2021版高考數學一輪復習 第七章 不等式 第4講 基本不等式教學案 理 北師大版

第4講基本不等式一、知識梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同號)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等號成立的條件均為ab.3算術平均數與幾何平均數設a>0，b>0，則a，b的算術平均數為，幾何平均數為，基本不等式可敘述為：兩個正實數的算術平均數不小于它們的幾何平均數常用結論已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)二、教材衍化1設x0，y0，且xy18，則xy的最大值為_解析：因為x>0，y>0，所以，即xy81，當且僅當xy9時，(xy)max81.答案：812若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_m2.解析：設矩形的一邊為x m，則另一邊為×(202x)(10x)m，所以yx(10x)25，當且僅當x10x，即x5時，ymax25.答案：25一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數yx的最小值是2.()(2)ab成立的條件是ab>0.()(3)“x>0且y>0”是“2”的充要條件()(4)若a>0，則a3的最小值是2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易錯糾偏(1)忽視基本不等式成立的條件；(2)基本不等式不會變形使用1 “x>0”是“x2成立”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.當x>0時，x22.因為x，同號，所以若x2，則x>0，>0，所以“x>0”是“x2成立”的充要條件，故選C.2設x>0，則函數yx的最小值為_解析：yx2220，當且僅當x，即x時等號成立所以函數的最小值為0.答案：0利用基本不等式求最值(多維探究)角度一通過配湊法利用基本不等式求最值 (1)已知0<x<1，則x(43x)取得最大值時x的值為_(2)函數y(x>1)的最小值為_【解析】(1)x(43x)·(3x)(43x)·，當且僅當3x43x，即x時，取等號(2)y(x1)222.當且僅當(x1)，即x1時，等號成立【答案】(1)(2)22角度二通過常數代換利用基本不等式求最值 若a0，b0，lg alg blg(ab)，則ab的最小值為()A8 B6 C4 D2【解析】由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，則有1，所以ab(ab)2224，當且僅當ab2時等號成立，所以ab的最小值為4，故選C.【答案】C角度三通過消元法利用基本不等式求最值 (一題多解)已知x>0，y>0，x3yxy9，則x3y的最小值為_【解析】法一：由已知得x3y9xy，又因為x>0，y>0，所以x3y2，所以3xy，當且僅當x3y時，即x3，y1時取等號，(x3y)212(x3y)1080.令x3yt，則t>0且t212t1080，得t6即x3y6.法二：由x3yxy9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266.當且僅當3(1y)，即y1時等號成立所以x3y的最小值為6.【答案】6角度四多次利用基本不等式求最值 若a，bR，ab>0，則的最小值為_【解析】因為ab0，所以4ab24，當且僅當時取等號，故的最小值是4.【答案】4(1)利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數”或“積為常數”的形式(2)常數代換法，主要解決形如“已知xyt(t為常數)，求的最值”的問題，先將轉化為·，再用基本不等式求最值(3)當所求最值的代數式中的變量比較多時，通常是考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數”或“積為常數”，最后利用基本不等式求最值(4)當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換是否有誤的一種方法 (2020·河南許昌、洛陽第三次質量檢測)已知x>0，y>0，且1，則xyxy的最小值為_解析：因為1，所以xyy2x，xyxy3x2y(3x2y)774(當且僅當yx，即x1，y2時取等號)所以xyxy的最小值為74.答案：74基本不等式的實際應用(師生共研) 某車間分批生產某種產品，每批產品的生產準備費用為800元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，則每批應生產產品()A60件 B80件 C100件 D120件【解析】若每批生產x件產品，則每件產品的生產準備費用是元，倉儲費用是元，總的費用是220，當且僅當，即x80時取等號，故選B.