（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的應(yīng)用學(xué)案

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1、 §7.4　基本不等式及不等式的應(yīng)用 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 1.基本不等式 會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題. 掌握 21(2),7分 21(2),7分 16(文),4分 14,約2分 15,6分 2.不等式的綜合應(yīng)用 1.能夠靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)求函數(shù)定義域、值域. 2.能夠應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題,熟練掌握運(yùn)用不等式解決應(yīng)用題. 掌握 7,5分 16(文),4分 10,5分 22(2),7分 18,15分 20,15分 20(文

2、),8分 20(文), 15分 17,4分 分析解讀　　1.基本不等式是不等式這章的重要內(nèi)容之一,主要考查用基本不等式求最值. 2.不等式的綜合應(yīng)用問(wèn)題常結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí),難度較大,不等式的綜合應(yīng)用是高考命題的熱點(diǎn). 3.預(yù)計(jì)2019年高考中,仍會(huì)對(duì)利用基本不等式求最值進(jìn)行考查.不等式綜合應(yīng)用問(wèn)題仍是考查的重點(diǎn)之一,考查仍會(huì)集中在與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何相綜合的題目上,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點(diǎn)一　基本不等式 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2013山東,12,5分)設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng)

3、取得最大值時(shí),+-的最大值為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.0 B.1 C. D.3 答案　B 2.(2014浙江文,16,4分)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是　　　　.? 答案　 3.(2017山東文,12,5分)若直線(xiàn)+=1(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為　　　　.? 答案　8 4.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為　　　　.? 答案　4 5.(2013天津,14,5分)設(shè)a+b=2,b>0,則當(dāng)a=　　　　時(shí),+取得最小值.? 答案　-2 考

4、點(diǎn)二　不等式的綜合應(yīng)用 1.(2014浙江,10,5分)設(shè)函數(shù)f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,ai=,i=0,1,2,…,99.記Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,則(　　) A.I1

5、 3.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,11,5分)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 答案　D 4.(2013浙江文,16,4分)設(shè)a,b∈R,若x≥0時(shí)恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,則ab=　　　　.? 答案　-1 5.(2017江蘇,10,5分)某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸,每次購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x的值是　.? 答案　30 6.(2014重慶,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|

6、≥a2+a+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.? 答案　 7.(2016浙江文,20,15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+,x∈[0,1].證明: (1)f(x)≥1-x+x2; (2)< f(x)≤. 證明　(1)因?yàn)?-x+x2-x3==, 由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤, 所以f(x)≥1-x+x2. (2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤, 所以f(x)≤. 由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥, 又因?yàn)閒=>,所以f(x)>. 綜上,

7、c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: (1)若ab>cd,則+> +; (2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要條件. 證明　(1)因?yàn)?+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2, 由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2. 因此+> +. (2)(i)若|a-b|<|c-d|, 則(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得+> +. (ii)若+> +, 則(+)2>(+)2, 即a+b+2>c+d+2. 因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd.于是 (a-b)2

8、=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 綜上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要條件. 9.(2015湖南,16(3),6分)設(shè)a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 證明　由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0得0

9、 教師用書(shū)專(zhuān)用(10) 10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱(chēng)為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”.某地有三個(gè)新建的居民區(qū),分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心. (1)寫(xiě)出點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式(不要求證明); (2)若以原點(diǎn)O為圓心,半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū),“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置,使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之

10、和最小. 解析　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y). (1)點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑”長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞). (2)由題意知,點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度最小值之和(記為d)的最小值. ①當(dāng)y≥1時(shí),d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因?yàn)閐1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),不等式(*)中的等號(hào)成立. 又因?yàn)閨x+10|+|x-14|≥24,(**) 當(dāng)且僅當(dāng)x∈[-10,14]時(shí),不

11、等式(**)中的等號(hào)成立. 所以d1(x)≥24,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí),等號(hào)成立. d2(y)=2y+|y-20|≥21,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí),等號(hào)成立. 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)時(shí),P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小,且最小值為45. ②當(dāng)0≤y≤1時(shí),由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū),所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此時(shí),d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21. 由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,當(dāng)且僅當(dāng)x=3,y=1時(shí)等號(hào)成

12、立. 綜上所述,在點(diǎn)P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑”長(zhǎng)度之和最小. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　基本不等式 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中,9)已知實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足|m|≥1,且b=ma+m2+2,則a2+b2的最小值為(　　) A.2 B.4 C. D. 答案　D 2.(2018浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,7)已知b>2a>0,則M=的最小值是(　　) A.2 B.2 C.4 D.8 答案　C 3.(2017浙江“超級(jí)全能生”3月聯(lián)考,16)已知1=x2+4y

13、2-2xy(x<0,y<0),則x+2y的取值范圍為　　　　.? 答案　[-2,-1) 4.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),16)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足xy+2x+3y=42,則xy+5x+4y的最小值為　　　　.? 答案　55 考點(diǎn)二　不等式的綜合應(yīng)用 5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x+3y++=10,則xy的取值范圍為　　　　.? 答案　 6.(2017浙江寧波期末,16)若正實(shí)數(shù)a,b 滿(mǎn)足(2a+b)2=1+6ab,則 的最大值為　　　　.? 答案　 7.(2017浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,則m的最小值

14、是　　　　.? 答案　2 8. (2016浙江名校協(xié)作體測(cè)試,13)若存在正實(shí)數(shù)y,使得=,則實(shí)數(shù)x的最大值為　　　　.? 答案　 B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 1.(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,6)已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,+=1,則a+2b的最小值是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.3 B.2 C.3 D.2 答案　B 2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段測(cè)試(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,則x+y的最小值是(　　) A. B.3 C.1 D.2 答案　A 二、填空題 3.(2018浙江鎮(zhèn)海中

15、學(xué)期中,14)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足4x2-2xy+y2=8,則2x+y的最大值為　　　,4x2+y2的最小值為　.? 答案　4; 4.(2018浙江杭州二中期中,14)已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足則z=y+2x的最小值為　　　　;當(dāng)實(shí)數(shù)u,v滿(mǎn)足u2+v2=1時(shí),ω=ux+vy的最大值為　　　　.? 答案　;2 5.(2017浙江五校聯(lián)考(5月),17)設(shè)實(shí)數(shù)x>0,y>0,且x+y=k,則使不等式≥恒成立的k的最大值為　　　　.? 答案　2 6.(2017浙江金華十校聯(lián)考(4月),17)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足則xyz的最小值為　　　　.? 答案　9-32 7.(2017浙江名校新高考研究聯(lián)盟測(cè)試一,16)已知正數(shù)a,b滿(mǎn)足3a+b=14,則+的最小值為　　　　.? 答案　3 C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　利用基本不等式求最值的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江“七彩陽(yáng)光”新高考研究聯(lián)盟測(cè)試,15)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若x+2y≥m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.? 答案　[-4,2] 方法2　不等式綜合應(yīng)用的解題策略 2.(2017浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷一,17)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x++2y+=6,則xy的取值范圍為　　　　.? 答案　 6