（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 2 第2講 空間幾何體的表面積與體積教學(xué)案

第2講空間幾何體的表面積與體積1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及其側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(rr)l2.空間幾何體的表面積與體積公式表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VS底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VS底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR33.幾個(gè)與球有關(guān)的切、接的常用結(jié)論(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；若球?yàn)檎襟w的外接球，則2Ra；若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2ra；若球與正方體的各棱相切，則2Ra.(2)長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.(3)正四面體的棱長(zhǎng)為a，外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r；外接球：球心是正四面體的中心；半徑Ra；內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑ra.疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和()(2)錐體的體積等于底面積與高之積()(3)球的體積之比等于半徑比的平方()(4)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差()(5)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球()(6)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2S.()答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)×(6)×教材衍化(必修2P27練習(xí)T1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為_解析：S表r2rlr2r·2r3r212，所以r24，所以r2.答案：2 cm易錯(cuò)糾偏 (1)不能把三視圖正確還原為幾何體而錯(cuò)解表面積或體積；(2)考慮不周忽視分類討論；(3)幾何體的截面性質(zhì)理解有誤；(4)混淆球的表面積公式和體積公式1已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3.解析：根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長(zhǎng)為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m故該四棱錐的體積V×2×1×32(m3)答案：22將一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)分別為4，8的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是_解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積322，故所求的表面積是3228或32232.答案：3228或322323已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為_解析：因?yàn)檫^直線O1O 2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2××()22×212.答案：124一個(gè)球的表面積是16，那么這個(gè)球的體積為_解析：設(shè)球的半徑為R，則由4R216，解得R2，所以這個(gè)球的體積為R3.答案：空間幾何體的表面積 (1)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17B18C20 D28(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A82 B112C142 D15【解析】(1)由三視圖可得此幾何體為一個(gè)球切割掉后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故×r3，所以r2，表面積S×4r2r217，選A.(2)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示直角梯形斜腰長(zhǎng)為，所以底面周長(zhǎng)為4，側(cè)面積為2×(4)82，兩底面的面積和為2××1×(12)3，所以該幾何體的表面積為823112.【答案】(1)A(2)B空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積問題注意銜接部分的處理(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用 1(2020·嘉興期中)若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比是()A43 B21C53 D32解析：選A.圓錐的側(cè)面積S側(cè)×12×，圓錐的底面半徑r2×1×÷2，圓錐的底面積S底·，圓錐的表面積側(cè)面積底面積，所以這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比為43.2(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖與側(cè)視圖為全等的矩形，俯視圖為正方形，則該幾何體的表面積為_解析：由三視圖可知，該幾何體為一長(zhǎng)方體ABCD­A1B1C1D1中挖去一個(gè)四棱錐P­ABCD，如圖所示，易得PAPB，所以SPAB×2×，所以表面積S222×3×44×284.答案：284空間幾何體的體積(高頻考點(diǎn))空間幾何體的體積是每年高考的熱點(diǎn)，多與三視圖結(jié)合考查，題型多為選擇題、填空題，難度較小主要命題角度有：(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積；(2)求組合體的體積角度一求簡(jiǎn)單幾何體的體積 (1)(2019·高考浙江卷)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A158 B162C182 D324(2)如圖，正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1­EDF的體積為_【解析】(1)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直五棱柱，所以其體積V×(4×32×36×6)×6162.故選B.(2)(等積法)三棱錐D1­EDF的體積即為三棱錐F­DD1E的體積因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD­A1B1C1D1中，EDD1的面積為定值，點(diǎn)F到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1­EDFVF­DD1E××1.【答案】(1)B(2)角度二求組合體的體積 (分割法)(1)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3(2)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為_【解析】(1)由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，故該幾何體的體積V××3××2×1×31，故選A.