（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 8 第8講 函數(shù)與方程教學案

第8講函數(shù)與方程1函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(2)三個等價關系：方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點2函數(shù)零點的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)0，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是f(x)0的根我們把這一結論稱為函數(shù)零點存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點的關系000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數(shù)兩個一個零個疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac<0時沒有零點()(4)若函數(shù)f(x)在(a，b)上連續(xù)單調且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個零點()答案：(1)×(2)×(3)(4)教材衍化1(必修1P92A組T5改編)函數(shù)f(x)ln x的零點所在的大致范圍是()A(1，2) B(2，3)C.和(3，4) D(4，)解析：選B.易知f(x)為增函數(shù)，由f(2)ln 210，f(3)ln 30，得f(2)·f(3)0.故選B.2(必修1P88例1改編)函數(shù)f(x)ex3x的零點個數(shù)是_解析：由已知得f(x)ex3>0，所以f(x)在R上單調遞增，又f(1)3<0，f(0)1>0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個零點答案：1易錯糾偏(1)錯用零點存在性定理；(2)誤解函數(shù)零點的定義；(3)忽略限制條件；(4)錯用二次函數(shù)在R上無零點的條件1函數(shù)f(x)x的零點個數(shù)是_解析：函數(shù)的定義域為x|x0，當x>0時，f(x)>0，當x<0時，f(x)<0，所以函數(shù)沒有零點答案：02函數(shù)f(x)x23x的零點是_解析：由f(x)0，得x23x0，即x0和x3.答案：0和33若二次函數(shù)f(x)x22xm在區(qū)間(0，4)上存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：二次函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x1.若在區(qū)間(0，4)上存在零點，只需f(1)0且f(4)>0即可，即1m0且8m>0，解得8<m1.答案：(8，14若二次函數(shù)f(x)x2kxk在R上無零點，則實數(shù)k的取值范圍是_解析：由題意得k24k<0，解得0<k<4.答案：(0，4)函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 設f(x)0.8x1，g(x)ln x，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在的零點一定位于下列哪個區(qū)間()A(0，1) B(1，2)C(2，e) D(e，3)【解析】h(x)f(x)g(x)的零點等價于方程f(x)g(x)0的根，即為函數(shù)yf(x)與yg(x)圖象的交點的橫坐標，其大致圖象如圖，從圖象可知它們僅有一個交點A，橫坐標的范圍為(0，1)，故選A.【答案】A判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3種方法(1)解方程法：當對應方程f(x)0易解時，可先解方程，然后再看求得的根是否落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內必有零點(3)圖象法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷 1(2020·金華十校聯(lián)考)函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為()A. B.C. D.解析：選A.因為flog2<0，flog2>0，所以f·f<0，故函數(shù)f(x)xlog2x的零點所在區(qū)間為.2(2020·杭州市嚴州中學高三模擬)若a<b<c，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內B(，a)和(a，b)內C(b，c)和(c，)內D(，a)和(c，)內解析：選A.因為f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因為a<b<c，所以f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，所以f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內函數(shù)零點個數(shù)的問題 (1)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為()A3 B2C1 D0(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)f(3x)，且當x1，3)時，f(x)ln x，若在區(qū)間1，9)內，函數(shù)g(x)f(x)ax有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】(1)法一：由f(x)0得或解得x2或xe.因此函數(shù)f(x)共有2個零點法二：函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象知函數(shù)f(x)共有2個零點(2)因為f(x)f(3x)f(x)f，當x3，9)時，f(x)fln，所以f(x)而g(x)f(x)ax有三個不同零點yf(x)與yax的圖象有三個不同交點，如圖所示，可得直線yax應在圖中兩條虛線之間，所以可解得<a<.故選B.【答案】(1)B(2)B判斷函數(shù)零點個數(shù)的3種方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(3)數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點 1函數(shù)f(x)|x2|ln x在定義域內的零點的個數(shù)為()A0 B1C2 D3解析：選C.由題意可知f(x)的定義域為(0，)，在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y1|x2|(x>0)，y2ln x(x>0)的圖象，如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內的零點個數(shù)為2.2已知函數(shù)f(x)是定義在(，0)(0，)上的偶函數(shù)，當x>0時，f(x)則函數(shù)g(x)4f(x)1的零點個數(shù)為()A4 B6C8 D10解析：選D.