2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù)

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1、2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù) 一、 基礎(chǔ)知識(shí) 1.極限定義:(1)若數(shù)列{un}滿(mǎn)足,對(duì)任意給定的正數(shù)ε,總存在正數(shù)m,當(dāng)n>m且n∈N時(shí),恒有|un-A|<ε成立(A為常數(shù)),則稱(chēng)A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限,記為,另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A,稱(chēng)右極限。類(lèi)似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。 2.極限的四則運(yùn)算:如果f(x)=a, g(x)=b,那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab, 3.連續(xù):如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義,且f(x)存在,并且f(x)=f(x0),則稱(chēng)f

2、(x)在x=x0處連續(xù)。 4.最大值最小值定理:如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5.導(dǎo)數(shù):若函數(shù)f(x)在x0附近有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)(Δx充分?。?,因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在,則稱(chēng)f(x)在x0處可導(dǎo),此極限值稱(chēng)為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率),記作(x0)或或,即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義,且在每一點(diǎn)可導(dǎo),則稱(chēng)它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是:f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x

3、)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6.幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)=0(c為常數(shù));(2)(a為任意常數(shù));(3)(4);(5);(6);(7);(8) 7.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:若u(x),v(x)在x處可導(dǎo),且u(x)≠0,則 (1);(2);(3)(c為常數(shù));(4);(5)。 8.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法:設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x),已知(x)在x處可導(dǎo),f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo),且(f[(x)]=. 9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì):(1)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo),則f(x)在I上連續(xù);(2)若對(duì)一切x∈(a,b)有,則f(x)在(a

4、,b)單調(diào)遞增;(3)若對(duì)一切x∈(a,b)有,則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10.極值的必要條件:若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,則 11.極值的第一充分條件:設(shè)f(x)在x0處連續(xù),在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo),(1)若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí),當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí),則f(x)在x0處取得極小值;(2)若當(dāng)x∈(x0-δ,x0)時(shí),當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí),則f(x)在x0處取得極大值。 12.極值的第二充分條件:設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo),在x=x0處二階可導(dǎo),且。(1)若,則f(x)在x0處取得極小值;(2)若,

5、則f(x)在x0處取得極大值。 13.羅爾中值定理:若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且f(a)=f(b),則存在ξ∈(a,b),使 [證明] 若當(dāng)x∈(a,b),f(x)≡f(a),則對(duì)任意x∈(a,b),.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí),f(x)≠f(a),因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù),所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一個(gè)不等于f(a),不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m,則c∈(a,b),且f(c)為最大值,故,綜上得證。 14.Lagrange中值定理:若f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),則存在ξ∈(a,b),使 [證明] 令F

6、(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)上可導(dǎo),且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0,即 15.曲線凸性的充分條件:設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),(1)如果對(duì)任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的;(2)如果對(duì)任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱(chēng)上凸函數(shù)為凸函數(shù),下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16.琴生不等式:設(shè)α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。(1)若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù),則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(x

7、n). 二、方法與例題 1.極限的求法。 例1 求下列極限:(1);(2);(3);(4) [解](1)=; (2)當(dāng)a>1時(shí), 當(dāng)0

8、的連續(xù)性。 [解] 當(dāng)x∈[0,1)時(shí),有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t,則x=t-1,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,當(dāng)x∈[1,2)時(shí),令x+1=t,則當(dāng)t∈[2,3)時(shí),有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ,所以f(x)=f(x)=f(2)=0,所以f(x)在x=2處連續(xù)。 3.

9、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 [解] 因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則,切線的斜率為,所以切線方程為y-y0=,即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)(2,0),所以,所以x0=1,所以所求的切線方程為y=-(x-2),即x+y-2=0. 4.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=sin(3x+1);(2);(3)y=ecos2x;(4);(5)y=(1-2x)x(x>0且)。 [解] (1)3cos(3x+1). (2) (3) (4) (5) 5.用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6 設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)

10、(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 [解] ,因?yàn)閤>0,a>0,所以x2+(2a-4)x+a2>0;x2+(2a-4)x+a+<0. (1)當(dāng)a>1時(shí),對(duì)所有x>0,有x2+(2a-4)x+a2>0,即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;(2)當(dāng)a=1時(shí),對(duì)x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0,即,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)遞增,又f(x)在x=1處連續(xù),因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增;(3)當(dāng)00,解得x<2-a-或x>2-a+,因此,f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2-a+,+∞)內(nèi)也單

11、調(diào)遞增,而當(dāng)2-a-2x. [證明] 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x,則=cosx+sec2x-2,當(dāng)時(shí),(因?yàn)?f(0)=0,即sinx+tanx>2x. 7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。 例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值,試求a與b的值,并指出這時(shí)

12、f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。 [解] 因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù),可導(dǎo),又f(x)在x1=1,x2=2處取得極值,所以,又+2bx+1,所以解得 所以. 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),,所以f(x)在(0,1]上遞減; 當(dāng)x∈(1,2)時(shí),,所以f(x)在[1,2]上遞增; 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),,所以f(x)在[2,+∞)上遞減。 綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值,在x2=2處取得極大值。 例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1],試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 [解] 首先,當(dāng)x∈[0,π],y

13、∈[0,1]時(shí), f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x,令g(x)=, 當(dāng)時(shí),因?yàn)閏osx>0,tanx>x,所以; 當(dāng)時(shí),因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以; 又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù),所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。 又因?yàn)?<(1-y)xg(x),即, 又因?yàn)?,所以?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí),f(x,y)>0. 其次,當(dāng)x=0時(shí),f(x,y)=0;當(dāng)x=π時(shí),f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0. 當(dāng)y=1時(shí),f(x,y)=-

14、sinx+sinx=0;當(dāng)y=1時(shí),f(x,y)=sinx≥0. 綜上,當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí),f(x,y)取最小值0。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1.=_________. 2.已知,則a-b=_________. 3._________. 4._________. 5.計(jì)算_________. 6.若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且存在,則_________. 7.函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo),且,則_________. 8.若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________. 9.函數(shù)f(x)=x-

15、2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________. 10.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________. 11.若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,求實(shí)數(shù)a. 12.求sin290的近似值。 13.設(shè)0

16、點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________. 8.當(dāng)x>0時(shí),比較大?。簂n(x+1) _________x. 9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________,最小值為_(kāi)________. 10.曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為_(kāi)________. 11.若x>0,求證:(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),且>0,x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切

17、線方程,另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用x0,f(x0),表示m;(2)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x);(3)若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實(shí)數(shù),求b的取值范圍及a,b所滿(mǎn)足的關(guān)系。 13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿(mǎn)足lnxn+,證明:xn≤1(n∈N+). 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0?只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù),Sn是Mn中所有元素的和,則_________. 2.若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288,則_________. 3.設(shè)f(x)

18、,g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí), ,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為_(kāi)________. 4.曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________. 5.已知a∈R+,函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________. 6.已知在(a,3-a2)上有最大值,則a的取值范圍是_________. 7.當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=恒成立,則y=lg(a2-a+3)的最小值為_(kāi)________. 8.已知f(x)=ln(ex+a)(a>0),若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln[]<0恒成立,則實(shí)數(shù)

19、m取值范圍是_________. 9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值;(2)設(shè)01.

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