【答案】B利用基本不等式求解實際問題的注意事項(1)根據實際問題抽象出目標函數的表達式，再利用基本不等式求得函數的最值(2)設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(3)解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍(4)在應用基本不等式求函數最值時，若等號取不到，可利用函數的單調性求解 某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為yx218x25(xN+)，則該公司年平均利潤的最大值是_萬元解析：每臺機器運轉x年的年平均利潤為18，而x0，故1828，當且僅當x5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元答案：8基本不等式的綜合應用(多維探究)角度一與其他知識的交匯問題 (1)已知直線axbyc10(b，c>0)經過圓x2y22y50的圓心，則的最小值是_(2)設等差數列an的公差是d，其前n項和是Sn，若a1d1，則的最小值是_【解析】(1)圓x2y22y50化成標準方程，得x2(y1)26，所以圓心為C(0，1)因為直線axbyc10經過圓心C，所以a×0b×1c10，即bc1.因此(bc)5.因為b，c>0，所以24.當且僅當b2c，且bc1，即b，c時，取得最小值9.(2)ana1(n1)dn，Sn，所以(n1)，當且僅當n4時取等號所以的最小值是.【答案】(1)9(2)角度二求參數的值或取值范圍 已知不等式(xy)9對任意的正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為_【解析】(xy)1a1a2(1)2(x，y，a>0)，當且僅當yx時取等號，所以(xy)的最小值為(1)2，所以(1)29恒成立所以a4.【答案】4(1)應用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉化成能利用基本不等式的形式求解(3)求參數的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關成立條件，從而得參數的值或范圍 1已知x>0，y>0，lg 2xlg 8ylg 2，則的最小值是()A2 B2 C4 D2解析：選C.因為lg 2xlg 8ylg 2，所以lg(2x·8y)lg 2，所以2x3y2，所以x3y1.因為x>0，y>0，所以(x3y)2224，當且僅當x3y時取等號，所以的最小值為4.故選C.2已知直線l：axbyab0(a>0，b>0)經過點(2，3)，則ab的最小值為_解析：因為直線l經過點(2，3)，所以2a3bab0，則1，所以ab(ab)552.當且僅當，即a3，b2時等號成立答案：523已知函數f(x)(aR)，若對于任意的xN+，f(x)3恒成立，則a的取值范圍是_解析：對任意xN+，f(x)3恒成立，即3恒成立，即a3.設g(x)x，當x，即x2時，g(x)取得最小值，又xN*，則g(2)6，g(3).因為g(2)g(3)，所以g(x)min，所以3，所以a，故a的取值范圍是.答案：利用均值定理連續(xù)放縮求最值已知a>b>0，那么a2的最小值為_【解析】因為a>b>0，所以ab>0，所以b(ab)，所以a2a224，當且僅當bab且a2，即a且b時取等號，所以a2的最小值為4.【答案】4設a>b>0，則a2的最小值是_【解析】因為a>b>0，所以ab>0，所以a2(a2ab)ab224(當且僅當a2ab且ab，即a，b時取等號)【答案】4利用基本不等式求函數或代數式的最值時一定要注意驗證等號是否成立，特別是當連續(xù)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且注意取等號的條件的一致性，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換是否有誤的一種方法 已知正實數a，b，c，d滿足ab1，cd1，則的最小值是()A10B9C4D3解析：選B.因為ab1，a>0，b>0，所以ab，所以4，當且僅當ab時，取等號又因為cd1，c>0，d>0，所以4·(cd)·5529，當且僅當ab，且c，d時，取等號，即的最小值為9，故選B. 基礎題組練1下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)解析：選C.對于選項A，當x>0時，x2x0，所以lglg x；對于選項B，當sin x<0時顯然不成立；對于選項C，x21|x|212|x|，一定成立；對于選項D，因為x211，所以0<1.故選C.2(2020·廣西欽州期末)已知a，bR，a2b215ab，則ab的最大值是()A15 B12 C5 D3解析：選C.因為a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，當且僅當ab±時等號成立所以ab的最大值為5.