(全國通用版)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第4節(jié) 事件與概率學(xué)案 理 新人教B版

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1、 第4節(jié) 事件與概率 最新考綱 1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性,了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別;2.了解兩個互斥事件的概率加法公式. 知 識 梳 理 1.概率與頻率 (1)概率定義:在n次重復(fù)進行的試驗中,事件A發(fā)生的頻率,當n很大時,總是在某個常數(shù)附近擺動,隨著n的增加,擺動幅度越來越小,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率,記作P(A). (2)概率與頻率的關(guān)系:概率可以通過頻率來“測量”,頻率是概率的一個近似. 2.事件的關(guān)系與運算 定義 符號表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)

2、B?A(或A?B) 相等關(guān)系 若B?A且A?B A=B 并事件(和事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B) 交事件(積事件) 若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件,則稱事件A與事件B互斥 A∩B=? 對立事件 若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B=?P(A∪B)=1 3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍:0≤P(A)≤1. (2)

3、必然事件的概率P(E)=1. (3)不可能事件的概率P(F)=0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B). ②若事件B與事件A互為對立事件,則P(A)=1-P(B). [常用結(jié)論與微點提醒] 1.頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變,概率是一個常數(shù). 2.對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.(  ) (2)在大量的重復(fù)實驗中,概率是頻率的穩(wěn)定值.(  ) (3)若隨機事件A發(fā)

4、生的概率為P(A),則0≤P(A)≤1.(  ) (4)6張獎券中只有一張有獎,甲、乙先后各抽取一張,則甲中獎的概率小于乙中獎的概率.(  ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材習(xí)題改編)某小組有3名男生和2名女生,從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽,事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”(  ) A.是互斥事件,不是對立事件 B.是對立事件,不是互斥事件 C.既是互斥事件,也是對立事件 D.既不是互斥事件也不是對立事件 解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況,這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集,且不能同時發(fā)生,故“至少有一名女生”

5、與“全是男生”既是互斥事件,也是對立事件. 答案 C 3.(2016·天津卷)甲、乙兩人下棋,兩人下成和棋的概率是,甲獲勝的概率是,則甲不輸?shù)母怕蕿?  ) A. B. C. D. 解析 事件“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事件,所以甲不輸?shù)母怕蕿椋? 答案 A 4.某射手在一次射擊中,射中10環(huán),9環(huán),8環(huán)的概率分別為0.2,0.3,0.1,則此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為(  ) A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9 解析 依題設(shè)知,此射手在一次射擊中不超過8環(huán)的概率為1-(0.2+0.3)=0.5. 答案 A 5.

6、(2018·北京東城區(qū)調(diào)研)經(jīng)統(tǒng)計,在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表: 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 則該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有2人排隊的概率是________. 解析 由表格知,至少有2人排隊的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74. 答案 0.74 考點一 隨機事件間的關(guān)系 【例1】 (1)袋中裝有3個白球和4個黑球,從中任取3個球,則:①恰有1個白球和全是白球;②至少有1個白球和全是黑球;③至少有1個白球和至少有2個白球;④至少有1個白

7、球和至少有1個黑球. 在上述事件中,是對立事件的為(  ) A.① B.② C.③ D.④ (2)在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是,那么概率為的事件是(  ) A.至多有一張移動卡 B.恰有一張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有一張移動卡 解析 (1)至少有1個白球和全是黑球不同時發(fā)生,且一定有一個發(fā)生.故②中兩事件是對立事件.③④不是互斥事件,①是互斥事件,但不是對立事件,因此是對立事件的只有②,選B. (2)至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡”、“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件,它是“2張全是

8、移動卡”的對立事件,因此“至多有一張移動卡”的概率為. 答案 (1)B (2)A 規(guī)律方法 1.準確把握互斥事件與對立事件的概念 (1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件,但也可以同時不發(fā)生. (2)對立事件是特殊的互斥事件,特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生,即有且僅有一個發(fā)生. 2.判別互斥、對立事件的方法 判別互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩個事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件. 【訓(xùn)練1】 從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù),其中:①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù);②至少有一個是奇數(shù)和兩個都是

