（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 5 第5講 橢圓教學(xué)案

第5講橢圓1橢圓的定義條件結(jié)論1結(jié)論2平面內(nèi)的動點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2M點(diǎn)的軌跡為橢圓F1、F2為橢圓的焦點(diǎn)|F1F2|為橢圓的焦距|MF1|MF2|2a2a|F1F2|2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：(0，0)頂點(diǎn)A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e，e(0，1)a，b，c的關(guān)系c2a2b23.點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)P(x0，y0)，橢圓1(a>b>0)，則(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)<1；(2)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上1；(3)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓外>1.4橢圓中四個常用結(jié)論(1)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的焦點(diǎn)，則|PF|ac，ac，即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為ac，最小值為ac.(2)橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)長為，通徑是最短的焦點(diǎn)弦(3)P是橢圓上不同于長軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，則PF1F2的周長為2(ac)(4)設(shè)P，A，B是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為定值.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓()(5)1(a>b>0)與1(a>b>0)的焦距相同()答案：(1)×(2)×(3)(4)(5)教材衍化1(選修2­1P40例1改編)若F1(3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.1B.1C.1 D.1或1解析：選A.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因為|PF1|PF2|10>|F1F2|6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a5，c3，b4，故點(diǎn)P的軌跡方程為1.故選A.2(選修2­1P49A組T6改編)設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A. B.C2 D.1解析：選D.設(shè)橢圓方程為1，依題意，顯然有|PF2|F1F2|，則2c，即2c，即e22e10，又0<e<1，解得e1.故選D.易錯糾偏(1)忽視橢圓定義中的限制條件；(2)忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中焦點(diǎn)位置的討論；(3)忽視點(diǎn)P坐標(biāo)的限制條件1平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，9)，F(xiàn)2(0，9)的距離之和等于18，則點(diǎn)M的軌跡是_解析：由題意知|MF1|MF2|18，但|F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是一條線段答案：線段F1F22橢圓1的焦距為4，則m_解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，10m>m2>0，10m(m2)4，所以m4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，m2>10m>0，m2(10m)4，所以m8.所以m4或8.答案：4或83已知點(diǎn)P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y±1，把y±1代入1，得x±，又x>0，所以x，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或.答案：或橢圓的定義及應(yīng)用 (1)(2019·高考浙江卷)已知橢圓1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸的上方若線段PF的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是_(2)(2020·杭州模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_【解析】(1)如圖，取PF的中點(diǎn)M，連接OM，由題意知|OM|OF|2，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接PF1.在PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|4，由橢圓的定義知|PF|PF1|6，所以|PF|2，因為M為PF的中點(diǎn)，所以|MF|1.在等腰三角形OMF中，過O作OHMF于點(diǎn)H，所以|OH|，所以kPFtanHFO.(2)設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.【答案】(1)(2)3 (變條件)本例(2)中增加條件“PF1F2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程解：由原題得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故橢圓的方程為1.(1)橢圓定義的應(yīng)用范圍確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓解決與焦點(diǎn)有關(guān)的距離問題(2)焦點(diǎn)三角形的結(jié)論橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的PF1F2叫作焦點(diǎn)三角形如圖所示，設(shè)F1PF2.|PF1|PF2|2a.4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos .焦點(diǎn)三角形的周長為2(ac)SPF1F2|PF1|PF2|·sin b2·b2tan c|y0|，當(dāng)|y0|b，即P為短軸端點(diǎn)時，SPF1F2取最大值，為bc. 1(2020·溫州模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，且|PF1|PF2|21，則PF1F2的面積為()A4B6C2 D4解析：選A.因為點(diǎn)P在橢圓上，所以|PF1|PF2|6，又因為|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，又易知|F1F2|2，顯然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2為直角三角形，所以PF1F2的面積為×2×44.故選A.2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|8<16，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16，2c8，則a8，c4，所以b248，又焦點(diǎn)C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為1.答案：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率e，且它的一個焦點(diǎn)與拋物線y24x的焦點(diǎn)重合，則此橢圓方程為()A.1 B.1C.y21 D.y21(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_【解析】(1)依題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，由已知可得拋物線的焦點(diǎn)為(1，0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.(2)不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，如圖所示因為AF2x軸，所以|AF2|b2.因為|AF1|3|BF1|，所以B.將B點(diǎn)代入橢圓方程，得1，所以c21.又因為b2c21，所以故所求的方程為x21.