故選C.3已知f(x)，則f(x)在上的最小值為()A. B C1 D0解析：選D.f(x)x2220，當且僅當x，即x1時取等號又1，所以f(x)在上的最小值是0.4若實數a，b滿足，則ab的最小值為()A. B2 C2 D4解析：選C.因為，所以a0，b0，由22，所以ab2(當且僅當b2a時取等號)，所以ab的最小值為2.5(2020·湖南衡陽期末)已知P是面積為1的ABC內的一點(不含邊界)，若PAB，PAC和PBC的面積分別為x，y，z，則的最小值是()A. BC. D3解析：選D.因為xyz1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以1213，當且僅當，即x時等號成立，所以的最小值為3.故選D.6已知a>0，b>0，3ab2ab，則ab的最小值為_解析：由a>0，b>0，3ab2ab，得1，所以ab(ab)22，當且僅當ba時等號成立，則ab的最小值為2.答案：27(2020·江西吉安期末)已知函數f(x)，則f(x) 的最大值為_解析：設tsin x2，則t1，3，則sin2x(t2)2，則g(t)t4(1t3)，由“對勾函數”的性質可得g(t)在1，2)上為減函數，在(2，3上為增函數，又g(1)1，g(3)，所以g(t)maxg(1)1.即f(x)的最大值為1.答案：18已知正數x，y滿足x2(xy)恒成立，則實數的最小值為_解析：依題意得x2x(x2y)2(xy)，即2(當且僅當x2y時取等號)，即的最大值為2.又恒成立，因此有2，即的最小值為2.答案：29(1)當x<時，求函數yx的最大值；(2)設0<x<2，求函數y的最大值解：(1)y(2x3).當x<時，有32x>0，所以24，當且僅當，即x時取等號于是y4，故函數的最大值為.(2)因為0<x<2，所以2x>0，所以y··，當且僅當x2x，即x1時取等號，所以當x1時，函數y的最大值為.10已知x>0，y>0，且2x8yxy0，求(1)xy的最小值；(2)xy的最小值解：(1)由2x8yxy0，得1，又x>0，y>0，則12 .得xy64，當且僅當x16，y4時，等號成立所以xy的最小值為64.(2)由2x8yxy0，得1，則xy·(xy)10102 18.當且僅當x12，y6時等號成立，所以xy的最小值為18.綜合題組練1已知a0，b0，若不等式恒成立，則m的最大值為()A9 B12 C18 D24解析：選B.由，得m(a3b)6.又62612，當且僅當，即a3b時等號成立，所以m12，所以m的最大值為12.2(2020·湖北恩施2月教學質量檢測)已知角，的頂點都為坐標原點，始邊都與x軸的非負半軸重合，且都為第一象限的角，終邊上分別有點A(1，a)，B(2，b)，且2，則b的最小值為()A1 B C. D2解析：選C.由已知得，a>0，b>0，tan a，tan ，因為2，所以tan tan 2，所以a，所以bb2，當且僅當，即b時，取等號故b的最小值為.3(2020·安徽合肥第二次教學質量檢測)若ab0，則a2b2的最小值為_解析：a2b22，當且僅當ab2時，a2b2取得最小值.答案：4當xR時，32x(k1)3x2>0恒成立，則k的取值范圍是_解析：由32x(k1)3x2>0，解得k1<3x.因為3x2，所以3x的最小值為2.又當xR時，32x(k1)3x2>0恒成立，所以當xR時，k1<，即k1<2，即k<21.答案：(，21)5已知x>0，y>0，且2x5y20.求：(1)ulg xlg y的最大值；(2)的最小值解：(1)因為x>0，y>0，所以由基本不等式，得2x5y2.因為2x5y20，所以220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.所以ulg xlg ylg(xy)lg 101.所以當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)因為x>0，y>0，所以·.當且僅當時，等號成立由解得所以的最小值為.6某廠家擬定在2020年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m(m0)萬元滿足x3(k為常數)如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷量只能是1萬件已知2020年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)(1)將2020年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數；(2)該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解：(1)由題意知，當m0時，x1(萬件)，所以13kk2，所以x3(m0)，每件產品的銷售價格為1.5×(元)，所以2020年的利潤y1.5x×816xm29(m0)(2)因為m0時，(m1)28，所以y82921，當且僅當m1m3(萬元)時，ymax21(萬元)故該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元16