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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì) 教案
教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與技能:
(1)理解并掌握直線與平面垂直的定義和性質(zhì)定理;能對(duì)定義與性質(zhì)定理進(jìn)行簡單應(yīng)用 ;
(2)通過對(duì)定義和性質(zhì)定理的探究和運(yùn)用,初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和抽象概括能力;
(3)通過對(duì)探究過程的引導(dǎo),努力提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的習(xí)慣.
2.過程與方法:經(jīng)歷位置關(guān)系判斷的推導(dǎo)過程,體驗(yàn)由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直線和平面的問題,關(guān)鍵是要使該問題是否滿足直線和平面垂直的性質(zhì)定理,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力
3
2、.情感態(tài)度價(jià)值觀:
(1)空間教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解平面的特征,加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系,以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些現(xiàn)象;
(2)用有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)例,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學(xué)生掌握“理論來源于實(shí)踐,并把理論應(yīng)用于實(shí)踐”的辨證思想
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):操作確認(rèn)并概括出直線與平面的定義和性質(zhì)定理的過程及初步應(yīng)用;
2.教學(xué)難點(diǎn):操作確認(rèn)并概括出直線與平面的定義和性質(zhì)定理的過程.
教學(xué)過程:
復(fù)習(xí)
直線與平面垂直的定義:一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,我們說這條直線和這個(gè)平面互相垂直,直線叫做平面的垂線,平面叫做直
3、線的垂面.直線和平面垂直的畫法及表示如下:
圖1
如圖1,表示方法為:a⊥α.
由直線與平面垂直的定義不難得出:b⊥a.
導(dǎo)入新課
如圖2,長方體ABCD—A′B′C′D′中,棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD,它們之間具有什么位置關(guān)系?
圖2
提出問題
①回憶空間兩直線平行的定義.
②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系?
③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系.
④用三種語言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用?
討論結(jié)果:①如果兩條直線沒有公共點(diǎn),我們說這兩條
4、直線平行.它的定義是以否定形式給出的,其證明方法多用反證法.
②如圖3,同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是:相交、平行、異面.
圖3
③如圖4,長方體ABCD—A′B′C′D′中,棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD,它們之間具有什么位置關(guān)系?
圖4 圖5
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD,它們之間互相平行.
④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為:
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,也可簡記為線面垂直、線線平行.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語言表示為:
5、b∥a.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為:如圖5.
⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系,而且揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系.
應(yīng)用示例
例1 證明垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求證:a∥b.
圖6
證明:(反證法)如圖6,假定a與b不平行,且b∩α=O,作直線b′,使O∈b′,a∥b′.
直線b′與直線b確定平面β,設(shè)α∩β=c,則O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′顯然不可能,因此b∥a.
例2 如圖7,已知α∩β=l,E
6、A⊥α于點(diǎn)A,EB⊥β于點(diǎn)B,aα,a⊥AB.
求證:a∥l.
圖7
證明:l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
例2 如圖8,已知直線a⊥b,b⊥α,aα.
求證:a∥α.
圖8
證明:在直線a上取一點(diǎn)A,過A作b′∥b,則b′必與α相交,設(shè)交點(diǎn)為B,過相交直線a、b′作平面β,設(shè)α∩β=a′,
∵b′∥b,a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α,b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a,b′,a′都在平面β內(nèi),且b′⊥a,b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例3 如圖9,已知PA⊥矩
7、形ABCD所在平面,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求證:MN⊥面PCD.
圖9
證明:(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連接NE,則NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四邊形AMNE為平行四邊形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)當(dāng)∠PDA=45°時(shí),Rt△PAD為等腰直角三角形,
則AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
變式訓(xùn)練
已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線,而直線l和平面α相交,并且和a、b
8、、c三條直線成等角.求證:l⊥α.
證明:分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O,在l上取一點(diǎn)P,在△POA、△POB、△POC中,
∵PO=PO=PO,AO=BO=CO,∠POA=∠POB=∠POC,
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D,
連接OD、PD,則OD⊥AB,PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可證PO⊥BC.
∵ABα,BCα,AB∩BC=B,∴PO⊥α,即l⊥α.
若l不經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),可經(jīng)過點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α,
∴l(xiāng)⊥α.
9、
課堂練習(xí):
1.若表示直線,表示平面,下列條件中,能使的是 ( )
2.已知與是兩條不同的直線,若直線平面,①若直線,則;②若,則;③若,則;④,則。上述判斷正確的是 ( )
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3.在直四棱柱中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 時(shí),有(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況)
4、如圖,直三棱柱中,,側(cè)棱,側(cè)面的兩條對(duì)角線交于點(diǎn),的中點(diǎn)為,
求證:平面
課堂小結(jié)
知識(shí)總結(jié):利用線面垂直的性質(zhì)定理將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線平行,然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.
思想方法總結(jié):轉(zhuǎn)化思想,即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.
作業(yè)
課本習(xí)題2.3 B 組1、2.