（全國通用版）2019版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 事件與概率學案 理 新人教B版

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1、 第4節(jié)　事件與概率 最新考綱　1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；2.了解兩個互斥事件的概率加法公式. 知 識 梳 理 1.概率與頻率 (1)概率定義：在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率，當n很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A). (2)概率與頻率的關(guān)系：概率可以通過頻率來“測量”，頻率是概率的一個近似. 2.事件的關(guān)系與運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

2、B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B A＝B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝?P(A∪B)＝1 3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. (2)

3、必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B). ②若事件B與事件A互為對立事件，則P(A)＝1－P(B). [常用結(jié)論與微點提醒] 1.頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變，概率是一個常數(shù). 2.對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(　　) (2)在大量的重復實驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(　　) (3)若隨機事件A發(fā)

4、生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤1.(　　) (4)6張獎券中只有一張有獎，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材習題改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(　　) A.是互斥事件，不是對立事件 B.是對立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件 解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時發(fā)生，故“至少有一名女生”

5、與“全是男生”既是互斥事件，也是對立事件. 答案　C 3.(2016·天津卷)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿?　　) A. B. C. D. 解析　事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件，所以甲不輸?shù)母怕蕿椋? 答案　A 4.某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.2，0.3，0.1，則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為(　　) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 解析　依題設(shè)知，此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案　A 5.

6、(2018·北京東城區(qū)調(diào)研)經(jīng)統(tǒng)計，在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應概率如下表： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則該營業(yè)窗口上午9點鐘時，至少有2人排隊的概率是________. 解析　由表格知，至少有2人排隊的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74. 答案　0.74 考點一　隨機事件間的關(guān)系 【例1】 (1)袋中裝有3個白球和4個黑球，從中任取3個球，則：①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白

7、球和至少有1個黑球. 在上述事件中，是對立事件的為(　　) A.① B.② C.③ D.④ (2)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率為的事件是(　　) A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡 解析　(1)至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生，且一定有一個發(fā)生.故②中兩事件是對立事件.③④不是互斥事件，①是互斥事件，但不是對立事件，因此是對立事件的只有②，選B. (2)至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”、“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是

8、移動卡”的對立事件，因此“至多有一張移動卡”的概率為. 答案　(1)B　(2)A 規(guī)律方法　1.準確把握互斥事件與對立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但也可以同時不發(fā)生. (2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生. 2.判別互斥、對立事件的方法 判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件. 【訓練1】 從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是

9、奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中，是對立事件的是(　　) A.① B.②④ C.③ D.①③ 解析　從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個奇數(shù)，兩個偶數(shù). 其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況，它與兩個都是偶數(shù)是對立事件. 又①②④中的事件可以同時發(fā)生，不是對立事件. 答案　C 考點二　隨機事件的頻率與概率 【例2】 (2017·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完

10、.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高 氣溫 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40] 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天

11、銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率. 解　(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當且僅當最高氣溫低于25，由表中數(shù)據(jù)可知，最高氣溫低于25的頻率為＝0.6. 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時， 若最高氣溫低于20，則Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100； 若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300； 若最高氣溫不低于25，則Y＝450×(6－4)＝9

12、00， 所以，利潤Y的所有可能值為－100，300，900. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為＝0.8. 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 規(guī)律方法　1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機的，而概率是一個確定的值，通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小，有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值. 2.隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率. 提醒　概率的定義是求一個事件概率的基本方法. 【訓練2】 (201

13、8·沈陽調(diào)研)某鮮花店將一個月(30天)某品種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下表，將日銷售量在各區(qū)間的銷售天數(shù)占總天數(shù)的值視為概率. 日銷售量(枝) (0，50) [50，100) [100，150) [150，200) [200，250] 銷售天數(shù) 3天 5天 13天 6天 3天 (1)求這30天中日銷售量低于100枝的概率； (2)若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇兩天做促銷活動，求這兩天恰好是在日銷售量低于50枝時的概率. 解　(1)設(shè)鮮花店日銷售量為x枝， 則P(0

