2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù)

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1、2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù)一、 基礎(chǔ)知識(shí)1極限定義：（1）若數(shù)列un滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)m，當(dāng)nm且nN時(shí)，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，則c(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在(a,b)，使證明 令F(x)=f(x)-,則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意xI,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)

2、任意xI,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16琴生不等式：設(shè)1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函數(shù)，則x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法與例題1極限的求法。例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)0a1時(shí)， 當(dāng)a=1時(shí)，（3）因?yàn)槎裕?）例2 求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6 設(shè)a0

3、，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的單調(diào)區(qū)間。解 ，因?yàn)閤0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a+1時(shí)，對(duì)所有x0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x1,有x2+(2a-4)x+a20，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-x2-a+時(shí)，x2+(2a-4)x+a22x.證明 設(shè)f(x)=si

4、nx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?cosxf(0)=0，即sinx+tanx2x.7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。解 因?yàn)閒(x)在(0,+)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，所以f(x)在(0,1上遞減；當(dāng)x(1,2)時(shí)，所以f(x)在1，2上遞增；當(dāng)x(2,+)時(shí)，所以f(x)在2，+）上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取

5、得極大值。例9 設(shè)x0,y0,1，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。解 首先，當(dāng)x0,y0,1時(shí)，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanxx，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx0,tanx0，所以；又因?yàn)間(x)在(0,)上連續(xù)，所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?(1-y)xxg(x)，即，又因?yàn)椋援?dāng)x(0,),y(0,1)時(shí)，f(x,y)0.其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)0.當(dāng)y=1時(shí)，

6、f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1=_.2已知，則a-b=_.3_.4_.5計(jì)算_.6若f(x)是定義在(-,+)上的偶函數(shù)，且存在，則_.7函數(shù)f(x)在(-,+)上可導(dǎo)，且，則_.8若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi).9函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_.10函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi).11若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a.12.求sin290的近似值。13設(shè)0ba0時(shí)，比較大?。簂n(x+1) _x.9.函數(shù)f(x

7、)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi).10曲線y=e-x(x0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_(kāi).11若x0，求證：(x2-1)lnx(x-1)2.12函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且0，x0(0,+).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0)處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當(dāng)x(0,+)時(shí)，g(x)f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的

8、關(guān)系。13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列xn滿足lnxn+,證明：xn1(nN+).五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1設(shè)Mn=（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_.2若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則_.3設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)0)，若對(duì)任意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是_.9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0ab，證明：0g(a)+g(b)-(b-a)ln2.10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0x1)，求f(x)的最小值；（2）設(shè)正數(shù)p1,p2,滿足p1+p2+p3+=1，求證：p1log2p1+p2 log2p2+log2-n.11.若函數(shù)gA(x)的定義域A=a,b)，且gA(x)=,其中a,b為任意的正實(shí)數(shù)，且ab，（1）求gA(x)的最小值；（2）討論gA(x)的單調(diào)性；（3）若x1Ik=k2,(k+1)2,x2Ik+1=(k+1)2,(k+2)2，證明：六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1證明下列不等式：（1）；（2）。2當(dāng)01.