(2)由題意知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成，其中長(zhǎng)方體的體積V12×1×12，兩個(gè)圓柱體的體積之和V2××12×1×2，所以該幾何體的體積VV1V22.【答案】(1)A(2)2 1(2018·高考浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A2 B4C6 D8解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V×(12)×2×26.故選C.2(2020·寧波十校聯(lián)合模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為_cm3，表面積為_cm2.解析：由已知三視圖得到幾何體是一個(gè)底面直角邊分別為3，4的直角三角形，高為5的三棱柱，割去一個(gè)底面與三棱柱底面相同，高為3的三棱錐，所以該幾何體的體積為V×3×4×5××3×4×324(cm3)；表面積為S×(25)×4×(25)×3×3×45×5×52(cm2)答案：24球與空間幾何體的接、切問題 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A B.C. D.(2)(2020·溫州七校聯(lián)考)三棱錐P­ABC中，ABBC，AC6，PC平面ABC，PC2，則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B.C. D.【解析】(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r212，所以，圓柱的體積V×1.(2)由題可知，ABC中AC邊上的高為，球心O在底面ABC的投影即為ABC的外心D，設(shè)DADBDCx，所以x232(x)2，解得x，所以R2x21(其中R為三棱錐外接球的半徑)，所以外接球的表面積S4R2，故選D.【答案】(1)B(2)D (變條件)若本例(2)中的ABC變?yōu)檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形求三棱錐外接球的表面積解：由題意得，此三棱錐外接球即為以ABC為底面、以PC為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)锳BC的外接圓半徑r××1，外接球球心到ABC的外接圓圓心的距離d1，所以外接球的半徑R，所以三棱錐外接球的表面積S4R28.處理球的“切”“接”問題的求解策略(1)“切”的處理與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作(2)“接”的處理把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑 1如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A. B.C. D.解析：選C.平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r，所以Sr2×.2(2020·麗水模擬)三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16，則該三棱錐的高的最大值為()A4 B6C8 D10解析：選C.依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，ABC的外接圓半徑為r，則，解得R5，由r216，解得r4，又球心O到平面ABC的距離為3，因此三棱錐P­ABC的高的最大值為538.核心素養(yǎng)系列15直觀想象數(shù)學(xué)文化與三視圖 (2020·金華十校聯(lián)考)九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈；上棱長(zhǎng)2丈，高一丈，問它的體積是多少？”已知1丈為10尺，現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1丈，則該楔體的體積為()A5 000立方尺B5 500立方尺C6 000立方尺 D6 500立方尺【解析】該楔體的直觀圖如圖中的幾何體ABCDEF.取AB的中點(diǎn)G，CD的中點(diǎn)H，連接FG，GH，HF，則該幾何體的體積為四棱錐F­GBCH與三棱柱ADE­GHF的體積之和又可以將三棱柱ADE­GHF割補(bǔ)成高為EF，底面積為S×3×1平方丈的一個(gè)直棱柱，故該楔體的體積V×2×2×3×15立方丈5 000立方尺【答案】A求解與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的立體幾何問題應(yīng)過的三關(guān) 我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高，意思是兩等高立方體，若在每一等高處的截面積都相等，則兩立方體體積相等已知某不規(guī)則幾何體與如圖所對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為()A4 B8C8 D82解析：選C.由祖暅原理可知，該不規(guī)則幾何體的體積與已知三視圖的幾何體體積相等根據(jù)題設(shè)所給的三視圖，可知題圖中的幾何體是從一個(gè)正方體中挖去一個(gè)半圓柱，正方體的體積為238，半圓柱的體積為×(×12)×2，因此該不規(guī)則幾何體的體積為8，故選C.基礎(chǔ)題組練1(2020·嘉興期中)某球的體積與表面積的數(shù)值相等，則球的半徑是()A1B2C3 D4解析：選C.設(shè)球的半徑為r，則球的體積為r3，球的表面積為4r2.因?yàn)榍虻捏w積與其表面積的數(shù)值相等，所以r34r2，解得r3.2(2020·義烏模擬)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A124 B188C28 D208解析：選D.由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖則該幾何體的表面積為S2××2×24×2×22×4208，故選D.3(2020·浙江高校招生選考試題)如圖(1)，把棱長(zhǎng)為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如圖(2)所示幾何體，則該幾何體的體積為()A. B.C. D.解析：選B.把棱長(zhǎng)為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到幾何體的體積：VVABCD­A1B1C1D1VA­A1B1D1VB­A1B1C1VN­A1B1M1×1×1××1××1××.4(2020·金華十校聯(lián)考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為()A. B.C3 D3解析：選A.由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為，故選A.5若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A48 B48C482 D482解析：選A.該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S2×2×22×4×5×122×1248，故選A.6(2020·臺(tái)州四校高三聯(lián)考)一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，點(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)，記四面體EFMC的體積為V1，多面體ADF­BCE的體積為V2，則()A.B.C.D不是定值，隨點(diǎn)M位置的變化而變化解析：選B.由三視圖可知多面體ADF­BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角邊長(zhǎng)為a)，且四邊形DFEC與四邊形ABCD都是正方形，它們的邊長(zhǎng)均為a.