（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 5 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 5 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 5 第5講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xk，kZ值域1，11，1R函數(shù)的最值最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ；最小值1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ；最小值1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ無最大值和最小值單調(diào)性增區(qū)間2k，2k(kZ)；減區(qū)間2k，2k(kZ)增區(qū)間2k，2k(kZ)；減區(qū)間2k，2k(kZ)增區(qū)間(k，k)(kZ)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期性周期為2k，k0，kZ，最小正周期為2周期為2k，k0，kZ，最小正周期為2周期為k，k0，kZ，最小正周期為對稱性對稱中心(k，0)，kZ，k

2、Z，kZ對稱軸xk，kZxk，kZ無對稱軸零點k，kZk，kZk，kZ2.周期函數(shù)的定義對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(xT)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期；函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的周期均為T；函數(shù)yAtan(x)的周期為T.3對稱與周期正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰的兩個對稱中心之間的距離是半個周期疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)ycos x在第一、二象限內(nèi)是減

3、函數(shù)()(2)若yksin x1，xR，則y的最大值是k1.()(3)若非零實數(shù)T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(k是非零整數(shù))也是函數(shù)f(x)的周期()(4)函數(shù)ysin x圖象的對稱軸方程為x2k(kZ)()(5)函數(shù)ytan x在整個定義域上是增函數(shù)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P46A組T2，3改編)若函數(shù)y2sin 2x1的最小正周期為T，最大值為A，則T_，A_解析：最小正周期T，最大值A(chǔ)211.答案：12(必修4P40練習(xí)T4改編)下列關(guān)于函數(shù)y4sin x，x，的單調(diào)性的敘述，正確的是_(填序號)在，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)；在上是增函數(shù)，在及上

4、是減函數(shù)；在0，上是增函數(shù)，在，0上是減函數(shù)；在及上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)解析：函數(shù)y4sin x在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增答案：3(必修4P45練習(xí)T3改編)ytan 2x的定義域是_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，所以ytan 2x的定義域是.答案：易錯糾偏(1)忽視yAsin x(或yAcos x)中A對函數(shù)單調(diào)性的影響；(2)忽視定義域的限制；(3)忽視正切函數(shù)的周期；(4)不化為同名函數(shù)以及同一單調(diào)區(qū)間導(dǎo)致比較大小出錯1函數(shù)y12cos x的單調(diào)遞減區(qū)間為_解析：函數(shù)y12cos x的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)ycos x的遞增區(qū)間答案：2k，2k(kZ)2函數(shù)f(x)3sin(2x)在

5、區(qū)間0，上的值域為_解析：當(dāng)x0，時，2x，所以sin，1， 故3sin，3，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的值域是，3答案：，33函數(shù)ytan圖象的對稱中心是_解析：由x，得x，kZ.答案：(kZ)4cos 23，sin 68，cos 97的大小關(guān)系是_解析：sin 68cos 22，又ycos x在0，180上是減函數(shù)，所以sin 68cos 23cos 97.答案：sin 68cos 23cos 97三角函數(shù)的定義域和值域 (1)函數(shù)f(x)sin2xcos x的最大值是_(2)函數(shù)ylg(2sin x1)的定義域是_【解析】(1)依題意，f(x)sin2xcos xcos2xcos x1

6、，因為x，所以cos x0，1，因此當(dāng)cos x時，f(x)max1.(2)要使函數(shù)ylg(2sin x1)有意義，則即解得2kx2k，kZ.即函數(shù)的定義域為，kZ.【答案】(1)1(2)，kZ (1)三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解(2)三角函數(shù)值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所給的三角函數(shù)式變換成yAsin(x)的形式求值域；(換元法)把sin x或cos x看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域；(換元法)利用sin xcos x和sin xcos x的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域 (2020溫州

7、市十校聯(lián)合體期初)已知函數(shù)f(x)2cos x(sin xcos x)，xR，則f_，f(x)的最大值是_解析：f(x)2cos x(sin xcos x)2cos xsin x2cos2xsin 2x1cos 2xsin1.當(dāng)x時，fsin10.由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，sin的最大值為1.所以f(x)的最大值為1.答案：01三角函數(shù)的單調(diào)性(高頻考點)三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點，題型既有選擇題也有填空題，或在解答題某一問出現(xiàn)，難度為中檔題主要命題角度有：(1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)；(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大??；(4)利用三角函數(shù)的單