9、奇數(shù);③至少有一個是奇數(shù)和兩個都是偶數(shù);④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù).上述事件中,是對立事件的是(  ) A.① B.②④ C.③ D.①③ 解析 從1,2,3,4,5這五個數(shù)中任取兩個數(shù)有3種情況:一奇一偶,兩個奇數(shù),兩個偶數(shù). 其中“至少有一個是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個奇數(shù)這兩種情況,它與兩個都是偶數(shù)是對立事件. 又①②④中的事件可以同時發(fā)生,不是對立事件. 答案 C 考點二 隨機事件的頻率與概率 【例2】 (2017·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完

10、.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高 氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40] 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率; (2)設(shè)六月份一天

11、銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率. 解 (1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當且僅當最高氣溫低于25,由表中數(shù)據(jù)可知,最高氣溫低于25的頻率為=0.6. 所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6. (2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時, 若最高氣溫低于20,則Y=200×6+(450-200)×2-450×4=-100; 若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=300×6+(450-300)×2-450×4=300; 若最高氣溫不低于25,則Y=450×(6-4)=9

12、00, 所以,利潤Y的所有可能值為-100,300,900. Y大于零當且僅當最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20的頻率為=0.8. 因此Y大于零的概率的估計值為0.8. 規(guī)律方法 1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率是隨機的,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率來作為隨機事件概率的估計值. 2.隨機事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率. 提醒 概率的定義是求一個事件概率的基本方法. 【訓(xùn)練2】 (201

13、8·沈陽調(diào)研)某鮮花店將一個月(30天)某品種鮮花的日銷售量與銷售天數(shù)統(tǒng)計如下表,將日銷售量在各區(qū)間的銷售天數(shù)占總天數(shù)的值視為概率. 日銷售量(枝) (0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200,250] 銷售天數(shù) 3天 5天 13天 6天 3天 (1)求這30天中日銷售量低于100枝的概率; (2)若此花店在日銷售量低于100枝的時候選擇兩天做促銷活動,求這兩天恰好是在日銷售量低于50枝時的概率. 解 (1)設(shè)鮮花店日銷售量為x枝, 則P(0

14、的概率P=+=. (2)日銷售量低于100枝共有8天,從中任選兩天做促銷活動,共有28種情況;日銷售量低于50枝共有3天,從中任選兩天做促銷活動,共有3種情況. 所以所求事件發(fā)生的概率P=. 考點三 互斥事件與對立事件的概率 【例3】 經(jīng)統(tǒng)計,在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下: 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求:(1)至多2人排隊等候的概率; (2)(一題多解)至少3人排隊等候的概率. 解 記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件

15、C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F(xiàn)彼此互斥. (1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C, 所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =0.1+0.16+0.3=0.56. (2)法一 記“至少3人排隊等候”為事件H, 則H=D∪E∪F, 所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. 法二 記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 規(guī)律方法 1.求解本題的關(guān)

16、鍵是正確判斷各事件之間的關(guān)系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出來. 2.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率再求和;二是間接法,先求該事件的對立事件的概率,再由P(A)=1-P(A)求解.當題目涉及“至多”、“至少”型問題,多考慮間接法. 【訓(xùn)練3】 某商場有獎銷售活動中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1張獎券的中獎概率; (3)

17、1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率. 解 (1)P(A)=,P(B)==, P(C)==. 故事件A,B,C的概率分別為,,. (2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設(shè)“1張獎券中獎”這個事件為M,則M=A∪B∪C. ∵A,B,C兩兩互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) =++=. 故1張獎券的中獎概率為. (3)設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件, ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-=. 故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:4

18、0分鐘) 一、選擇題 1.有一個游戲,其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個人從同一地點隨機地向東、南、西、北四個方向前進,每人一個方向.事件“甲向南”與事件“乙向南”是(  ) A.互斥但非對立事件 B.對立事件 C.相互獨立事件 D.以上都不對 解析 由于每人一個方向,事件“甲向南”與事件“乙向南”不能同時發(fā)生,但能同時不發(fā)生,故是互斥事件,但不是對立事件. 答案 A 2.設(shè)事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關(guān)系一定為(  ) A.兩個任意事件 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件 解析 因為P(A)+P(B)=+==

