《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 2 第2講 空間幾何體的表面積與體積教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 2 第2講 空間幾何體的表面積與體積教學(xué)案（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及其側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺側(cè)(rr)l2.空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VS底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR33.幾個與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；若球為正方體的外接球，則2Ra；若球為正方體的內(nèi)切球，則2ra；若球與正方體的各棱相切，則2Ra.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑
2、為R，則2R.(3)正四面體的棱長為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；外接球：球心是正四面體的中心；半徑Ra；內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑ra.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和()(2)錐體的體積等于底面積與高之積()(3)球的體積之比等于半徑比的平方()(4)簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差()(5)長方體既有外接球又有內(nèi)切球()(6)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2S.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化(必修2P27練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積等于
3、12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為_解析：S表r2rlr2r2r3r212，所以r24，所以r2.答案：2 cm易錯糾偏 (1)不能把三視圖正確還原為幾何體而錯解表面積或體積；(2)考慮不周忽視分類討論；(3)幾何體的截面性質(zhì)理解有誤；(4)混淆球的表面積公式和體積公式1已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3.解析：根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m故該四棱錐的體積V2132(m3)答案：22將一個相鄰邊長分別為4，8的矩形卷成一個圓柱，則這個圓柱的表面積是_解析
4、：當(dāng)?shù)酌嬷荛L為4時，底面圓的半徑為2，兩個底面的面積之和是8；當(dāng)?shù)酌嬷荛L為8時，底面圓的半徑為4，兩個底面的面積之和為32.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積322，故所求的表面積是3228或32232.答案：3228或322323已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為_解析：因為過直線O1O 2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2()22212.答案：124一個球的表面積是16，那么這個球的體積為_解析：設(shè)球的半徑為R，則由4R216，解得R2，
5、所以這個球的體積為R3.答案：空間幾何體的表面積 (1)如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17B18C20 D28(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82 B112C142 D15【解析】(1)由三視圖可得此幾何體為一個球切割掉后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故r3，所以r2，表面積S4r2r217，選A.(2)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示直角梯形斜腰長為，所以底面周長為4，側(cè)面積為2(4)82，兩底面的面積和為21(12)3，所以該幾何體的表面積為82311
6、2.【答案】(1)A(2)B空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積問題注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用 1(2020嘉興期中)若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120、半徑為1的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比是()A43 B21C53 D32解析：選A.圓錐的側(cè)面積S側(cè)12，圓錐的底面半徑r212，圓錐的底面積S底，圓錐的表面積側(cè)面積底面積，所以這個圓錐的表面積與側(cè)面積的比為43.2(2020浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個幾何
7、體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形，俯視圖為正方形，則該幾何體的表面積為_解析：由三視圖可知，該幾何體為一長方體ABCDA1B1C1D1中挖去一個四棱錐PABCD，如圖所示，易得PAPB，所以SPAB2，所以表面積S222344284.答案：284空間幾何體的體積(高頻考點)空間幾何體的體積是每年高考的熱點，多與三視圖結(jié)合考查，題型多為選擇題、填空題，難度較小主要命題角度有：(1)求簡單幾何體的體積；(2)求組合體的體積角度一求簡單幾何體的體積 (1)(2019高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公
8、式V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A158 B162C182 D324(2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1EDF的體積為_【解析】(1)由三視圖可知，該幾何體是一個直五棱柱，所以其體積V(432366)6162.故選B.(2)(等積法)三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積因為點E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，EDD1的面積為定值，點F到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1EDF
9、VFDD1E1.【答案】(1)B(2)角度二求組合體的體積 (分割法)(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3(2)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_【解析】(1)由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個圓錐和一個三棱錐組成的，故該幾何體的體積V32131，故選A.(2)由題意知該幾何體是由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成，其中長方體的體積V12112，兩個圓柱體的體積之和V21212，所以該幾何體的體積VV1V22.【答案】(1)A(2)2 1(2018高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單
