2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理(V)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理(V) xx．3 本試卷共4頁(yè)，分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分．共150分．考試時(shí)間120分鐘． 注意事項(xiàng)： 1．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在規(guī)定的位置上。 2．第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題號(hào)上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．曲線y＝x3在原點(diǎn)處的切線 (　　) A．不存在

2、 B．有1條，其方程為y＝0 C．有1條，其方程為x＝0 D．有2條，它們的方程分別為y＝0，x＝0 2．曲線y＝e－2x＋1在點(diǎn)(0，2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為 (　　) A. B. C. D．1 3．函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1，1) 4．若函數(shù)f(x)＝kx－ln x在區(qū)間(1，＋∞)單調(diào)遞增，則k的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1

3、， ＋∞) 5．函數(shù)y＝xex的最小值是 (　　) A．－1 B．－e C．－ D．不存在 6．函數(shù)f(x)＝－，a＜b＜1，則 (　　) A．f(a)＝f(b) B．f(a)＜f(b) C．f(a)＞f(b) D．f(a)，f(b)大小關(guān)系不能確定 7．對(duì)于在R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－a)f′(x)≥0，則必有 (　　) A．f(x)≥f(a) B．f(x)≤f(a) C．f(x)>f(a) D．f(x)

4、＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是 (　　) A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．(－∞，0] D．(－∞，1] 9．做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為 (　　) A．3 B．4 C．6 D．5 10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則x＋x等于 (　　) A. B. C. D. 第II卷（非選擇題 共100分） 注意事項(xiàng)： 將第II卷答案用0.5mm的黑色簽字筆答在答題卡的相應(yīng)位置上. 二、填空題：本大題共5小題

5、，每小題5分，共25分. 11．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程________． 12．函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 13．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝________． 14．若曲線y＝e－x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． 15．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1，5]，部分對(duì)應(yīng)值如下表： 　x －1 0 4 5 f(x) 1 2 2 1 　 f(x)的

6、導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示．下列關(guān)于f(x)的命題： ①函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為0，4； ②函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)； ③如果當(dāng)x∈[－1，t]時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4； ④當(dāng)1＜a＜2時(shí)，函數(shù)y＝f(x)－a有4個(gè)零點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)是________． 三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 16. （本小題滿分12分） 分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝ex·cos x；(2)y＝x； (3)y＝ln. 17. （本小題滿分12分） 已知曲線y＝x3＋.

7、 (1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程； (2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程． 18. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 19. （本小題滿分12分） 已知函數(shù)f(x)＝aln x＋bx(a，b∈R)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為x－2y－2＝0. (1)求a，b的值； (2)當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＋<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 20. （本小題滿分

8、13分） 已知f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x. (1)a＝1時(shí)，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程． (2)當(dāng)a＞0時(shí)，若f(x)在區(qū)間[1，e]上最小值為－2，求實(shí)數(shù)a的范圍． 21. （本小題滿分14分） 某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克． (1)求a的值； (2)若該商品的成本為3元千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．

9、 桓臺(tái)二中高二模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分說(shuō)明 一、選擇題：BAADC CACAC 二． 填空題： 11．x－y－4＝0 12．(0，1) 13．32 14．(－ln 2，2) 15．①② 三、解答題： 16．解: (1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x. …………………………4分 (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. …………………………8分 (3)y＝ln＝ln(1＋x2)，∴y′＝·(1＋x2)′＝··2x＝. …………………………12分

10、 17．解　(1)∵P(2，4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2， ∴在點(diǎn)P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4. ∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.……6分 (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率為y′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵點(diǎn)P(2，4)在切線上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切線方程為x－

11、y＋2＝0，或4x－y－4＝0. …………12分 18．解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. ………………………6分 (2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知： ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； ②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′

12、(x)＝0，解得x＝a. 又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值． ………………………12分 19．解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx，∴f′(x)＝＋b. ∵直線x－2y－2＝0的斜率為，且過(guò)點(diǎn)(1，－)， ∴即解得a＝1，b＝－. ………………6分 (2)由(1)得f(x)＝ln x－. 當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＋<0恒成立，即ln x

13、－＋<0，等價(jià)于k<－xln x. 令g(x)＝－xln x， 則g′(x)＝x－(ln x＋1)＝x－1－ln x. 令h(x)＝x－1－ln x，則h′(x)＝1－＝. 當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)＝0. 從而，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0， 即函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 故g(x)>g(1)＝. 因此，當(dāng)x>1時(shí)，k<－xln x恒成立，則k≤. ∴所求k的取值范圍是(－∞，]．………………………12分 20．解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－3x＋ln x， f′(x)＝2x－3＋. 因?yàn)閒

14、′(1)＝0，f(1)＝－2， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－2)處的切線方程是y＝－2. ………………6分 (2)函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)． 當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋ ＝， 令f′(x)＝ ＝＝0，所以x＝或x＝. 當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2； 當(dāng)1＜＜e時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值f ＜f(1)＝－2，不合題意； 當(dāng)≥e時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)在[1，e]上的最小值f(e)＜f(1)＝－2，不合題

15、意． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．………………………13分 21.解: (1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2. 所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn) f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 高二理科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分說(shuō)明 一、選擇題：BAADC CACAC 三． 填空題： 11．x－y－4＝0 12．(0，1) 13．32 14．(－ln 2，2) 15．①② 三、解答題： 16．解: (1)y′＝(e

16、x)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x. …………………………4分 (2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. …………………………8分 (3)y＝ln＝ln(1＋x2)，∴y′＝·(1＋x2)′＝··2x＝. …………………………12分 17．解　(1)∵P(2，4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2， ∴在點(diǎn)P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4. ∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.……6分 (2)設(shè)曲線y＝x3＋與過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)A，則切線的斜率

17、為y′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵點(diǎn)P(2，4)在切線上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. …………12分 18．解　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f

18、(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. ………………………6分 (2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知： ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； ②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，

19、無(wú)極大值． ………………………12分 19．解　(1)∵f(x)＝aln x＋bx，∴f′(x)＝＋b. ∵直線x－2y－2＝0的斜率為，且過(guò)點(diǎn)(1，－)， ∴即解得a＝1，b＝－. ………………6分 (2)由(1)得f(x)＝ln x－. 當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＋<0恒成立，即ln x－＋<0，等價(jià)于k<－xln x. 令g(x)＝－xln x， 則g′(x)＝x－(ln x＋1)＝x－1－ln x. 令h(x)＝x－1－ln x，則h′(x)＝1－＝. 當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)＝0. 從而，當(dāng)x>1時(shí)

20、，g′(x)>0， 即函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 故g(x)>g(1)＝. 因此，當(dāng)x>1時(shí)，k<－xln x恒成立，則k≤. ∴所求k的取值范圍是(－∞，]．………………………12分 20．解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－3x＋ln x， f′(x)＝2x－3＋. 因?yàn)閒′(1)＝0，f(1)＝－2， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，－2)處的切線方程是y＝－2. ………………6分 (2)函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)． 當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋ ＝， 令f′(x)＝ ＝＝0，所以x＝或x＝.

21、 當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2； 當(dāng)1＜＜e時(shí)，f(x)在[1，e]上的最小值f ＜f(1)＝－2，不合題意； 當(dāng)≥e時(shí)，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，此時(shí)f(x)在[1，e]上的最小值f(e)＜f(1)＝－2，不合題意． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．………………………13分 21.解: (1)因?yàn)閤＝5時(shí)，y＝11，所以＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2. 所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn) f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]

22、 ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大． 從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)． 于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 極大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)． 所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．