因?yàn)辄c(diǎn)M是AB上的動(dòng)點(diǎn)，且易知AB平面DFEC，所以點(diǎn)M到平面DFEC的距離等于點(diǎn)B到平面DFEC的距離，為a，所以V1VE­FMCVM­EFC×a·a·a，又V2a·a·a，故，故選B.7(2020·寧波市余姚中學(xué)期中檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為_ cm3，表面積為_cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半球去掉后得到的幾何體所以該幾何體的體積××××13 cm3.表面積××4×12××12××12 cm2.答案：8(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為_，正四棱錐的體積為_解析：由正四棱錐的俯視圖，可得到正四棱錐的直觀圖如圖，則該正四棱錐的正視圖為三角形PEF(點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn))，因?yàn)檎睦忮F的所有棱長(zhǎng)均為2，所以PBPC2，EFAB2，PF，所以PO ，所以該正四棱錐的正視圖的面積為×2×；正四棱錐的體積為×2×2×.答案：9(2020·溫州市高考模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則此幾何體的體積為_，表面積為_解析：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖，底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，PE平面ABCD，且PE2，其中點(diǎn)E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EF、PA，所以幾何體的體積V×2×2×2，在PEB中，PB，同理可得PC，因?yàn)镻E平面ABCD，所以PECD，因?yàn)镃DBC，BCPEE，所以CD平面PBC，則CDPC，在PCD中，PD3，同理可得PA3，則PFAD，在PDF中，PF2，所以此幾何體的表面積S2×2×2×22××2××2×2622.答案：62210已知球O的表面積為25，長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于_解析：設(shè)球的半徑為R，則4R225，所以R，所以球的直徑為2R5，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則長(zhǎng)方體的表面積S2ab2ac2bca2b2a2c2b2c22(a2b2c2)50.答案：5011.如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，求該多面體的體積解：如圖，分別過點(diǎn)A、B作EF的垂線，垂足分別為點(diǎn)G、H，連接DG、CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，所以SAGDSBHC××1，所以該多面體的體積VVE­ADGVF­BHCVAGD­BHC×××××1.12.如圖，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面)(1)當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米)；(2)若要制作一個(gè)如圖放置的、底面半徑為0.3米的燈籠，請(qǐng)作出用于制作燈籠的三視圖(作圖時(shí)，不需考慮骨架等因素)解：(1)由題意可知矩形的高即圓柱的母線長(zhǎng)為1.22r，所以塑料片面積Sr22r(1.22r)r22.4r4r23r22.4r3(r20.8r)所以當(dāng)r0.4米時(shí)，S有最大值，約為1.51平方米(2)若燈籠底面半徑為0.3米，則高為1.22×0.30.6(米)制作燈籠的三視圖如圖綜合題組練1在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4 B.C6 D.解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個(gè)側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個(gè)球放不進(jìn)去，則球可與上下底面相切，此時(shí)球的半徑R，該球的體積最大，VmaxR3×.2(2020·瑞安市龍翔高中高三月考)如圖，已知在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA底面ABCD，AB1，PA·AC1，ABC，則四棱錐P­ABCD的體積V的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.由已知，四邊形ABCD的面積Ssin ，由余弦定理可求得AC，所以PA，所以V·，所以V··.所以當(dāng)cos 0，即時(shí)，四棱錐P­ABCD的體積V的最小值是；當(dāng)cos 1，即0時(shí)，四棱錐P­ABCD的體積V的最大值是.因?yàn)?，所以P­ABCD的體積V的取值范圍是.3(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是 cm3，則正視圖中的x的值是_cm，該幾何體的表面積是_cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積公式得，××(12)×xx2(cm)，側(cè)面ADS，CDS，ABS為直角三角形，側(cè)面BCS是以BC為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為S(12)×2×2×21×2×(cm2)答案：24如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PDDA，PBBA，則四面體PBCD的體積的最大值是_解析：由ABBC2，ABC120°，可得AC2，要求四面體PBCD的體積，關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積SBCD和點(diǎn)P到平面BCD的距離h.易知h2.設(shè)ADx，則DPx，DC2x，SDBC×(2x)×2×sin 30°，其中x(0，2)，且hx，所以VP­BCD×SBCD×h×h·x，當(dāng)且僅當(dāng)2xx，即x時(shí)取等號(hào)故四面體PBCD的體積的最大值是.答案：5已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(1)求此幾何體的表面積；(2)如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置，點(diǎn)P為所在線段中點(diǎn)，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)解：(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和S圓錐側(cè)(2a)·(a)a2，S圓柱側(cè)(2a)·(2a)4a2，S圓柱底a2，所以S表a24a2a2(5)a2.(2)沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖則PQ a，所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為a.6已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，求此三棱柱的體積的最大值解：如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長(zhǎng)為a，則AO1×aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1 ，所以V三棱柱a2×2×，令f(a)3a4a6(0a2)，則f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因?yàn)楫?dāng)a(0，)時(shí)，f(a)0；當(dāng)a(，2)時(shí)，f(a)0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減所以f(a)在a 處取得極大值因?yàn)楹瘮?shù)f(a)在區(qū)間(0，2)上有唯一的極值點(diǎn)，所以a 也是最大值點(diǎn)所以(V三棱柱)max1.21