（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學(xué)案（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講函數(shù)與方程1函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個(gè)c也就是f(x)0的根我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無(wú)交

2、點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調(diào)且f(a)f(b)0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(1)30，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)答案：1易錯(cuò)糾偏(1)錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理；(2)誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義；(3)忽略限制條件；(4)錯(cuò)用二次函數(shù)在R上無(wú)零點(diǎn)的條件1函數(shù)f(x)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_解析：函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，當(dāng)x0

3、時(shí)，f(x)0，當(dāng)x0時(shí)，f(x)0即可，即1m0且8m0，解得8m1.答案：(8，14若二次函數(shù)f(x)x2kxk在R上無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析：由題意得k24k0，解得0k4.答案：(0，4)函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 設(shè)f(x)0.8x1，g(x)ln x，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間()A(0，1) B(1，2)C(2，e) D(e，3)【解析】h(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)g(x)0的根，即為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個(gè)交點(diǎn)A，橫坐標(biāo)的范圍為(0，1)，故選A.【答案】A判

4、斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程f(x)0易解時(shí)，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)(3)圖象法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷 1(2020金華十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)xlog2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B.C. D.解析：選A.因?yàn)閒log20，所以ff0，故函數(shù)f(x)xlog2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為.2(2020杭州市嚴(yán)州中學(xué)高三模擬)若abc，則函數(shù)f(x)(x

5、a)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)解析：選A.因?yàn)閒(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因?yàn)閍b0，f(b)0，所以f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題 (1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A3 B2C1 D0(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(3x)，且當(dāng)x1，3)時(shí)，f(x)ln x，若在區(qū)間1，9)內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)

6、ax有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)閒(x)f(3x)f(x)f，當(dāng)x3，9)時(shí)，f(x)fln，所以f(x)而g(x)f(x)ax有三個(gè)不同零點(diǎn)yf(x)與yax的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖所示，可得直線yax應(yīng)在圖中兩條虛線之間，所以可解得a.故選B.【答案】(1)B(2)B判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在

7、區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0)，y2ln x(x0)的圖象，如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.2已知函數(shù)f(x)是定義在(，0)(0，)上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)則函數(shù)g(x)4f(x)1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A4 B6C8 D10解析：選D.由f(x)為偶函數(shù)可得，只需作出x(0，)上的圖象，再利用對(duì)稱性作另一半圖象即可當(dāng)x(0，2時(shí)，可以通過(guò)y2x的圖象進(jìn)行變換作出f(x)的圖象，當(dāng)x2時(shí)，f(x)f(x2)，即自變量差2個(gè)單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出f(x)在(2，4，(4，6，的圖象，如圖所示g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f(x)的根的個(gè)數(shù)，也即f(x)的

8、圖象與y的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，觀察圖象可知，當(dāng)x0時(shí)，有5個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)x0時(shí)，也有5個(gè)交點(diǎn)，共計(jì)10個(gè)交點(diǎn)，故選D.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)比較大??；(2)已知函數(shù)的零點(diǎn)(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍；(3)利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍角度一利用函數(shù)零點(diǎn)比較大小 (2020臺(tái)州模擬)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點(diǎn)為b，則下列不等式中成立的是()Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1)Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1

9、)0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞增的，而f(0)e00210，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)a(0，1)；由題意，知g(x)10，所以函數(shù)g(x)在(0，)上是單調(diào)遞增的，又g(1)ln 11210，所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)b(1，2)綜上，可得0a1b2.因?yàn)閒(x)在R上是單調(diào)遞增的，所以f(a)f(1)f(b)故選A.【答案】A角度二已知函數(shù)的零點(diǎn)(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍 (1)設(shè)函數(shù)f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若關(guān)于x的函數(shù)F(x)g(x)f(x)m在1，2上有零點(diǎn)，則m的取值范圍為_(kāi)(2)(2018高考浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)當(dāng)2時(shí)，不等式

10、f(x)0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【解析】(1)令F(x)0，即g(x)f(x)m0.所以mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2 log2.因?yàn)?x2，所以32x15.所以，1.所以log2 log2log2 ，即log2 mlog2 .所以m的取值范圍是.(2)若2，則當(dāng)x2時(shí)，令x40，得2x4；當(dāng)x2時(shí)，令x24x30，得1x2.綜上可知，1x4，所以不等式f(x)0的解集為(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象(圖略)可知14.【答案】(1)(2)(1，4)(1，3

11、(4，)角度三利用函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)求參數(shù)的范圍 已知函數(shù)f(x)|ln x|，若0ab，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)【解析】先作出f(x)的圖象如圖所示，通過(guò)圖象可知，如果f(a)f(b)，則0a10)，由0a1b可得ln a0，從而即所以a2b2et，而et1，又y2x在(1，)上為增函數(shù)，所以2et(3，)故選C.【答案】C已知函數(shù)的零點(diǎn)(或方程根)的情況求參數(shù)問(wèn)題常用的三種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)

