（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第九章 平面解析幾何 5 第5講 橢圓教學案

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1、第5講橢圓1橢圓的定義條件結論1結論2平面內(nèi)的動點M與平面內(nèi)的兩個定點F1，F(xiàn)2M點的軌跡為橢圓F1、F2為橢圓的焦點|F1F2|為橢圓的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：(0，0)頂點A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e，e(0，1)a，b，c的關系c2a2b23.點與橢圓的位置關系已知點P(x0，y

2、0)，橢圓1(ab0)，則(1)點P(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.4橢圓中四個常用結論(1)P是橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓的焦點，則|PF|ac，ac，即橢圓上的點到焦點距離的最大值為ac，最小值為ac.(2)橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為，通徑是最短的焦點弦(3)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，則PF1F2的周長為2(ac)(4)設P，A，B是橢圓上不同的三點，其中A，B關于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為定值.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓

3、()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓()(5)1(ab0)與1(ab0)的焦距相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(選修21P40例1改編)若F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點的軌跡方程是()A.1B.1C.1 D.1或1解析：選A.設點P的坐標為(x，y)，因為|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中a5，c3，b4，故點P的軌跡方程為1.故選A.2(選修21P49A組T6改編)設橢

4、圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A. B.C2 D.1解析：選D.設橢圓方程為1，依題意，顯然有|PF2|F1F2|，則2c，即2c，即e22e10，又0em20，10m(m2)4，所以m4.當焦點在y軸上時，m210m0，m2(10m)4，所以m8.所以m4或8.答案：4或83已知點P是橢圓1上y軸右側的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為_解析：設P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y1

5、，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P點坐標為或.答案：或橢圓的定義及應用 (1)(2019高考浙江卷)已知橢圓1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_(2)(2020杭州模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_【解析】(1)如圖，取PF的中點M，連接OM，由題意知|OM|OF|2，設橢圓的右焦點為F1，連接PF1.在PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|4，由橢圓的定義知|PF|PF1|6，所以|PF|2，因為M為PF的中點，所

6、以|MF|1.在等腰三角形OMF中，過O作OHMF于點H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.(2)設|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.【答案】(1)(2)3 (變條件)本例(2)中增加條件“PF1F2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程解：由原題得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故橢圓的方程為1.(1)橢圓定義的應用范圍確認平面內(nèi)與兩定點有關的軌跡是否為橢圓解決與焦點有關的距離問題(2)焦點三角形的結論橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的PF1F2叫作焦點三角

7、形如圖所示，設F1PF2.|PF1|PF2|2a.4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .焦點三角形的周長為2(ac)SPF1F2|PF1|PF2|sin b2b2tan c|y0|，當|y0|b，即P為短軸端點時，SPF1F2取最大值，為bc. 1(2020溫州模擬)設F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1|PF2|21，則PF1F2的面積為()A4B6C2 D4解析：選A.因為點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|6，又因為|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，又易知|F1F2|2，顯然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1

8、F2為直角三角形，所以PF1F2的面積為244.故選A.2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：設動圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a16，2c8，則a8，c4，所以b248，又焦點C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為1.答案：1橢圓的標準方程 (1)(2020金麗衢十二校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e，且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合，則此橢圓方程為()A.1 B.1C.y

9、21 D.y21(2)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0bb0)，由已知可得拋物線的焦點為(1，0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.(2)不妨設點A在第一象限，如圖所示因為AF2x軸，所以|AF2|b2.因為|AF1|3|BF1|，所以B.將B點代入橢圓方程，得1，所以c21.又因為b2c21，所以故所求的方程為x21.【答案】(1)A(2)x21 1已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(，)，則該橢圓的方程為_解析：設橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，且mn)因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點，所以P1，P2點坐標適合橢圓方程

10、，則兩式聯(lián)立，解得所以所求橢圓方程為1.答案：12已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率，則橢圓C2的方程為_解析：法一：(待定系數(shù)法)由已知可設橢圓C2的方程為1(a2)，其離心率為，故，解得a4，故橢圓C2的方程為1.法二：(橢圓系法)因橢圓C2與C1有相同的離心率，且焦點在y軸上，故設C2：x2k(k0)，即1.又222，故k4，故C2的方程為1.答案：13與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(2，)的橢圓的方程為_解析：法一：(待定系數(shù)法)因為e，若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為1(mn0)，則1.從而，.又1，所以m28，n26.所以方程為1.若焦點在y軸上

11、，設方程為1(hk0)，則1，且，解得h2，k2.故所求方程為1.法二：(橢圓系法)若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為t(t0)，將點 (2，)代入，得t2.故所求方程為1.若焦點在y軸上，設方程為(0)，代入點(2，)，得，故所求方程為1.答案：1或1橢圓的幾何性質(高頻考點)橢圓的幾何性質是高考的熱點，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大主要命題角度有：(1)由橢圓的方程研究其性質；(2)求橢圓離心率的值(范圍)；(3)由橢圓的性質求參數(shù)的值(范圍)；(4)橢圓性質的應用角度一由橢圓的方程研究其性質 已知橢圓1(ab0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為()

