2022年人教A版高中數學必修二 2-3-3 直線與平面垂直的性質 教案

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1、2022年人教A版高中數學必修二 2-3-3 直線與平面垂直的性質 教案 教學目標 1.知識與技能： （1）理解并掌握直線與平面垂直的定義和性質定理；能對定義與性質定理進行簡單應用 ； （2）通過對定義和性質定理的探究和運用，初步培養(yǎng)學生的幾何直觀能力和抽象概括能力； （3）通過對探究過程的引導，努力提高學生學習數學的熱情,培養(yǎng)學生主動探究的習慣. 2.過程與方法：經歷位置關系判斷的推導過程，體驗由特殊到一般、數形結合的數學思想方法。使學生初步學會把一些實際問題轉化為直線和平面的問題,關鍵是要使該問題是否滿足直線和平面垂直的性質定理，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力 3

2、.情感態(tài)度價值觀： （1）空間教學的核心問題是讓學生了解平面的特征，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些現(xiàn)象； （2）用有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學生掌握“理論來源于實踐，并把理論應用于實踐”的辨證思想 重點難點 1.教學重點：操作確認并概括出直線與平面的定義和性質定理的過程及初步應用； 2.教學難點：操作確認并概括出直線與平面的定義和性質定理的過程. 教學過程： 復習 直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直

3、線的垂面.直線和平面垂直的畫法及表示如下： 圖1 如圖1，表示方法為：a⊥α. 由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a. 導入新課 如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關系？ 圖2 提出問題 ①回憶空間兩直線平行的定義. ②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關系？ ③找出恰當空間模型探究同垂直于一個平面的兩條直線的位置關系. ④用三種語言描述直線與平面垂直的性質定理. ⑤如何理解直線與平面垂直的性質定理的地位與作用？ 討論結果：①如果兩條直線沒有公共點，我們說這兩條

4、直線平行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法. ②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關系可能是：相交、平行、異面. 圖3 ③如圖4，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關系？ 圖4 圖5 棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行. ④直線和平面垂直的性質定理用文字語言表示為： 垂直于同一個平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行. 直線和平面垂直的性質定理用符號語言表示為：

5、b∥a. 直線和平面垂直的性質定理用圖形語言表示為：如圖5. ⑤直線與平面垂直的性質定理不僅揭示了線面之間的關系，而且揭示了平行與垂直之間的內在聯(lián)系. 應用示例 例1 證明垂直于同一個平面的兩條直線平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求證：a∥b. 圖6 證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′. 直線b′與直線b確定平面β，設α∩β=c,則O∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c. ∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β, a∥b′顯然不可能，因此b∥a. 例2 如圖7，已知α∩β=l,E

6、A⊥α于點A,EB⊥β于點B,aα,a⊥AB. 求證:a∥l. 圖7 證明：l⊥平面EAB. 又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA. 又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB. ∴a∥l. 例2 如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα. 求證：a∥α. 圖8 證明：在直線a上取一點A，過A作b′∥b，則b′必與α相交，設交點為B，過相交直線a、b′作平面β，設α∩β=a′, ∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α. 又∵a′α,∴b′⊥a′. 由a，b′，a′都在平面β內，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例3 如圖9，已知PA⊥矩

7、形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點. （1）求證：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45°，求證:MN⊥面PCD. 圖9 證明：(1)取PD中點E,又N為PC中點,連接NE,則NE∥CD,NE=CD. 又∵AM∥CD,AM=CD, ∴AMNE. ∴四邊形AMNE為平行四邊形. ∴MN∥AE. ∵CD⊥AE. (2)當∠PDA=45°時,Rt△PAD為等腰直角三角形, 則AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 變式訓練 已知a、b、c是平面α內相交于一點O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b

8、、c三條直線成等角.求證：l⊥α. 證明：分別在a、b、c上取點A、B、C并使AO=BO=CO.設l經過O，在l上取一點P，在△POA、△POB、△POC中， ∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB的中點D, 連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO平面POD,∴PO⊥AB. 同理,可證PO⊥BC. ∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α. 若l不經過點O時，可經過點O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α， ∴l(xiāng)⊥α.

9、 課堂練習： 1．若表示直線，表示平面，下列條件中，能使的是 （ ） 2．已知與是兩條不同的直線，若直線平面，①若直線，則；②若，則；③若，則；④，則。上述判斷正確的是 （ ） ①②③ ②③④ ①③④ ②④ 3．在直四棱柱中，當底面四邊形滿足條件 時，有（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況） 4、如圖，直三棱柱中，，側棱，側面的兩條對角線交于點，的中點為， 求證：平面 課堂小結 知識總結：利用線面垂直的性質定理將線面垂直問題轉化為線線平行，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等. 思想方法總結：轉化思想，即把面面關系轉化為線面關系，把空間問題轉化為平面問題. 作業(yè) 課本習題2.3 B 組1、2.