12、解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解 1(2019高考浙江卷)設(shè)a，bR，函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)axb恰有3個(gè)零點(diǎn)，則()Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0解析：選C.由題意可得，當(dāng)x0時(shí)，f(x)axbx3(a1)x2b，令f(x)axb0，則bx3(a1)x2x22x3(a1)因?yàn)閷?duì)任意的xR，f(x)axb0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以要使?jié)M足條件，則當(dāng)x0時(shí)，bx22x3(a1)必須有2個(gè)零點(diǎn)，所以0，解得a1.所以b0.故選C.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

13、f(x)m0的根有3個(gè)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為yf(x)，ym的交點(diǎn)有3個(gè)畫(huà)出函數(shù)yf(x)的圖象，則直線ym與其有3個(gè)公共點(diǎn)又拋物線頂點(diǎn)為(1，1)，由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0，1)答案：(0，1)3(2020杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)|2x1|ax5(a是常數(shù)，且aR)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)解析：由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的圖象，觀察可以知道，當(dāng)2a0，f(3)0，f(5)0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，6上的零點(diǎn)至少有3個(gè)2(2020溫州十校聯(lián)考

14、(一)設(shè)函數(shù)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選B.法一：因?yàn)閒(1)ln 11210，所以f(1)f(2)0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1，2)法二：函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1，2)3已知函數(shù)f(x)cos x，則f(x)在0，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C.作出g(x)與h(x)cos x的圖象如圖所示

15、，可以看到其在0，2上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0，2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C.4已知函數(shù)f(x)tan x，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)，且0tx0，則f(t)的值()A大于1 B大于0C小于0 D不大于0解析：選B.y1是減函數(shù)，y2tan x在上也是減函數(shù)，可知f(x)tan x在上單調(diào)遞減因?yàn)?tf(x0)0.故選B.5(2020蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值是()A. B.C D解析：選C.因?yàn)楹瘮?shù)yf(2x21)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程f(2x21)f(x)0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義

16、在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以(1)242(1)0，解得 .故選C.6(2020寧波市余姚中學(xué)期中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)kx2(kR)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()Ak0 Bk1C0k1解析：選D.分別畫(huà)出y與ykx2的圖象如圖所示，當(dāng)k0，x0時(shí)，令f(x)kx20，即kx32kx2x0，即x(kx22kx1)0，即x0或kx22kx10，因?yàn)?k24k0，且0時(shí)，方程有唯一解即當(dāng)x0時(shí)，方程有兩個(gè)解當(dāng)k0，x0，解得k1，綜上所述k1.7(2020

17、金麗衢十二校高三聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)，則f(f(e)_，函數(shù)yf(x)1的零點(diǎn)為_(kāi)解析：因?yàn)閒(x)，所以f(e)ln e1，f(f(e)f(1)tan 00，若01，f(x)1ln x1xe.答案：0e8已知函數(shù)f(x)a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：9已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(x)的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為_(kāi)解析：令g(x)0，得f(x)，所以或解得x1或x或x，故函數(shù)g(x)f(x)的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為.答案：10(2020杭州學(xué)軍中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)|x34x|ax2恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：函數(shù)f(x)|x34x|

18、ax2恰有2個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)y|x34x|與y2ax的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)作出函數(shù)y|x34x|的圖象如圖，當(dāng)直線y2ax與曲線yx34x，x0，2相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x4x0)，則切線方程為y(x4x0)(3x4)(xx0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，2)，代入解得x01，此時(shí)a1，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為a1.答案：a111設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當(dāng)a1，b2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(2)若對(duì)任意bR，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1，b2時(shí)，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3和1.(2)依

19、題意，f(x)ax2bxb10有兩個(gè)不同實(shí)根，所以b24a(b1)0恒成立，即對(duì)于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，解得0a0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k0)，則“f0，函數(shù)f(x)開(kāi)口向上，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，最小值必然小于0，當(dāng)取得最小值時(shí)，x，即f0，令f(x)，則f(f(x)f，因?yàn)閒0，所以f(f(x)0，所以f(f(x)必有兩個(gè)零點(diǎn)同理f0f0，開(kāi)口向上，f0，必有兩個(gè)零點(diǎn)所以C選項(xiàng)正確3(2020瑞安市龍翔高中高三月考)若關(guān)于x的不等式x2|xa|xa|，則02x2.在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y2x2(y0，x0)和y|x|兩個(gè)函數(shù)圖象，將絕對(duì)值函數(shù)y|x|向左移動(dòng)，當(dāng)右支經(jīng)過(guò)(0，2)點(diǎn)時(shí)，a2；將絕對(duì)值函數(shù)y|x|向右移動(dòng)讓左支與拋物線y2x2(y0，x0)相切時(shí)，由，可得x2xa20，再由0解得a.數(shù)形結(jié)合可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：4已知函數(shù)f(x)，g(x)logx，記函數(shù)h(x)則函數(shù)F(x)h(x)x5的所有零點(diǎn)的和為_(kāi)解析：由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱，函數(shù)F(x)所有零點(diǎn)的和就是函數(shù)yh(x)與函數(shù)y5x圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線yx對(duì)稱，所以5，所以x1x25.答案：514