8、調(diào)性求值域(或最值)角度一求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間【解】(1)由sin ，cos ，f2，得f2.(2)由cos 2xcos2xsin2x與sin 2x2sin xcos x得f(x)cos 2xsin 2x2sin.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函數(shù)的性質(zhì)得2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)角度二已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 函數(shù)f(x)sin(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則常數(shù)的值可能是()A0 B.C D.【解析】法一：結(jié)合

9、選項，當(dāng)分別取選項中的值時，A：f(x)sin x；B：f(x)cos x；C：f(x)sin x；D：f(x)cos x驗證得D選項正確法二：f(x)的遞增區(qū)間，2k2k(kZ)，k0，選項中無值符合；k1，符合；k2，選項中無值符合可知的可取值逐漸增大，故只有D選項符合題意【答案】D角度三利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小 已知函數(shù)f(x)2sin，設(shè)af，bf，cf，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aacb BcabCbac Dbca【解析】af2sin ，bf2sin 2，cf2sin 2sin ，因為ysin x在上遞增，所以cab.【答案】B (1)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法代換法：就是將

10、比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角u(或t)，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間提醒要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時的符號，若0時，由題意知，即；當(dāng)0，f(x)，f的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點對稱，則的最小值為()A. B1C. D2(3)已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)(0，00，所以當(dāng)k1時，取最小值為，故選A.(3)f(x)sin(x)cos(x)sin(x)，因為00)，yAcos(x)(0)的周期為，函數(shù)yAtan(x)(0)的周期為求解(3)解決對稱性問題的關(guān)鍵：熟練掌握三角函數(shù)的對稱軸、對稱中心

11、提醒對于函數(shù)yAsin(x)，其對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線xx0或點(x0，0)是否是函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷 1(2020舟山市普陀三中高三期中)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)為偶函數(shù)，則()A. B.C. D.解析：選C.f(x)sin(2x)cos(2x)sin，因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)f(x)sinsin0，即sinsin，所以2x2x2k，或2x2xk，即x，kZ(舍)或，kZ.因為|0)恰有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大分別為x1，x2，x3，則_解析：如圖所

12、示，易知x2，x1x32x22，則k，又直線與ysin x相切于點A(x3，sin x3)，則kcos x3，則cos x3，故答案為.答案：核心素養(yǎng)系列7數(shù)學(xué)抽象三角函數(shù)中值的求法一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解 若函數(shù)f(x)sin x(0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因為f(x)在上單調(diào)遞減，所以得6k4k3.又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)在區(qū)間上單調(diào)遞減，建立不等式，即可求的取值范圍 二、利用三角函數(shù)的對稱性求解 (1)已知函數(shù)f(x)cos(0)的一條對稱軸為x，一個對稱中心為點，則有()A最小值2B最大值2C最小值1 D最大值1(2)

13、若函數(shù)ycos(N*)圖象的一個對稱中心是，則的最小值為_【解析】(1)因為函數(shù)的中心到對稱軸的最短距離是，兩條對稱軸間的最短距離是，所以中心到對稱軸x間的距離用周期可表示為(kN，T為周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)，則2(2k1)，當(dāng)k0時，2最小故選A.(2)依題意得cos0，則k(kZ)6k2(kZ)，又N*，所以的最小值為2.【答案】(1)A(2)2三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，進而可以研究“”的取值值得一提的是，三角函數(shù)的對稱軸必經(jīng)過其圖象上

14、的最高點(極大值)或最低點(極小值)，函數(shù)f(x)Asin(x)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點，這就說明，我們也可利用三角函數(shù)的極值點(最值點)、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可以確定“”的取值 三、利用三角函數(shù)的最值求解 已知f(x)sin(x)(0)，ff()，且f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，則_【解析】因為ff，而，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，又f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，所以f(x)minfsin1，所以k，kZ，解得4k.再由f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，得，解得6，所以k0，.【答案】利用三角函數(shù)的最值與對稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于的不等式，進而求出的

