2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第4講 基本不等式教學(xué)案 理 北師大版

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1、第4講基本不等式一、知識梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等號成立的條件均為ab.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正實數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)常用結(jié)論已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)二

2、、教材衍化1設(shè)x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_解析：因為x0，y0，所以，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.答案：812若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.解析：設(shè)矩形的一邊為x m，則另一邊為(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.答案：25一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)yx的最小值是2.()(2)ab成立的條件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要條件()(4)若a0，則a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易錯糾偏(1

3、)忽視基本不等式成立的條件；(2)基本不等式不會變形使用1 “x0”是“x2成立”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.當x0時，x22.因為x，同號，所以若x2，則x0，0，所以“x0”是“x2成立”的充要條件，故選C.2設(shè)x0，則函數(shù)yx的最小值為_解析：yx2220，當且僅當x，即x時等號成立所以函數(shù)的最小值為0.答案：0利用基本不等式求最值(多維探究)角度一通過配湊法利用基本不等式求最值 (1)已知0x1)的最小值為_【解析】(1)x(43x)(3x)(43x)，當且僅當3x43x，即x時，取等號(2)y(x1)222.當且僅當(x1)，

4、即x1時，等號成立【答案】(1)(2)22角度二通過常數(shù)代換利用基本不等式求最值 若a0，b0，lg alg blg(ab)，則ab的最小值為()A8 B6 C4 D2【解析】由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，則有1，所以ab(ab)2224，當且僅當ab2時等號成立，所以ab的最小值為4，故選C.【答案】C角度三通過消元法利用基本不等式求最值 (一題多解)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_【解析】法一：由已知得x3y9xy，又因為x0，y0，所以x3y2，所以3xy，當且僅當x3y時，即x3，y1時取等號，(x3y)212(x3y)108

5、0.令x3yt，則t0且t212t1080，得t6即x3y6.法二：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266.當且僅當3(1y)，即y1時等號成立所以x3y的最小值為6.【答案】6角度四多次利用基本不等式求最值 若a，bR，ab0，則的最小值為_【解析】因為ab0，所以4ab24，當且僅當時取等號，故的最小值是4.【答案】4(1)利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式(2)常數(shù)代換法，主要解決形如“已知xyt(t為常數(shù))，求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值(3)當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，

6、湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”，最后利用基本不等式求最值(4)當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 (2020河南許昌、洛陽第三次質(zhì)量檢測)已知x0，y0，且1，則xyxy的最小值為_解析：因為1，所以xyy2x，xyxy3x2y(3x2y)774(當且僅當yx，即x1，y2時取等號)所以xyxy的最小值為74.答案：74基本不等式的實際應(yīng)用(師生共研) 某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲

7、時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，則每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件 B80件 C100件 D120件【解析】若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是元，倉儲費用是元，總的費用是220，當且僅當，即x80時取等號，故選B.【答案】B利用基本不等式求解實際問題的注意事項(1)根據(jù)實際問題抽象出目標函數(shù)的表達式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值(2)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(3)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解 某公司購買一批機器投

8、入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN+)，則該公司年平均利潤的最大值是_萬元解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當且僅當x5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元答案：8基本不等式的綜合應(yīng)用(多維探究)角度一與其他知識的交匯問題 (1)已知直線axbyc10(b，c0)經(jīng)過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是_(2)設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，其前n項和是Sn，若a1d1，則的最小值是_【解析】(1)圓x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0，1

9、)因為直線axbyc10經(jīng)過圓心C，所以a0b1c10，即bc1.因此(bc)5.因為b，c0，所以24.當且僅當b2c，且bc1，即b，c時，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，所以(n1)，當且僅當n4時取等號所以的最小值是.【答案】(1)9(2)角度二求參數(shù)的值或取值范圍 已知不等式(xy)9對任意的正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，當且僅當yx時取等號，所以(xy)的最小值為(1)2，所以(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解(

10、2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍 1已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，則的最小值是()A2 B2 C4 D2解析：選C.因為lg 2xlg 8ylg 2，所以lg(2x8y)lg 2，所以2x3y2，所以x3y1.因為x0，y0，所以(x3y)2224，當且僅當x3y時取等號，所以的最小值為4.故選C.2已知直線l：axbyab0(a0，b0)經(jīng)過點(2，3)，則ab的最小值為_解析：因為直線l經(jīng)過點(2，3)，所以2a3bab0，則1，所以ab(ab)552

