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1、 第七章 不等式
知識點
最新考綱
不等關系與不等式
了解不等關系，掌握不等式的基本性質.
一元二次不等式及其解法
了解一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，會解一元二次不等式.
二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
了解二元一次不等式的幾何意義，掌握平面區(qū)域與二元一次不等式組之間的關系，并會求解簡單的二元線性規(guī)劃問題.
基本不等式
≤(a，b＞0)
掌握基本不等式≤(a，b＞0)及其應用.
絕對值不等式
會解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．
了解不等式||a|－|b||≤|
2、a＋b|≤|a|＋|b|.
第1講 不等關系與不等式
1．實數(shù)大小順序與運算性質之間的關系
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a
3、b，ab>0?<.
②a<0b>0，0.
④0b>0，m>0，則
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．
[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a1，則a>b.( )
(3)一個不等式的兩邊同加上或同乘以同一個數(shù)，不等號方向不變．( )
(4)一個非零實數(shù)越大，則其倒數(shù)就越?。? )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(6)兩
4、個數(shù)的比值大于1，則分子不一定大于分母．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
[教材衍化]
1．(必修5P74練習T3改編)若a，b都是實數(shù)，則“－>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選A.－>0?>?a>b?a2>b2，
但由a2－b2>0?/ －>0.
2．(必修5P75A組T2改編)______(填“>”“<”或“＝”)．
解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，顯然＋2<＋，所以<.
答案：<
3．(必修5P75B組T1改編)若0
5、b>0，c0 B.－<0
C.> D.<
解析：選D.因為cac，
又因為cd>0，所以>，即
6、>.
2．設a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．
解析：若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件．
答案：充分不必要
3．若－<α<β<，則α－β的取值范圍是________．
解析：由－<α<，－<－β<，
7、α<β，
得－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
用不等式(組)表示不等關系
某廠擬生產甲、乙兩種適銷產品，甲、乙產品都需要在A，B兩臺設備上加工，在A，B設備上加工一件甲產品所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙產品所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩臺設備每月有效使用時數(shù)分別為400和500.寫出滿足上述所有不等關系的不等式．
【解】 設甲、乙兩種產品的月產量分別為x，y，則由題意可知
用不等式(組)表示不等關系
(1)分析題中有哪些未知量．
(2)選擇其中起關鍵作用的未知量，設為x或x，y，再用x或x，y來表示其他未知量．
(3)根據(jù)題
8、目中的不等關系列出不等式(組)．
[提醒] 在列不等式(組)時要注意變量自身的范圍．
某汽車公司因發(fā)展需要需購進一批汽車，計劃使用不超過1 000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的A型汽車和B型汽車，根據(jù)需要，A型汽車至少買5輛，B型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關系的不等式．
解：設購買A型汽車和B型汽車分別為x輛、y輛，
則即
不等式的性質及應用(高頻考點)
不等式的性質及其應用是高考命題的熱點．不等式性質的應用是高考的?？键c，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有：
(1)判斷命題的真假；
(2)與充要條件相結合命題的判斷；
9、(3)求代數(shù)式的取值范圍．
角度一 判斷命題的真假
(1)設a，b，c∈R，且a>b，則( )
A．ac>bc B.<
C．a2>b2 D．a3>b3
(2)下列命題中，正確的是( )
A．若a>b，c>d，則ac>bd
B．若ac>bc，則a>b
C．若<，則ab，c>d，則a－c>b－d
【解析】 (1)A項，c≤0時，由a>b不能得到ac>bc，故不正確；
B項，當a>0，b<0(如a＝1，b＝－2)時，由a>b不能得到<，故不正確；
C項，由a2－b2＝(a＋b)(a－b)及a>b可知當a＋b<0時(如a＝－2，b＝－
10、3或a＝2，b＝－3)均不能得到a2>b2，故不正確；
D項，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·，因為＋b2 >0，所以可由a>b知a3－b3>0，即a3>b3，故正確．
(2)A：取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A錯誤；B：當c<0時，ac>bc?a0，所以a
11、件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)設a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分又不必要條件
【解析】 (1)(a－b)·a2<0，則必有a－b<0，即ab?a|a|>b|b|；
當b＝0時，顯然有a>b?a|a|>b|b|；
當b>0時，由a>b有|a|>|b|，
所以a>b?a|a|>b|b|.
綜上可
12、知a>b?a|a|>b|b|，故選C.
【答案】 (1)A (2)C
角度三 求代數(shù)式的取值范圍
(2020·臺州高三模擬)若α，β滿足則α＋3β的取值范圍為________．
【解析】 設α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
則解得
因為－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，
兩式相加，得1≤α＋3β≤7.
所以α＋3β的取值范圍是[1，7]．
【答案】 [1，7]
(1)判斷不等式命題真假的方法
①判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明．常用的推理判斷需要利用不等式性質．
②在判斷一個關于不等式的命題真假
13、時，先把判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假．
(2)充要條件的判斷方法
利用兩命題間的關系，看p能否推出q，再看q能否推出p，充分利用不等式性質或特值求解．
(3)求代數(shù)式的取值范圍
利用不等式性質求某些代數(shù)式的取值范圍時，多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決此類問題，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得整體范圍，是避免錯誤的有效途徑．
已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b＋c≤2a，c＋a≤2b，則的取值范圍是________．
解析：因為b＋c≤2a，c＋a≤2b，c＞a－b，c＞b－a，
所
14、以問題等價于不等式組有解，
所以?＜＜，
即的取值范圍是.
答案：
比較兩個數(shù)(式)的大小
(1)設函數(shù)f(x)＝x3＋，x∈[0，1]．證明：f(x)≥1－x＋x2；
(2)若a＝，b＝，比較a與b的大小．
【解】 (1)證明：因為1－x＋x2－x3＝＝，由于x∈[0，1]，有≤，
即1－x＋x2－x3≤，
所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)因為a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·＝＝＝log8 9＞1，所以a＞b.
