2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 經(jīng)典微課堂 規(guī)范答題系列2 高考中的數(shù)列問題教學(xué)案 理 北師大版

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1、規(guī)范答題系列2 高考中的數(shù)列問題 [命題解讀]　從近五年全國卷高考試題來看，數(shù)列解答題常以an，Sn的關(guān)系為切入點(diǎn)，以等差(等比)數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)為依托，重點(diǎn)考查等差(等比)數(shù)列的判定與證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的求法(以分組求和、裂項(xiàng)求和為主)，考查函數(shù)與方程的思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，且難度有所提升． [典例示范]　(本題滿分12分)(2016·全國卷Ⅱ)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S7＝28①.記bn＝[lg an]②，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101； (2)求數(shù)列{bn}的前1

2、 000項(xiàng)和③. [信息提取]　看到①想到等差數(shù)列的求和公式； 看到②想到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)； 看到③想到數(shù)列的常見求和方法． [規(guī)范解答]　(1)設(shè){an}的公差為d，S7＝7a4＝28， 所以a4＝4， 2分 所以d＝＝1， 4分 所以an＝a1＋(n－1)d＝n. 5分 所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. 6分 (2)記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1

3、000]， 當(dāng)0≤lg an＜1時(shí)，n＝1,2，…，9； 7分 當(dāng)1≤lg an＜2時(shí)，n＝10,11，…，99； 9分 當(dāng)2≤lg an＜3時(shí)n＝100,101，…，999； 11分 當(dāng)lg an＝3時(shí)，n＝1 000， 所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893. 12分 [易錯(cuò)防范] 易錯(cuò)點(diǎn) 防范措施 對[lg an]認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤 先結(jié)合題設(shè)條件理解[x]，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出b1，b11，b101 找不出[lg an]的規(guī)律求不出{bn}的前1 000項(xiàng)的和 結(jié)合(1)的結(jié)論，合情推理推出[lg an]的規(guī)律，并分類求出bn，最后利用分組

4、求和求{bn}的前1 000項(xiàng)和 [通性通法]　(1)等差(或等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本題型，通過解方程(組)的方法達(dá)到解題的目的． (2)數(shù)列的求和問題常采用“公式法”“裂項(xiàng)相消法”等． [規(guī)范特訓(xùn)]　(2019·天津二模)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n2＋3n＋2)，設(shè)bn＝. (1)證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)設(shè)＝2n＋1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn(n∈N＋)． [解]　(1)因?yàn)閍1＝2，所以b1＝＝1. 將(n＋2)an＝(n＋1)

5、an＋1－2(n2＋3n＋2)兩邊同時(shí)除以(n＋1)(n＋2)得： ＝－2，∴－＝2，即bn＋1－bn＝2. ∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． (2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∵＝2n＋1，∴cn＝(2n＋1)bn＝(2n－1)·2n＋2n－1. 設(shè)Pn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n， 2Pn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1， 兩式相減得：－Pn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1＝2＋2×－(2n－1)·2n＋1＝－6－(2n－3)·2n＋1. 化簡得Pn＝6＋(2n－3)·2n＋1. 設(shè)Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2， ∴Tn＝Pn＋Sn＝6＋(2n－3)·2n＋1＋n2. 2