由f(x)為偶函數(shù)可得，只需作出x(0，)上的圖象，再利用對稱性作另一半圖象即可當x(0，2時，可以通過y2x的圖象進行變換作出f(x)的圖象，當x>2時，f(x)f(x2)，即自變量差2個單位，函數(shù)值折半，進而可作出f(x)在(2，4，(4，6，的圖象，如圖所示g(x)的零點個數(shù)即f(x)的根的個數(shù)，也即f(x)的圖象與y的圖象的交點個數(shù)，觀察圖象可知，當x>0時，有5個交點，根據(jù)對稱性可得當x<0時，也有5個交點，共計10個交點，故選D.函數(shù)零點的應用(高頻考點)高考對函數(shù)零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)主要命題角度有：(1)利用函數(shù)零點比較大小；(2)已知函數(shù)的零點(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍；(3)利用函數(shù)零點的性質求參數(shù)的范圍角度一利用函數(shù)零點比較大小 (2020·臺州模擬)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點為b，則下列不等式中成立的是()Af(a)<f(1)<f(b) Bf(a)<f(b)<f(1)Cf(1)<f(a)<f(b) Df(b)<f(1)<f(a)【解析】由題意，知f(x)ex1>0恒成立，所以函數(shù)f(x)在R上是單調遞增的，而f(0)e0021<0，f(1)e112e1>0，所以函數(shù)f(x)的零點a(0，1)；由題意，知g(x)1>0，所以函數(shù)g(x)在(0，)上是單調遞增的，又g(1)ln 1121<0，g(2)ln 222ln 2>0，所以函數(shù)g(x)的零點b(1，2)綜上，可得0<a<1<b<2.因為f(x)在R上是單調遞增的，所以f(a)<f(1)<f(b)故選A.【答案】A角度二已知函數(shù)的零點(或方程的根)的情況求參數(shù)的值或范圍 (1)設函數(shù)f(x)log2(2x1)，g(x)log2(2x1)，若關于x的函數(shù)F(x)g(x)f(x)m在1，2上有零點，則m的取值范圍為_(2)(2018·高考浙江卷)已知R，函數(shù)f(x)當2時，不等式f(x)<0的解集是_若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則的取值范圍是_【解析】(1)令F(x)0，即g(x)f(x)m0.所以mg(x)f(x)log2(2x1)log2(2x1)log2 log2.因為1x2，所以32x15.所以，1.所以log2 log2log2 ，即log2 mlog2 .所以m的取值范圍是.(2)若2，則當x2時，令x4<0，得2x<4；當x<2時，令x24x3<0，得1<x<2.綜上可知，1<x<4，所以不等式f(x)<0的解集為(1，4)令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因為函數(shù)f(x)恰有2個零點，結合函數(shù)的圖象(圖略)可知1<3或>4.【答案】(1)(2)(1，4)(1，3(4，)角度三利用函數(shù)零點的性質求參數(shù)的范圍 已知函數(shù)f(x)|ln x|，若0<a<b，且f(a)f(b)，則a2b的取值范圍是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)【解析】先作出f(x)的圖象如圖所示，通過圖象可知，如果f(a)f(b)，則0<a<1<b，設f(a)f(b)t，即(t>0)，由0<a<1<b可得ln a<0，ln b>0，從而即所以a2b2et，而et>1，又y2x在(1，)上為增函數(shù)，所以2et(3，)故選C.【答案】C已知函數(shù)的零點(或方程根)的情況求參數(shù)問題常用的三種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解 1(2019·高考浙江卷)設a，bR，函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)axb恰有3個零點，則()Aa<1，b<0 Ba<1，b>0Ca>1，b<0 Da>1，b>0解析：選C.由題意可得，當x0時，f(x)axbx3(a1)x2b，令f(x)axb0，則bx3(a1)x2x22x3(a1)因為對任意的xR，f(x)axb0有3個不同的實數(shù)根，所以要使?jié)M足條件，則當x0時，bx22x3(a1)必須有2個零點，所以>0，解得a>1.所以b<0.故選C.2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，轉化為f(x)m0的根有3個，進而轉化為yf(x)，ym的交點有3個畫出函數(shù)yf(x)的圖象，則直線ym與其有3個公共點又拋物線頂點為(1，1)，由圖可知實數(shù)m的取值范圍是(0，1)答案：(0，1)3(2020·杭州學軍中學高三質檢)若函數(shù)f(x)|2x1|ax5(a是常數(shù)，且aR)恰有兩個不同的零點，則a的取值范圍為_解析：由f(x)0，得|2x1|ax5.作出y|2x1|和yax5的圖象，觀察可以知道，當2<a<2時，這兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，即函數(shù)yf(x)有兩個不同的零點故a的取值范圍是(2，2)答案：(2，2)基礎題組練1(2020·浙江省名校聯(lián)考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應值表：x123456y124.4337424.536.7123.6則函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，6上的零點至少有()A2個 B3個C4個 D5個解析：選B.依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個零點，故函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，6上的零點至少有3個2(2020·溫州十校聯(lián)考(一)設函數(shù)f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：選B.法一：因為f(1)ln 1121<0，f(2)ln 2>0，所以f(1)·f(2)<0，因為函數(shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的，所以函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1，2)法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間，作出兩函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)3已知函數(shù)f(x)cos x，則f(x)在0，2上的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C.