14、的概率P＝＋＝. (2)日銷售量低于100枝共有8天，從中任選兩天做促銷活動，共有28種情況；日銷售量低于50枝共有3天，從中任選兩天做促銷活動，共有3種情況. 所以所求事件發(fā)生的概率P＝. 考點三　互斥事件與對立事件的概率 【例3】 經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊等候的概率； (2)(一題多解)至少3人排隊等候的概率. 解　記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件

15、C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥. (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一　記“至少3人排隊等候”為事件H， 則H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二　記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 規(guī)律方法　1.求解本題的關(guān)

16、鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出來. 2.求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解.當題目涉及“至多”、“至少”型問題，多考慮間接法. 【訓練3】 某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎券的中獎概率； (3)

17、1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率. 解　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分別為，，. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C. ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝＋＋＝. 故1張獎券的中獎概率為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝. 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時：4

18、0分鐘) 一、選擇題 1.有一個游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進，每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　) A.互斥但非對立事件 B.對立事件 C.相互獨立事件 D.以上都不對 解析　由于每人一個方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生，但能同時不發(fā)生，故是互斥事件，但不是對立事件. 答案　A 2.設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　) A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件 解析　因為P(A)＋P(B)＝＋＝＝

19、P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系一定為互斥事件. 答案　B 3.(2018·石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件是正品(甲級)的概率為(　　) A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 解析　記“抽檢的產(chǎn)品是甲級品”為事件A，是“乙級品”為事件B，是“丙級品”為事件C，這三個事件彼此互斥，因而所求概率為P(A)＝1－P(B)－P(C)＝ 1－5%－3%＝92%＝0.92. 答案　C 4.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概

20、率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　) A. B. C. D.1 解析　設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A∪B，且事件A與B互斥. 由于P(A)＝，P(B)＝. 所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　C 5.擲一個骰子的試驗，事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，若B表示B的對立事件，則一次試驗中，事件A∪B發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果. 依題意P(A)＝＝，P(B)

21、＝＝， ∴P(B)＝1－P(B)＝1－＝. ∵B表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件， 因此事件A與B互斥， 從而P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　C 二、填空題 6.給出下列三個命題，其中正確命題有________個. ①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品； ②做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率. 解析?、馘e，不一定是10件次品；②錯，是頻率而非概率；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念. 答案　0 7.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨

22、機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________. 解析　20組隨機數(shù)中，恰有兩次命中的有5組，因此該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P＝＝. 答案　 8.如果事件A與B是互斥

23、事件，且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64，事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍，則事件A發(fā)生的概率為________. 解析　設(shè)P(A)＝x，則P(B)＝3x， 又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64， 所以x＝0.16，則P(A)＝0.16. 答案　0.16 三、解答題 9.某班選派5人參加學校舉行的數(shù)學競賽，獲獎的人數(shù)及其概率如下： 獲獎人數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56，求x的值； (2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，最少3人的概率為0.4

24、4，求y，z的值. 解　記事件“在競賽中，有k人獲獎”為Ak(k∈N，k≤5)，則事件Ak彼此互斥. (1)∵獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56， ∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56. 解得x＝0.3. (2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04. 由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44. 解得y＝0.2. 10.(2016·全國Ⅱ卷)某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的

25、保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表： 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值； (2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值； (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值. 解　(1)事件A發(fā)生當

26、且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3， 故P(B)的估計值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.19

27、2 5a. 因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a. 能力提升題組 (建議用時：20分鐘) 11.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)被污損的數(shù)字為x，則 甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90， 乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)， 若甲＝乙，則x＝8. 若甲＞乙，則x可以為0，1，2，3，4，5，6，7， 故P＝＝. 答案　C 12.某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如表所示： 污染指數(shù)T 30 60 1

28、00 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良，100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________. 解析　由題意可知2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案　 13.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)/人 x 30 25 y 10 結(jié)算時間/(

29、分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值； (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率). 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45， 所以x＝15，y＝20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為 ＝1.9(分鐘). (2)記A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，A1，A2，A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得 P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝. 因為A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件， 所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為. 12