10、位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2 B4C6 D8解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V(12)226.故選C.2(2020寧波十校聯(lián)合模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為_cm3，表面積為_cm2.解析：由已知三視圖得到幾何體是一個底面直角邊分別為3，4的直角三角形，高為5的三棱柱，割去一個底面與三棱柱底面相同，高為3的三棱錐，所以該幾何體的體積為V34534324(cm3)；表面積為S(25)4(25)3345552(cm2)答案：24球與空間幾何體的接、切問題 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑
11、為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B.C. D.(2)(2020溫州七校聯(lián)考)三棱錐PABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.【解析】(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r212，所以，圓柱的體積V1.(2)由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，所以x232(x)2，解得x，所以R2x21(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S4R2，故選D.【答案】(1)B(2)D (變條件)若本例(2)中的ABC變?yōu)檫呴L為的等邊三角形求三棱錐外接球的表面積解：由題意
12、得，此三棱錐外接球即為以ABC為底面、以PC為高的正三棱柱的外接球，因為ABC的外接圓半徑r1，外接球球心到ABC的外接圓圓心的距離d1，所以外接球的半徑R，所以三棱錐外接球的表面積S4R28.處理球的“切”“接”問題的求解策略(1)“切”的處理與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作(2)“接”的處理把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑 1如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切
13、球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A. B.C. D.解析：選C.平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因為正方體的棱長為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r，所以Sr2.2(2020麗水模擬)三棱錐PABC的四個頂點都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16，則該三棱錐的高的最大值為()A4 B6C8 D10解析：選C.依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，ABC的外接圓半徑為r，則，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距離為3，因此三棱錐PABC的高的最大值為538.核心素養(yǎng)系列15直觀想象數(shù)學(xué)文化與三視圖 (2020金華十校聯(lián)考)九章算術(shù)是
14、我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈；上棱長2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1丈，則該楔體的體積為()A5 000立方尺B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 500立方尺【解析】該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點G，CD的中點H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐FGBCH與三棱柱ADEGHF的體積之和又可以將三棱柱ADEGHF割補成高為EF，底
15、面積為S31平方丈的一個直棱柱，故該楔體的體積V22315立方丈5 000立方尺【答案】A求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題應(yīng)過的三關(guān) 我國南北朝時期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對應(yīng)的幾何體滿足“冪勢同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4 B8C8 D82解析：選C.由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱，正方體的體積為238，半圓
16、柱的體積為(12)2，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8，故選C.基礎(chǔ)題組練1(2020嘉興期中)某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是()A1B2C3 D4解析：選C.設(shè)球的半徑為r，則球的體積為r3，球的表面積為4r2.因為球的體積與其表面積的數(shù)值相等，所以r34r2，解得r3.2(2020義烏模擬)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A124 B188C28 D208解析：選D.由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖則該幾何體的表面積為S22242224208，故選D.3(2020浙江高校招生選考試題)如圖(1)，把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平
17、面A1BC1截去部分后，得到如圖(2)所示幾何體，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選B.把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到幾何體的體積：VVABCDA1B1C1D1VAA1B1D1VBA1B1C1VNA1B1M11111.4(2020金華十校聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A. B.C3 D3解析：選A.由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為，故選A.5若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A4