作出g(x)與h(x)cos x的圖象如圖所示，可以看到其在0，2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在0，2上的零點個數(shù)為3，故選C.4已知函數(shù)f(x)tan x，若實數(shù)x0是函數(shù)yf(x)的零點，且0<t<x0，則f(t)的值()A大于1 B大于0C小于0 D不大于0解析：選B.y1是減函數(shù)，y2tan x在上也是減函數(shù)，可知f(x)tan x在上單調遞減因為0<t<x0，f(t)>f(x0)0.故選B.5(2020·蘭州模擬)已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是()A. B.C D解析：選C.因為函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，所以方程f(2x21)f(x)0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，所以f(2x21)f(x)0f(2x21)f(x)f(2x21)f(x)2x21x，所以方程2x2x10只有一個實數(shù)根，所以(1)24×2×(1)0，解得 .故選C.6(2020·寧波市余姚中學期中檢測)已知函數(shù)f(x)kx2(kR)有四個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍是()Ak<0 Bk<1C0<k<1 Dk>1解析：選D.分別畫出y與ykx2的圖象如圖所示，當k<0時，ykx2的開口向下，此時與y只有一個交點，顯然不符合題意；當k0時，此時與y只有一個交點，顯然不符合題意，當k>0，x0時，令f(x)kx20，即kx32kx2x0，即x(kx22kx1)0，即x0或kx22kx10，因為4k24k>0，且<0，所以方程有一正根，一負根，所以當x>0時，方程有唯一解即當x0時，方程有兩個解當k>0，x<0時，f(x)kx20，即kx32kx2x0，kx22kx10，此時必須有兩個解才滿足題意，所以4k24k>0，解得k>1，綜上所述k>1.7(2020·金麗衢十二校高三聯(lián)考)設函數(shù)f(x)，則f(f(e)_，函數(shù)yf(x)1的零點為_解析：因為f(x)，所以f(e)ln e1，f(f(e)f(1)tan 00，若0<x1，f(x)1tan(x1)1，方程無解；若x>1，f(x)1ln x1xe.答案：0e8已知函數(shù)f(x)a的零點為1，則實數(shù)a的值為_解析：由已知得f(1)0，即a0，解得a.答案：9已知函數(shù)f(x)則函數(shù)g(x)f(x)的零點所構成的集合為_解析：令g(x)0，得f(x)，所以或解得x1或x或x，故函數(shù)g(x)f(x)的零點所構成的集合為.答案：10(2020·杭州學軍中學模擬)已知函數(shù)f(x)|x34x|ax2恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：函數(shù)f(x)|x34x|ax2恰有2個零點即函數(shù)y|x34x|與y2ax的圖象有2個不同的交點作出函數(shù)y|x34x|的圖象如圖，當直線y2ax與曲線yx34x，x0，2相切時，設切點坐標為(x0，x4x0)，則切線方程為y(x4x0)(3x4)(xx0)，且經過點(0，2)，代入解得x01，此時a1，由函數(shù)圖象的對稱性可得實數(shù)a的取值范圍為a<1或a>1.答案：a<1或a>111設函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當a1，b2時，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若對任意bR，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)當a1，b2時，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.所以函數(shù)f(x)的零點為3和1.(2)依題意，f(x)ax2bxb10有兩個不同實根，所以b24a(b1)>0恒成立，即對于任意bR，b24ab4a>0恒成立，所以有(4a)24×(4a)<0a2a<0，解得0<a<1，因此實數(shù)a的取值范圍是(0，1)綜合題組練1(2020·杭州市富陽二中高三質檢)已知函數(shù)f(x)，則下列關于函數(shù)yff(kx)11(k0)的零點個數(shù)的判斷正確的是()A當k>0時，有3個零點；當k<0時，有4個零點B當k>0時，有4個零點；當k<0時，有3個零點C無論k為何值，均有3個零點D無論k為何值，均有4個零點解析：選C.令ff(kx)110得，或，解得f(kx)10或f(kx)1；由f(kx)10得，或；即x0或kx；由f(kx)1得，或；即ekx1(無解)或kxe1；綜上所述，x0或kx或kxe1；故無論k為何值，均有3個解，故選C.2(2020·寧波市高三教學評估)設函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR且a>0)，則“f<0”是“f(x)與f(f(x)都恰有兩個零點”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C.由已知a>0，函數(shù)f(x)開口向上，f(x)有兩個零點，最小值必然小于0，當取得最小值時，x，即f<0，令f(x)，則f(f(x)f，因為f<0，所以f(f(x)<0，所以f(f(x)必有兩個零點同理f<0f<0x，因為x是對稱軸，a>0，開口向上，f<0，必有兩個零點所以C選項正確3(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)若關于x的不等式x2|xa|<2至少有一個正數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式為2x2>|xa|，則0<2x2.在同一坐標系畫出y2x2(y0，x0)和y|x|兩個函數(shù)圖象，將絕對值函數(shù)y|x|向左移動，當右支經過(0，2)點時，a2；將絕對值函數(shù)y|x|向右移動讓左支與拋物線y2x2(y0，x0)相切時，由，可得x2xa20，再由0解得a.數(shù)形結合可得，實數(shù)a的取值范圍是.答案：4已知函數(shù)f(x)，g(x)logx，記函數(shù)h(x)則函數(shù)F(x)h(x)x5的所有零點的和為_解析：由題意知函數(shù)h(x)的圖象如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖象關于直線yx對稱，函數(shù)F(x)所有零點的和就是函數(shù)yh(x)與函數(shù)y5x圖象交點橫坐標的和，設圖象交點的橫坐標分別為x1，x2，因為兩函數(shù)圖象的交點關于直線yx對稱，所以5，所以x1x25.答案：514