15、值或取值范圍 基礎(chǔ)題組練1最小正周期為且圖象關(guān)于直線x對稱的函數(shù)是()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：選B.由函數(shù)的最小正周期為，可排除C.由函數(shù)圖象關(guān)于直線x對稱知，該直線過函數(shù)圖象的最高點或最低點，對于A，因為sinsin 0，所以選項A不正確對于D，sinsin，所以D不正確，對于B，sinsin1，所以選項B正確，故選B.2(2020合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)函數(shù)ysin(x)在x2處取得最大值，則正數(shù)的最小值為()A. B. C. D.解析：選D.由題意得，22k(kZ)，解得k(kZ)，因為0，所以當(dāng)k0時，min，故選D.3(2020浙江省名校協(xié)作體高三

16、聯(lián)考)下列四個函數(shù)：ysin|x|，ycos|x|，y|tan x|，yln|sin x|，以為周期，在上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)的是()Aysin|x| Bycos|x|Cy|tan x| Dyln|sin x|解析：選D.A.ysin|x|在上單調(diào)遞增，故A錯誤；B.ycos|x|cos x周期為T2，故B錯誤；C.y|tan x|在上單調(diào)遞增，故C錯誤；D.f(x)ln|sin(x)|ln|sin x|，周期為，當(dāng)x時，yln(sin x)是在上單調(diào)遞減的偶函數(shù)，故D正確，故選D.4設(shè)函數(shù)f(x)cos(x)，則下列結(jié)論錯誤的是()Af(x)的一個周期為2Byf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱Cf(

17、x)的一個零點為xDf(x)在(，)上單調(diào)遞減解析：選D.根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2，所以函數(shù)的一個周期為2，A正確；當(dāng)x時，x3，所以cos1，所以B正確；f(x)coscos，當(dāng)x時，x，所以f(x)0，所以C正確；函數(shù)f(x)cos在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不正確所以選D.5若函數(shù)f(x)sin(0)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有最值，則的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B.易知函數(shù)ysin x的單調(diào)區(qū)間為k，k，kZ，由kxk，kZ，得x，kZ，因為函數(shù)f(x)sin(0)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有最值，所以f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)單調(diào)，所以(，2)，kZ，所以kZ

18、，解得k，kZ，由k，得k，當(dāng)k0時，得；當(dāng)k1時，得.又0，所以0.綜上，得的取值范圍是.故選B.6已知函數(shù)f(x)sin，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)y2f(x)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B.C. D.解析：選A.由題意，得f(x)2cos，所以y2f(x)f(x)2sin2cos2sin2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以y2f(x)f(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，故選A.7函數(shù)ylg sin x 的定義域為_解析：要使函數(shù)有意義，則有即解得(kZ)，所以2kx2k，kZ.所以函數(shù)的定義域為.答案：8函數(shù)y(43sin x)(43cos x)的最小值為

19、_解析：y1612(sin xcos x)9sin xcos x，令tsin xcos x，則t，且sin xcos x，所以y1612t9(9t224t23)故當(dāng)t時，ymin.答案：9(2020溫州市高中?？?已知函數(shù)ysin x的定義域為a，b，值域為，則ba的最大值和最小值之差等于_解析：如圖，當(dāng)xa1，b時，值域為且ba最大；當(dāng)xa2，b時，值域為，且ba最小，所以最大值與最小值之差為(ba1)(ba2)a2a1.答案：10(2020杭州學(xué)軍中學(xué)質(zhì)檢)已知f(x)sin 2xcos 2x，若對任意實數(shù)x，都有|f(x)|m，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：因為f(x)sin 2xcos

20、2x2sin，x，所以，所以2sin(，1，所以|f(x)|0)，直線y與函數(shù)f(x)圖象相鄰兩交點的距離為.(1)求的值；(2)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，若點是函數(shù)yf(x)圖象的一個對稱中心，且b3，求ABC面積的最大值解：(1)函數(shù)f(x)sin2cos2x1sin xcoscos xsin21sin xcos xsin.因為f(x)的最大值為，所以f(x)的最小正周期為，所以2.(2)由(1)知f(x)sin，因為sin0B，因為cos B，所以aca2c292ac9，ac9，故SABCacsin Bac.故ABC面積的最大值為.5已知a0，函數(shù)f(x)2asi

21、n2ab，當(dāng)x時，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)因為x，所以2x.所以sin，所以2asin2a，a所以f(x)b，3ab，又因為5f(x)1，所以b5，3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，所以4sin11，所以sin，所以2k2x2k，kZ，其中當(dāng)2k2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞增，即kxk，kZ，所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又因為當(dāng)2k2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞減，即kxk，kZ.所以g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.22