12、A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5，0)【解析】因為圓的標準方程為(x3)2y21，所以圓心坐標為(3，0)，所以c3.又b4，所以a5.因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(5，0)【答案】D角度二求橢圓離心率的值(范圍) (1)(2020麗水模擬)橢圓C的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，若C上的點P滿足|PF1|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是()Ae BeC.e D0e或eb0)的右焦點F(c，0)關于直線yx的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_【解析】(1)因為橢圓C上的點P滿足|PF1|F1F2|，所以|PF1|2c3c.由ac|PF1|ac，解得.所以橢圓

13、C的離心率e的取值范圍是.(2)設橢圓的另一個焦點為F1(c，0)，如圖，連接QF1，QF，設QF與直線yx交于點M.由題意知M為線段QF的中點，且OMFQ，又O為線段F1F的中點，所以F1QOM，所以F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a，整理得bc，所以ac，故e.【答案】(1)C(2)角度三由橢圓的性質求參數(shù)的值(范圍) 已知橢圓mx24y21的離心率為，則實數(shù)m等于()A2 B2或C2或6 D2或8【解析】顯然m0且m4，當0m4時，橢圓長軸在y

14、軸上，則，解得m8.【答案】D角度四橢圓性質的應用 (2020嘉興質檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則的最大值為_【解析】設P點坐標為(x0，y0)由題意知a2，因為e，所以c1，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.所以2x02，y0.因為F(1，0)，A(2，0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.即當x02時，取得最大值4.【答案】4(1)求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式e直接求解列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉化為含有e的方程(或

15、不等式)求解(2)利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路將所求問題用橢圓上點的坐標表示，利用坐標范圍構造函數(shù)或不等關系將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關系求范圍 1已知正數(shù)m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x21的焦點坐標為()A(，0)B(0，)C(，0)或(，0)D(0，)或(，0)解析：選B.因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以m216，即m4，所以橢圓x21的焦點坐標為(0，)，故選B.2已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：選A.以線段A1A2為直徑的圓的方程

16、為x2y2a2，由原點到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e，選A.3橢圓y21上到點C(1，0)的距離最小的點P的坐標為_解析：設點P(x，y)，則|PC|2(x1)2y2(x1)2x22x2.因為2x2，所以當x時，|PC|min，此時點P的坐標為或.答案：或基礎題組練1已知橢圓1的焦點在x軸上，焦距為4，則m等于()A8B7C6 D5解析：選A.因為橢圓1的焦點在x軸上所以解得6mb0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標準方程為_解析：由題意可知e，2b4，得b2，所以解得所以橢圓的標準方程為1.答案：18(2020義烏模擬)已知圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(a

17、b0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率e_解析：圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(ab0)的一個頂點和一個焦點，故橢圓的一個焦點為F(1，0)，一個頂點為A(3，0)，所以c1，a3，因此橢圓的離心率為.答案：9(2020瑞安四校聯(lián)考)橢圓1(a為定值，且a)的左焦點為F，直線xm與橢圓相交于點A，B.若FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_解析：設橢圓的右焦點為F，如圖，由橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周長為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當且僅當AB過右焦點F時等號成立此時周長最大，即4a12，則a3.故橢圓方程為1，所以c2，所以e.

18、答案：10已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，點在橢圓上，且點(1，0)到直線PF2的距離為，其中點P(1，4)，則橢圓的標準方程為_解析：設F2的坐標為(c，0)(c0)，則kPF2，故直線PF2的方程為y(xc)，即xy0，點(1，0)到直線PF2的距離d，即4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又點在橢圓E上， 所以1，由可得所以橢圓的標準方程為y21.答案：y2111已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點求該橢圓的標準方程解：由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0

19、)，由已知條件得解得a4，c2，所以b212.故橢圓方程為1或1.12已知橢圓1(ab0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.(1)若F1AB90，求橢圓的離心率；(2)若2，求橢圓的方程解：(1)若F1AB90，則AOF2為等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c，設B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.將B點坐標代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，從而有b22.所以橢圓的

20、方程為1.綜合題組練1(2020浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右頂點和上頂點分別為A、B，左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M、N兩點若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點M的坐標為，代入橢圓方程得1，所以5e22e30，又0e1，所以e.故選A.2設A、B是橢圓C：1長軸的兩個端點若C上存在點M滿足AMB120，則m的取值范圍是()A(0，19，) B(0，9，)C(0，14，) D(

21、0，4，)解析：選A.依題意得，或，所以或，解得0b0)經(jīng)過點(，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設M，N是橢圓上的點，直線OM與ON(O為坐標原點)的斜率之積為.若動點P滿足2，求點P的軌跡方程解：(1)因為e，所以，又橢圓C經(jīng)過點(，1)，所以1，解得a24，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)設P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2得xx12x2，yy12y2，因為點M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設kOM，kON分別為

22、直線OM與ON的斜率，由題意知，kOMkON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故點P的軌跡方程是1.6已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸端點為(0，2)，短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且2.(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍解：(1)由題意知橢圓的焦點在y軸上，可設橢圓方程為1(ab0)，由題意知a2，bc，又a2b2c2，則b，所以橢圓的方程為1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設其方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立，得則(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)0.由根與系數(shù)的關系知，又由2，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故可得2，整理得(9m24)k282m2，又9m240時不符合題意，所以k20，解得m20，解不等式m24，得m2或2m，所以m的取值范圍為.20