18、8 B48C482 D482解析：選A.該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2222451221248，故選A.6(2020臺州四校高三聯(lián)考)一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點M是AB上的動點，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADFBCE的體積為V2，則()A.B.C.D不是定值，隨點M位置的變化而變化解析：選B.由三視圖可知多面體ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長均為a.因為點M是AB上的動點，且易知AB平面DFEC，所
19、以點M到平面DFEC的距離等于點B到平面DFEC的距離，為a，所以V1VEFMCVMEFCaaa，又V2aaa，故，故選B.7(2020寧波市余姚中學(xué)期中檢測)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為_ cm3，表面積為_cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個半球去掉后得到的幾何體所以該幾何體的體積13 cm3.表面積4121212 cm2.答案：8(2020瑞安市龍翔高中高三月考)一個正四棱錐的所有棱長均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為_，正四棱錐的體積為_解析：由正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖如圖，則該正四棱錐的正視圖為三角形PEF(點
20、E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點)，因為正四棱錐的所有棱長均為2，所以PBPC2，EFAB2，PF，所以PO ，所以該正四棱錐的正視圖的面積為2；正四棱錐的體積為22.答案：9(2020溫州市高考模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積為_，表面積為_解析：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個四棱錐，如圖，底面是一個邊長為2的正方形，PE平面ABCD，且PE2，其中點E、F分別是BC、AD的中點，連接EF、PA，所以幾何體的體積V222，在PEB中，PB，同理可得PC，因為PE平面ABCD，所以PECD，因為CDBC，BCPEE，所以CD平面PBC，則CDPC，在PCD中，PD3，
21、同理可得PA3，則PFAD，在PDF中，PF2，所以此幾何體的表面積S22222222622.答案：62210已知球O的表面積為25，長方體的八個頂點都在球O的球面上，則這個長方體的表面積的最大值等于_解析：設(shè)球的半徑為R，則4R225，所以R，所以球的直徑為2R5，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則長方體的表面積S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22(a2b2c2)50.答案：5011.如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，求該多面體的體積解：如圖，分別過點A、B作EF的垂線，垂足分別為點G、H，連接D
22、G、CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，所以SAGDSBHC1，所以該多面體的體積VVEADGVFBHCVAGDBHC1.12.如圖，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)；(2)若要制作一個如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠，請作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時，不需考慮骨架等因素)解：(1)由題意可知矩形的高即圓柱的母線長為1.22r，所以塑料片面積Sr22r(1.22r)r22.4r4r23r22.4r3
23、(r20.8r)所以當(dāng)r0.4米時，S有最大值，約為1.51平方米(2)若燈籠底面半徑為0.3米，則高為1.220.30.6(米)制作燈籠的三視圖如圖綜合題組練1在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3.2(2020瑞安市龍翔高中高三月考)如圖，已知在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，
24、PA底面ABCD，AB1，PAAC1，ABC，則四棱錐PABCD的體積V的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.由已知，四邊形ABCD的面積Ssin ，由余弦定理可求得AC，所以PA，所以V，所以V.所以當(dāng)cos 0，即時，四棱錐PABCD的體積V的最小值是；當(dāng)cos 1，即0時，四棱錐PABCD的體積V的最大值是.因為0，所以PABCD的體積V的取值范圍是.3(2020浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 cm3，則正視圖中的x的值是_cm，該幾何體的表面積是_cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積
25、公式得，(12)xx2(cm)，側(cè)面ADS，CDS，ABS為直角三角形，側(cè)面BCS是以BC為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為S(12)22212(cm2)答案：24如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120，可得AC2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積SBCD和點P到平面BCD的距離h.易知h2.設(shè)ADx，則DPx，DC2x，SDBC(2x)2sin 30，其中x(0，2)，且hx，所以VPBCDSBCDhhx，當(dāng)且僅當(dāng)2xx，即x
26、時取等號故四面體PBCD的體積的最大值是.答案：5已知一個幾何體的三視圖如圖所示(1)求此幾何體的表面積；(2)如果點P，Q在正視圖中所示位置，點P為所在線段中點，點Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長解：(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和S圓錐側(cè)(2a)(a)a2，S圓柱側(cè)(2a)(2a)4a2，S圓柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖則PQ a，所以從P點到Q點在側(cè)面上的最短路徑的長為a.6已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，求此三棱柱的體積的最大值解：如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長為a，則AO1aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1 ，所以V三棱柱a22，令f(a)3a4a6(0a2)，則f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因為當(dāng)a(0，)時，f(a)0；當(dāng)a(，2)時，f(a)0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減所以f(a)在a 處取得極大值因為函數(shù)f(a)在區(qū)間(0，2)上有唯一的極值點，所以a 也是最大值點所以(V三棱柱)max1.21
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 2 第2講 空間幾何體的表面積與體積教學(xué)案