【答案】(1)A(2)x21 1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)P1(，1)，P2(，)，則該橢圓的方程為_解析：設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0，且mn)因為橢圓經(jīng)過P1，P2兩點(diǎn)，所以P1，P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，則兩式聯(lián)立，解得所以所求橢圓方程為1.答案：12已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率，則橢圓C2的方程為_解析：法一：(待定系數(shù)法)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，解得a4，故橢圓C2的方程為1.法二：(橢圓系法)因橢圓C2與C1有相同的離心率，且焦點(diǎn)在y軸上，故設(shè)C2：x2k(k>0)，即1.又22×2，故k4，故C2的方程為1.答案：13與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)(2，)的橢圓的方程為_解析：法一：(待定系數(shù)法)因為e，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(m>n>0)，則1.從而，.又1，所以m28，n26.所以方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1(h>k>0)，則1，且，解得h2，k2.故所求方程為1.法二：(橢圓系法)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為t(t>0)，將點(diǎn) (2，)代入，得t2.故所求方程為1.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為(>0)，代入點(diǎn)(2，)，得，故所求方程為1.答案：1或1橢圓的幾何性質(zhì)(高頻考點(diǎn))橢圓的幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大主要命題角度有：(1)由橢圓的方程研究其性質(zhì)；(2)求橢圓離心率的值(范圍)；(3)由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值(范圍)；(4)橢圓性質(zhì)的應(yīng)用角度一由橢圓的方程研究其性質(zhì) 已知橢圓1(a>b>0)的一個焦點(diǎn)是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為()A(3，0) B(4，0)C(10，0) D(5，0)【解析】因為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y21，所以圓心坐標(biāo)為(3，0)，所以c3.又b4，所以a5.因為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(5，0)【答案】D角度二求橢圓離心率的值(范圍) (1)(2020·麗水模擬)橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若C上的點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是()Ae BeC.e D0<e或e<1(2)橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c，0)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_【解析】(1)因為橢圓C上的點(diǎn)P滿足|PF1|F1F2|，所以|PF1|×2c3c.由ac|PF1|ac，解得.所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.(2)設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為F1(c，0)，如圖，連接QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ，又O為線段F1F的中點(diǎn)，所以F1QOM，所以F1QQF，|F1Q|2|OM|.在RtMOF中，tanMOF，|OF|c，可解得|OM|，|MF|，故|QF|2|MF|，|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a，整理得bc，所以ac，故e.【答案】(1)C(2)角度三由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值(范圍) 已知橢圓mx24y21的離心率為，則實數(shù)m等于()A2 B2或C2或6 D2或8【解析】顯然m>0且m4，當(dāng)0<m<4時，橢圓長軸在x軸上，則，解得m2；當(dāng)m>4時，橢圓長軸在y軸上，則，解得m8.【答案】D角度四橢圓性質(zhì)的應(yīng)用 (2020·嘉興質(zhì)檢)如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為_【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)由題意知a2，因為e，所以c1，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.所以2x02，y0.因為F(1，0)，A(2，0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以·xx02yxx01(x02)2.即當(dāng)x02時，·取得最大值4.【答案】4(1)求橢圓離心率的方法直接求出a，c的值，利用離心率公式e直接求解列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路將所求問題用橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求范圍 1已知正數(shù)m是2和8的等比中項，則圓錐曲線x21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(±，0)B(0，±)C(±，0)或(±，0)D(0，±)或(±，0)解析：選B.因為正數(shù)m是2和8的等比中項，所以m216，即m4，所以橢圓x21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)，故選B.2已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：選A.以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點(diǎn)到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e，選A.3橢圓y21上到點(diǎn)C(1，0)的距離最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則|PC|2(x1)2y2(x1)2x22x2.因為2x2，所以當(dāng)x時，|PC|min，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.答案：或基礎(chǔ)題組練1已知橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，則m等于()A8B7C6 D5解析：選A.因為橢圓1的焦點(diǎn)在x軸上所以解得6<m<10.因為焦距為4，所以c2m210m4，解得m8.2已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸長是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1解析：選B.因為a4，e，所以c3，所以b2a2c21697.因為焦點(diǎn)的位置不確定，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.3橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ的長為10，PF2Q的周長為36，則此橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選C.PQ為過F1垂直于x軸的弦，則Q，PF2Q的周長為36.所以4a36，a9.由已知5，即5.又a9，解得c6，解得，即e.4(2020·杭州地區(qū)七校聯(lián)考)以橢圓上一點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為()A1 B.C2 D2解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距，依題意知，當(dāng)三角形的高為b時面積最大，所以×2cb1，bc1，而2a222(當(dāng)且僅當(dāng)bc1時取等號)，故選D.5(2020·富陽二中高三調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC頂點(diǎn)A(4，0)和C(4，0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則()A. B.C. D.