4、＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是 ( )
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
9．做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為 ( )
A．3 B．4 C．6 D．5
10．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則x＋x等于 ( )
A. B.
C. D.
第II卷（非選擇題 共100分）
注意事項：
將第II卷答案用0.5mm的黑色簽字筆答在答題卡的相應(yīng)位置上.
二、填空題：本大題共5小題
5、，每小題5分，共25分.
11．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程________．
12．函數(shù)f(x)＝x2－2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________．
13．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－m＝________．
14．若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標(biāo)是________．
15．已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1，5]，部分對應(yīng)值如下表：
x
－1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1
f(x)的
6、導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示．下列關(guān)于f(x)的命題：
①函數(shù)f(x)的極大值點為0，4；
②函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)；
③如果當(dāng)x∈[－1，t]時，f(x)的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y＝f(x)－a有4個零點．
其中真命題的序號是________．
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16. （本小題滿分12分）
分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝ex·cos x；(2)y＝x；
(3)y＝ln.
17. （本小題滿分12分）
已知曲線y＝x3＋.
7、
(1)求曲線在點P(2，4)處的切線方程；
(2)求曲線過點P(2，4)的切線方程．
18. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)當(dāng)a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；
(2)求函數(shù)f(x)的極值．
19. （本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝aln x＋bx(a，b∈R)在點(1，f(1))處的切線方程為x－2y－2＝0.
(1)求a，b的值；
(2)當(dāng)x>1時，f(x)＋<0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．
20. （本小題滿分
8、13分）
已知f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)a＝1時，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程．
(2)當(dāng)a＞0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上最小值為－2，求實數(shù)a的范圍．
21. （本小題滿分14分）
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若該商品的成本為3元千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
9、
桓臺二中高二模擬考試
數(shù)學(xué)參考答案及評分說明
一、選擇題：BAADC CACAC
二． 填空題：
11．x－y－4＝0 12．(0，1) 13．32 14．(－ln 2，2) 15．①②
三、解答題：
16．解:
(1)y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x. …………………………4分
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. …………………………8分
(3)y＝ln＝ln(1＋x2)，∴y′＝·(1＋x2)′＝··2x＝.
…………………………12分
10、
17．解 (1)∵P(2，4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在點P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4.
∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.……6分
(2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2，4)的切線相切于點A，則切線的斜率為y′|x＝x0＝x.
∴切線方程為y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵點P(2，4)在切線上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切線方程為x－
11、y＋2＝0，或4x－y－4＝0. …………12分
18．解 函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0. ………………………6分
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
①當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；
②當(dāng)a＞0時，由f′
12、(x)＝0，解得x＝a.
又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，
從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． ………………………12分
19．解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx，∴f′(x)＝＋b.
∵直線x－2y－2＝0的斜率為，且過點(1，－)，
∴即解得a＝1，b＝－. ………………6分
(2)由(1)得f(x)＝ln x－.
當(dāng)x>1時，f(x)＋<0恒成立，即ln x
13、－＋<0，等價于k<－xln x.
令g(x)＝－xln x，
則g′(x)＝x－(ln x＋1)＝x－1－ln x.
令h(x)＝x－1－ln x，則h′(x)＝1－＝.
當(dāng)x>1時，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)＝0.
從而，當(dāng)x>1時，g′(x)>0，
即函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故g(x)>g(1)＝.
因此，當(dāng)x>1時，k<－xln x恒成立，則k≤.
∴所求k的取值范圍是(－∞，]．………………………12分
20．解 (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋.
因為f
14、′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以曲線y＝f(x)在點(1，－2)處的切線方程是y＝－2. ………………6分
(2)函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)．
當(dāng)a＞0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋
＝，
令f′(x)＝
＝＝0，所以x＝或x＝.
當(dāng)0＜≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
當(dāng)1＜＜e時，f(x)在[1，e]上的最小值f ＜f(1)＝－2，不合題意；
當(dāng)≥e時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，此時f(x)在[1，e]上的最小值f(e)＜f(1)＝－2，不合題
15、意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．………………………13分
21.解: (1)因為x＝5時，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6. 高二理科數(shù)學(xué)參考答案及評分說明
一、選擇題：BAADC CACAC
三． 填空題：
11．x－y－4＝0 12．(0，1) 13．32 14．(－ln 2，2) 15．①②
三、解答題：
16．解:
(1)y′＝(e
16、x)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x. …………………………4分
(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－. …………………………8分
(3)y＝ln＝ln(1＋x2)，∴y′＝·(1＋x2)′＝··2x＝.
…………………………12分
17．解 (1)∵P(2，4)在曲線y＝x3＋上，且y′＝x2，
∴在點P(2，4)處的切線的斜率為y′|x＝2＝4.
∴曲線在點P(2，4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.……6分
(2)設(shè)曲線y＝x3＋與過點P(2，4)的切線相切于點A，則切線的斜率
17、為y′|x＝x0＝x.
∴切線方程為y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋.∵點P(2，4)在切線上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0. …………12分
18．解 函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.
(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，
所以曲線y＝f(x)在點A(1，f
18、(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0. ………………………6分
(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：
①當(dāng)a≤0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；
②當(dāng)a＞0時，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又當(dāng)x∈(0，a)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，
從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，
19、無極大值． ………………………12分
19．解 (1)∵f(x)＝aln x＋bx，∴f′(x)＝＋b.
∵直線x－2y－2＝0的斜率為，且過點(1，－)，
∴即解得a＝1，b＝－. ………………6分
(2)由(1)得f(x)＝ln x－.
當(dāng)x>1時，f(x)＋<0恒成立，即ln x－＋<0，等價于k<－xln x.
令g(x)＝－xln x，
則g′(x)＝x－(ln x＋1)＝x－1－ln x.
令h(x)＝x－1－ln x，則h′(x)＝1－＝.
當(dāng)x>1時，h′(x)>0，函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(1)＝0.
從而，當(dāng)x>1時
20、，g′(x)>0，
即函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故g(x)>g(1)＝.
因此，當(dāng)x>1時，k<－xln x恒成立，則k≤.
∴所求k的取值范圍是(－∞，]．………………………12分
20．解 (1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝x2－3x＋ln x，
f′(x)＝2x－3＋.
因為f′(1)＝0，f(1)＝－2，
所以曲線y＝f(x)在點(1，－2)處的切線方程是y＝－2. ………………6分
(2)函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定義域是(0，＋∞)．
當(dāng)a＞0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋
＝，
令f′(x)＝
＝＝0，所以x＝或x＝.
21、
當(dāng)0＜≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；
當(dāng)1＜＜e時，f(x)在[1，e]上的最小值f ＜f(1)＝－2，不合題意；
當(dāng)≥e時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，此時f(x)在[1，e]上的最小值f(e)＜f(1)＝－2，不合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．………………………13分
21.解: (1)因為x＝5時，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]
22、
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.
從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
極大值42
↘
由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：當(dāng)銷售價格為4元千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
極大值42
↘
由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．
所以，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：當(dāng)銷售價格為4元千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
2022年高二數(shù)學(xué)3月月考試題 理(V)