19、P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系一定為互斥事件. 答案 B 3.(2018·石家莊模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%,則抽檢一件是正品(甲級)的概率為(  ) A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 解析 記“抽檢的產(chǎn)品是甲級品”為事件A,是“乙級品”為事件B,是“丙級品”為事件C,這三個事件彼此互斥,因而所求概率為P(A)=1-P(B)-P(C)= 1-5%-3%=92%=0.92. 答案 C 4.圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率是,都是白子的概

20、率是.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(  ) A. B. C. D.1 解析 設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A,“從中取出2粒都是白子”為事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C,則C=A∪B,且事件A與B互斥. 由于P(A)=,P(B)=. 所以P(C)=P(A)+P(B)=+=. 答案 C 5.擲一個骰子的試驗,事件A表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”,事件B表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”,若B表示B的對立事件,則一次試驗中,事件A∪B發(fā)生的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 擲一個骰子的試驗有6種可能結(jié)果. 依題意P(A)==,P(B)

21、==, ∴P(B)=1-P(B)=1-=. ∵B表示“出現(xiàn)5點或6點”的事件, 因此事件A與B互斥, 從而P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=. 答案 C 二、填空題 6.給出下列三個命題,其中正確命題有________個. ①有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品; ②做7次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此正面出現(xiàn)的概率是;③隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率. 解析?、馘e,不一定是10件次品;②錯,是頻率而非概率;③錯,頻率不等于概率,這是兩個不同的概念. 答案 0 7.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨

22、機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù): 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________. 解析 20組隨機數(shù)中,恰有兩次命中的有5組,因此該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為P==. 答案  8.如果事件A與B是互斥

23、事件,且事件A∪B發(fā)生的概率是0.64,事件B發(fā)生的概率是事件A發(fā)生的概率的3倍,則事件A發(fā)生的概率為________. 解析 設(shè)P(A)=x,則P(B)=3x, 又P(A∪B)=P(A)+P(B)=x+3x=0.64, 所以x=0.16,則P(A)=0.16. 答案 0.16 三、解答題 9.某班選派5人參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)競賽,獲獎的人數(shù)及其概率如下: 獲獎人數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (1)若獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56,求x的值; (2)若獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96,最少3人的概率為0.4

24、4,求y,z的值. 解 記事件“在競賽中,有k人獲獎”為Ak(k∈N,k≤5),則事件Ak彼此互斥. (1)∵獲獎人數(shù)不超過2人的概率為0.56, ∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56. 解得x=0.3. (2)由獲獎人數(shù)最多4人的概率為0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04. 由獲獎人數(shù)最少3人的概率為0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44. 解得y=0.2. 10.(2016·全國Ⅱ卷)某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的

25、保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下: 上年度出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 隨機調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表: 出險次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 頻數(shù) 60 50 30 30 20 10 (1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值; (2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值; (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值. 解 (1)事件A發(fā)生當

26、且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)小于2,由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為=0.55,故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4,由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為=0.3, 故P(B)的估計值為0.3. (3)由所給數(shù)據(jù)得 保費 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 頻率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.19

27、2 5a. 因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a. 能力提升題組 (建議用時:20分鐘) 11.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績,其中一個數(shù)字被污損,則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 設(shè)被污損的數(shù)字為x,則 甲=(88+89+90+91+92)=90, 乙=(83+83+87+99+90+x), 若甲=乙,則x=8. 若甲>乙,則x可以為0,1,2,3,4,5,6,7, 故P==. 答案 C 12.某城市2017年的空氣質(zhì)量狀況如表所示: 污染指數(shù)T 30 60 1

28、00 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時,空氣質(zhì)量為優(yōu);50<T≤100時,空氣質(zhì)量為良,100<T≤150時,空氣質(zhì)量為輕微污染,則該城市2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________. 解析 由題意可知2017年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P=++=. 答案  13.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示. 一次購物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)/人 x 30 25 y 10 結(jié)算時間/(

29、分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%. (1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值; (2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率(將頻率視為概率). 解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45, 所以x=15,y=20. 該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為 =1.9(分鐘). (2)記A表示事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,A1,A2,A3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”、“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率得 P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==. 因為A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件, 所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) =++=. 故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為. 12

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