8、的連續(xù)性。
[解] 當(dāng)x∈[0,1)時,有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t,則x=t-1,當(dāng)x∈[1,2)時,利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,當(dāng)x∈[1,2)時,令x+1=t,則當(dāng)t∈[2,3)時,有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以
所以
,所以f(x)=f(x)=f(2)=0,所以f(x)在x=2處連續(xù)。
3.
9、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。
[解] 因為點(diǎn)(2,0)不在曲線上,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則,切線的斜率為,所以切線方程為y-y0=,即。又因為此切線過點(diǎn)(2,0),所以,所以x0=1,所以所求的切線方程為y=-(x-2),即x+y-2=0.
4.導(dǎo)數(shù)的計算。
例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=sin(3x+1);(2);(3)y=ecos2x;(4);(5)y=(1-2x)x(x>0且)。
[解] (1)3cos(3x+1).
(2)
(3)
(4)
(5)
5.用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。
例6 設(shè)a>0,求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)
10、(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。
[解] ,因為x>0,a>0,所以x2+(2a-4)x+a2>0;x2+(2a-4)x+a+<0.
(1)當(dāng)a>1時,對所有x>0,有x2+(2a-4)x+a2>0,即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;(2)當(dāng)a=1時,對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0,即,所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)遞增,又f(x)在x=1處連續(xù),因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增;(3)當(dāng)00,解得x<2-a-或x>2-a+,因此,f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增,在(2-a+,+∞)內(nèi)也單
11、調(diào)遞增,而當(dāng)2-a-2x.
[證明] 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x,則=cosx+sec2x-2,當(dāng)時,(因為0f(0)=0,即sinx+tanx>2x.
7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。
例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值,試求a與b的值,并指出這時
12、f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
[解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù),可導(dǎo),又f(x)在x1=1,x2=2處取得極值,所以,又+2bx+1,所以解得
所以.
所以當(dāng)x∈(0,1)時,,所以f(x)在(0,1]上遞減;
當(dāng)x∈(1,2)時,,所以f(x)在[1,2]上遞增;
當(dāng)x∈(2,+∞)時,,所以f(x)在[2,+∞)上遞減。
綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值,在x2=2處取得極大值。
例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1],試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
[解] 首先,當(dāng)x∈[0,π],y
13、∈[0,1]時,
f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x,令g(x)=,
當(dāng)時,因為cosx>0,tanx>x,所以;
當(dāng)時,因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以;
又因為g(x)在(0,π)上連續(xù),所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。
又因為0<(1-y)xg(x),即,
又因為,所以當(dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時,f(x,y)>0.
其次,當(dāng)x=0時,f(x,y)=0;當(dāng)x=π時,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
當(dāng)y=1時,f(x,y)=-
14、sinx+sinx=0;當(dāng)y=1時,f(x,y)=sinx≥0.
綜上,當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時,f(x,y)取最小值0。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1.=_________.
2.已知,則a-b=_________.
3._________.
4._________.
5.計算_________.
6.若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且存在,則_________.
7.函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo),且,則_________.
8.若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P坐標(biāo)為_________.
9.函數(shù)f(x)=x-
15、2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_________.
11.若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,求實(shí)數(shù)a.
12.求sin290的近似值。
13.設(shè)0
16、點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_________.
8.當(dāng)x>0時,比較大?。簂n(x+1) _________x.
9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_________,最小值為_________.
10.曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t),則S(t)的最大值為_________.
11.若x>0,求證:(x2-1)lnx≥(x-1)2.
12.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),且>0,x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切
17、線方程,另設(shè)g(x)=kx+m,(1)用x0,f(x0),表示m;(2)證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時,g(x)≥f(x);(3)若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立,其中a,b為實(shí)數(shù),求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。
13.設(shè)各項為正的無窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明:xn≤1(n∈N+).
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0?只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn是Mn中元素的個數(shù),Sn是Mn中所有元素的和,則_________.
2.若(1-2x)9展開式的第3項為288,則_________.
3.設(shè)f(x)
18、,g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時,
,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________.
4.曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.
5.已知a∈R+,函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________.
6.已知在(a,3-a2)上有最大值,則a的取值范圍是_________.
7.當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=恒成立,則y=lg(a2-a+3)的最小值為_________.
8.已知f(x)=ln(ex+a)(a>0),若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln[]<0恒成立,則實(shí)數(shù)
19、m取值范圍是_________.
9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函數(shù)f(x)的最大值;(2)設(shè)01.