解析：選D.橢圓1中，a5，b3，c4，故A(4，0)和C(4，0)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，所以|AB|BC|2a10，|AC|8，由正弦定理得.6若橢圓1(ab0)和圓x2y2(c為橢圓的半焦距)有四個不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.因為橢圓1(ab0)和圓x2y2(c為橢圓的半焦距)的中心都在原點(diǎn)，且它們有四個交點(diǎn)，所以圓的半徑，由cb，得2cb，再平方，4c2b2，在橢圓中，a2b2c25c2，所以e；由ca，得b2c2a，再平方，b24c24bc4a2，所以3c24bc3a2，所以4bc3b2，所以4c3b，所以16c29b2，所以16c29a29c2，所以9a225c2，所以，所以e.綜上所述，e.7(2020·義烏模擬)若橢圓1(a>b>0)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：由題意可知e，2b4，得b2，所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：18(2020·義烏模擬)已知圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率e_解析：圓(x2)2y21經(jīng)過橢圓1(a>b>0)的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，故橢圓的一個焦點(diǎn)為F(1，0)，一個頂點(diǎn)為A(3，0)，所以c1，a3，因此橢圓的離心率為.答案：9(2020·瑞安四校聯(lián)考)橢圓1(a為定值，且a)的左焦點(diǎn)為F，直線xm與橢圓相交于點(diǎn)A，B.若FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_解析：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，如圖，由橢圓定義知，|AF|AF|BF|BF|2a.又FAB的周長為|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，當(dāng)且僅當(dāng)AB過右焦點(diǎn)F時等號成立此時周長最大，即4a12，則a3.故橢圓方程為1，所以c2，所以e.答案：10已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)(1，0)到直線PF2的距離為，其中點(diǎn)P(1，4)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：設(shè)F2的坐標(biāo)為(c，0)(c>0)，則kPF2，故直線PF2的方程為y(xc)，即xy0，點(diǎn)(1，0)到直線PF2的距離d，即4，解得c1或c3(舍去)，所以a2b21.又點(diǎn)在橢圓E上， 所以1，由可得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.答案：y2111已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點(diǎn)的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點(diǎn)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，所以b212.故橢圓方程為1或1.12已知橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若F1AB90°，求橢圓的離心率；(2)若2，·，求橢圓的方程解：(1)若F1AB90°，則AOF2為等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c，設(shè)B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.將B點(diǎn)坐標(biāo)代入1，得1，即1，解得a23c2.又由·(c，b)·，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，從而有b22.所以橢圓的方程為1.綜合題組練1(2020·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓1(a>b>0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，左焦點(diǎn)為F.以原點(diǎn)O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得1，所以5e22e30，又0<e<1，所以e.故選A.2設(shè)A、B是橢圓C：1長軸的兩個端點(diǎn)若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0，19，) B(0，9，)C(0，14，) D(0，4，)解析：選A.依題意得，或，所以或，解得0<m1或m9.故選A.3已知F是橢圓5x29y245的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動點(diǎn)，A(1，1)是一定點(diǎn)則|PA|PF|的最大值為_，最小值為_解析：如圖所示，設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F1，則|PF|PF1|6.所以|PA|PF|PA|PF1|6.利用|AF1|PA|PF1|AF1|(當(dāng)P，A，F(xiàn)1共線時等號成立)所以|PA|PF|6，|PA|PF|6.故|PA|PF|的最大值為6，最小值為6.答案：664.(2020·富陽市場口中學(xué)高三期中)如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF2與圓x2y2b2相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_解析：連接OQ，F(xiàn)1P如圖所示，由切線的性質(zhì)，得OQPF2，又由點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn)，O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)QF1P，所以PF2PF1，故|PF2|2a2b，且|PF1|2b，|F1F2|2c，則|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，得4c24b24(a22abb2)，解得ba.則ca，故橢圓的離心率為.答案：5已知橢圓C：1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(，1)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M，N是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為.若動點(diǎn)P滿足2，求點(diǎn)P的軌跡方程解：(1)因為e，所以，又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(，1)，所以1，解得a24，b22，所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由2得xx12x2，yy12y2，因為點(diǎn)M，N在橢圓1上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x1x24x)2(y4y1y24y)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)設(shè)kOM，kON分別為直線OM與ON的斜率，由題意知，kOM·kON，因此x1x22y1y20，所以x22y220，故點(diǎn)P的軌跡方程是1.6已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個長軸端點(diǎn)為(0，2)，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B，且2.(1)求橢圓的方程；(2)求m的取值范圍解：(1)由題意知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，由題意知a2，bc，又a2b2c2，則b，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立，得則(2k2)x22mkxm240，(2mk)24(2k2)(m24)>0.由根與系數(shù)的關(guān)系知，又由2，即(x1，my1)2(x2，y2m)，得x12x2，故可得2，整理得(9m24)k282m2，又9m240時不符合題意，所以k2>0，解得<m2<4，此時>0，解不等式<m2<4，得<m<2或2<m<，所以m的取值范圍為.20