11、.當且僅當，即a3，b2時等號成立答案：523已知函數(shù)f(x)(aR)，若對于任意的xN+，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_解析：對任意xN+，f(x)3恒成立，即3恒成立，即a3.設(shè)g(x)x，當x，即x2時，g(x)取得最小值，又xN*，則g(2)6，g(3).因為g(2)g(3)，所以g(x)min，所以3，所以a，故a的取值范圍是.答案：利用均值定理連續(xù)放縮求最值已知ab0，那么a2的最小值為_【解析】因為ab0，所以ab0，所以b(ab)，所以a2a224，當且僅當bab且a2，即a且b時取等號，所以a2的最小值為4.【答案】4設(shè)ab0，則a2的最小值是_【解析】因為ab0，所以

12、ab0，所以a2(a2ab)ab224(當且僅當a2ab且ab，即a，b時取等號)【答案】4利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時一定要注意驗證等號是否成立，特別是當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法 已知正實數(shù)a，b，c，d滿足ab1，cd1，則的最小值是()A10B9C4D3解析：選B.因為ab1，a0，b0，所以ab，所以4，當且僅當ab時，取等號又因為cd1，c0，d0，所以4(cd)5529，當且僅當ab，且c，d時，取等號，即的

13、最小值為9，故選B. 基礎(chǔ)題組練1下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：選C.對于選項A，當x0時，x2x0，所以lglg x；對于選項B，當sin x0時顯然不成立；對于選項C，x21|x|212|x|，一定成立；對于選項D，因為x211，所以01.故選C.2(2020廣西欽州期末)已知a，bR，a2b215ab，則ab的最大值是()A15 B12 C5 D3解析：選C.因為a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，當且僅當ab時等號成立所以ab的最大值為5.故選C.3已知f(x)，則f(x)在上的最小

14、值為()A. B C1 D0解析：選D.f(x)x2220，當且僅當x，即x1時取等號又1，所以f(x)在上的最小值是0.4若實數(shù)a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2 C2 D4解析：選C.因為，所以a0，b0，由22，所以ab2(當且僅當b2a時取等號)，所以ab的最小值為2.5(2020湖南衡陽期末)已知P是面積為1的ABC內(nèi)的一點(不含邊界)，若PAB，PAC和PBC的面積分別為x，y，z，則的最小值是()A. BC. D3解析：選D.因為xyz1，0x1，0y1，0z0，b0，3ab2ab，則ab的最小值為_解析：由a0，b0，3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，當且僅當b

15、a時等號成立，則ab的最小值為2.答案：27(2020江西吉安期末)已知函數(shù)f(x)，則f(x) 的最大值為_解析：設(shè)tsin x2，則t1，3，則sin2x(t2)2，則g(t)t4(1t3)，由“對勾函數(shù)”的性質(zhì)可得g(t)在1，2)上為減函數(shù)，在(2，3上為增函數(shù)，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值為1.答案：18已知正數(shù)x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數(shù)的最小值為_解析：依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，即的最大值為2.又恒成立，因此有2，即的最小值為2.答案：29(1)當x時，求函數(shù)yx的最大值；(2)設(shè)0x2

16、，求函數(shù)y的最大值解：(1)y(2x3).當x0，所以24，當且僅當，即x時取等號于是y4，故函數(shù)的最大值為.(2)因為0x0，所以y，當且僅當x2x，即x1時取等號，所以當x1時，函數(shù)y的最大值為.10已知x0，y0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x0，y0，則12 .得xy64，當且僅當x16，y4時，等號成立所以xy的最小值為64.(2)由2x8yxy0，得1，則xy(xy)10102 18.當且僅當x12，y6時等號成立，所以xy的最小值為18.綜合題組練1已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9 B12 C

17、18 D24解析：選B.由，得m(a3b)6.又62612，當且僅當，即a3b時等號成立，所以m12，所以m的最大值為12.2(2020湖北恩施2月教學(xué)質(zhì)量檢測)已知角，的頂點都為坐標原點，始邊都與x軸的非負半軸重合，且都為第一象限的角，終邊上分別有點A(1，a)，B(2，b)，且2，則b的最小值為()A1 B C. D2解析：選C.由已知得，a0，b0，tan a，tan ，因為2，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，當且僅當，即b時，取等號故b的最小值為.3(2020安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)若ab0，則a2b2的最小值為_解析：a2b22，當且僅當ab2時，a2b2取得最小值.

18、答案：4當xR時，32x(k1)3x20恒成立，則k的取值范圍是_解析：由32x(k1)3x20，解得k10恒成立，所以當xR時，k1，即k12，即k0，y0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因為x0，y0，所以由基本不等式，得2x5y2.因為2x5y20，所以220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)因為x0，y0，所以.當且僅當時，等號成立由解得所以的最小值為.6某廠家擬定在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測

19、算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m0)萬元滿足x3(k為常數(shù))如果不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解：(1)由題意知，當m0時，x1(萬件)，所以13kk2，所以x3(m0)，每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5(元)，所以2020年的利潤y1.5x816xm29(m0)(2)因為m0時，(m1)28，所以y82921，當且僅當m1m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元16