BEQN和AFPM， ∴AF＝MP，BE＝NQ. ∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ， ∴AF⊥BE，∴由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ. 12．解：(1)證明：∵AB＝AC， ∴∠CBA＝∠C. 又∵∠EAB＝∠C， ∴∠EAB＝∠CBA， ∴BC∥AE. (2)證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)， ∴BO＝AO. 在△BOD和△AOE中， ∴△BOD≌△AOE(ASA)，∴BD＝EA. ∵BC∥AE，即BD∥AE， ∴四邊形AEBD是平行四邊形． 又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線， ∴A

11、D⊥BC，∴∠BDA＝90°， ∴四邊形AEBD是矩形． (3)當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝90°時(shí)，四邊形AEBD是正方形．理由如下： ∵AD是△ABC的角平分線，AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA. ∵四邊形AEBD是矩形， ∴四邊形AEBD是正方形． 13．解：(1)證明：如答圖，作EM⊥AD于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠EAD＝∠EAB. ∵EM⊥AD于點(diǎn)M，EN⊥AB于點(diǎn)N， ∴EM＝EN. ∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°， ∴四邊形ANEM是正方形， ∴∠MEN＝∠DEF＝90°，

12、 ∴∠DEM＝∠FEN. ∵∠EMD＝∠ENF＝90°， ∴△EMD≌△ENF， ∴ED＝EF， ∵四邊形DEFG是矩形， ∴四邊形DEFG是正方形． (2)∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形， ∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝∠CDE， ∴△ADG≌△CDE， ∴AG＝CE， ∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝4. 14． 【解析】作出點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E′交BC于E′，連結(jié)AE′與BD交于點(diǎn)P，此時(shí)AP＋PE最小， ∵PE＝PE′， ∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′， 在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1， 根據(jù)勾股定理得AE′＝， 則PA＋PE的最小值為.