1．設m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，則m與n的大小關系為( )
A．m>n B．m
15、≥n D．m≤n
解析：選B.m－n＝x2＋5x＋6－(2x2＋5x＋9)
＝－x2－3<0，所以m0，b>0)兩個代數(shù)式的大小．
解：因為＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又因為a>0，b>0，所以≥0，
故＋≥a＋b.
[基礎題組練]
1．(2020·嘉興期中)若x＞y，m＞n，下列不等式正確的是( )
A．m－y＞n－x B．xm＞yn
C.＞ D．x－m＞y－n
解析：選A.對于B，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2時不成立，
對于C，x＝1，y＝－2，m＝－1，n＝－2時不成立，
因為x＞y，m
16、＞n，所以x＋m＞y＋n，所以m－y＞n－x.A正確，
易知D不成立，故選A.
2．(2020·義烏質檢)設α∈，β∈，那么2α－的取值范圍是( )
A. B.
C．(0，π) D.
解析：選D.由題設得0<2α<π，0≤≤，
所以－≤－≤0，所以－<2α－<π.
3．設實數(shù)x，y滿足0＜xy＜1且0＜x＋y＜1＋xy，那么x，y的取值范圍是( )
A．x＞1且y＞1 B．0＜x＜1且y＜1
C．0＜x＜1且0＜y＜1 D．x＞1且0＜y＜1
解析：選C.?又x＋y＜1＋xy，所以1＋xy－x－y＞0，即(x－1)(y－1)＞0，所以或(舍去)，所以
17、4．(2020·溫州校級月考)下列不等式成立的是( )
A．若|a|＜b，則a2＞b2
B．若|a|＞b，則a2＞b2
C．若a＞b，則a2＞b2
D．若a＞|b|，則a2＞b2
解析：選D.若|a|＜b，則a2＜b2，故A錯誤；若a＝b＜0，則|a|＞b，則a2＝b2，故B錯誤；
若－a＝b＜0，則a＞b，則a2＝b2，故C錯誤；
若a＞|b|，則a2＞b2，故D正確．故選D.
5．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是( )
A．若a＞b，則ac2＞bc2
B．若＞，則a＞b
C．若a3＞b3且ab＜0，則＞
D．若a2＞b2且ab＞0，則＜
解析：選C.
18、當c＝0時，可知A不正確；當c＜0時，可知B不正確；由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，C正確；當a＜0且b＜0時，可知D不正確．
6．已知實數(shù)a，b，c.( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
解析：選D.取a＝10，b＝10，c＝－110，可排除選項A；取a＝10，b＝－100，c＝0，可排除選項B；
19、取a＝10，b＝－10，c＝0，可排除選項C.故選D.
7．(2020·嚴州模擬)若a10，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
8．a，b∈R，a＜b和＜同時成立的條件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b兩邊同除以ab得，＞，
即＜；若ab＞0，則＞.
所以a
20、＜b和＜同時成立的條件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
9．用一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 cm，要求菜園的面積不小于216 m2，靠墻的一邊長為x m，其中的不等關系可用不等式(組)表示為________．
解析：矩形靠墻的一邊長為x m，則另一邊長為 m，即 m，根據(jù)題意知
答案：
10．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________．
解析：因為f(x)過原點，所以設f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
由得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又
所
21、以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范圍是[6，10]．
答案：[6，10]
11．(2020·嘉興期中)已知a，b是正數(shù)，且a≠b，比較a3＋b3與a2b＋ab2的大小．
解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)
＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
因為a≠b，a＞0，b＞0，
所以(a－b)2(a＋b)＞0，
所以a3＋b3＞a2b＋ab2.
12．已知a＞b＞0，m＞0且m≠a.試比較：與的大?。?
解：－＝＝.
因為a>b>0，m>0.
所以a－b>0，m(
22、a－b)>0.
(1)當a>m時，a(a－m)>0，
所以>0，
即－>0，
故>.
(2)當a0且a≠1，則“ab>1”是“(a－1)b>0”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C.由ab>1?或由(a－1)b>0?或又a>0且a≠1，所以“ab>1”是“(a－1)b>0”的充要條件．
2．若a>b>0，且ab＝1，則下列不等式成立的是( )
A．a＋<
23、a＋b)
B.a>ab，則實數(shù)b的取值范圍是________．
解析：因為ab2>a>ab，
所以a≠0，
當a>0時，b2>1>b，
即解得b<－1；
當a<0時，b2<1
24、．
解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg ≤2得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，而lg ＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，所以－1≤lg ≤5.
答案：[－1，5]
5．(2020·金華十校聯(lián)考)某單位組織職工去某地參觀學習需包車前往，甲車隊說：“如領隊買全票一張，其余人可享受7.5 折優(yōu)惠”，乙車隊說：“你們屬團體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．
解：設該單位職工有n人(n∈N*)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，
則y1＝x＋
25、x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因為y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx＝x，
當n＝5時，y1＝y(tǒng)2；
當n>5時，y1y2.
因此當單位去的人數(shù)為5人時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．
6．設不等式＋≤a對一切x＞0，y＞0恒成立，求實數(shù)a的最小值．
解：原題即a≥對一切x＞0，y＞0恒成立，
設A＝，
A2＝＝1＋≤2，
當x＝y(tǒng)時等號成立，因為A＞0，
所以0＜A≤ ，即A有最大值.
所以當a≥ 時，＋≤a對一切x＞0，y＞0恒成立．
所以a的最小值為.
13
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 1 第1講 不等關系與不等式教學案
