（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題七 選考部分 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案 理 新人教A版

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1、第1講坐標系與參數(shù)方程做真題1(2019高考全國卷)如圖，在極坐標系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1，0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|，求P的極坐標解：(1)由題設可得，弧，所在圓的極坐標方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標方程為2cos ，M2的極坐標方程為2sin ，M3的極坐標方程為2cos .(2)設P(，)，由題設及(1)知：若0，則2cos ，解得；若，則2sin ，解得或；若，則2cos ，

2、解得.綜上，P的極坐標為或或或.2(2019高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐標方程；(2)求C上的點到l距離的最小值解：(1)因為11，且x21，所以C的直角坐標方程為x21(x1)l的直角坐標方程為2xy110.(2)由(1)可設C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)C上的點到l的距離為.當時，4cos11取得最小值7，故C上的點到l距離的最小值為.明考情1坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是

3、參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用2全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應注意轉(zhuǎn)化思想的應用極坐標方程及其應用典型例題 (2019高考全國卷)在極坐標系中，O為極點，點M(0，0)(00)在曲線C：4sin 上，直線l過點A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當0時，求0及l(fā)的極坐標方程；(2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程【解】(1)因為M(0，0)在C上，當0時，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.設Q(，)為l上除P的任意一點連接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗，點P在曲線cos2上所以，l的極坐

4、標方程為cos2.(2)設P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因為P在線段OM上，且APOM，故的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為4cos ，.(1)極坐標方程與普通方程互化的技巧巧用極坐標方程兩邊同乘以或同時平方，將極坐標方程構造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin()或cos()的結構形式，進而利用互化公式得到普通方程將直角坐標方程中的x換成cos ，將y換成sin ，即可得到其極坐標方程(2)求解與極坐標有關問題的主要方法直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結合思想配合使用轉(zhuǎn)化為直角坐標系

5、，用直角坐標求解若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標 對點訓練1(2019合肥模擬)在直角坐標系xOy中，直線l1：x0，圓C：(x1)2(y1)21，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求直線l1和圓C的極坐標方程；(2)若直線l2的極坐標方程為(R)，設l1，l2與圓C的公共點分別為A，B，求OAB的面積解：(1)因為xcos ，ysin ，所以直線l1的極坐標方程式為cos 0，即(R)，圓C的極坐標方程為22cos 2(1)sin 320.(2)設A(，1)、B(，2)，將代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.將代入22cos

6、 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面積為(1)2sin1.2(2018高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓由題設知，C1是過點B(0，2)且關于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且

7、僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與 C2沒有公共點；當k時，l2與C2沒有公共點綜上，所求C1的方程為y|x|2.參數(shù)方程及其應用典型例題 (2018高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為

8、參數(shù))(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1，2)，求l的斜率【解】(1)曲線C的直角坐標方程為1.當cos 0時，l的直角坐標方程為ytan x2tan ，當cos 0時，l的直角坐標方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.(1)有關參數(shù)方程問題的2個關鍵點參數(shù)方程化為普通方程的關鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點進

9、行轉(zhuǎn)化利用參數(shù)方程解決問題，關鍵是選準參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為t0，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|PB|t1t2|. 對點訓練1已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通

10、方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.2在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(1)求|AB|的值；(2)若F為曲線C的左焦點，求的值解：(1)由(為參數(shù))，消去參數(shù)得1.由消去參數(shù)t得y2x4.將y2x4代入x24y216中，得17x264x1760.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以|AB|

11、x1x2|，所以|AB|的值為.(2)由(1)得，F(xiàn)(2，0)，則(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)60566044，所以的值為44.極坐標方程與參數(shù)方程的綜合應用典型例題 (2019福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2，點P的極坐標為(，)(1)求C的直角坐標方程和P的直角坐標；(2)(一題多解)設l與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，求|PM|.【解】(1)由

12、2得22sin22，將2x2y2，ysin 代入并整理得，曲線C的直角坐標方程為y21.設點P的直角坐標為(x，y)，因為點P的極坐標為(，)，所以xcos cos 1，ysin sin1.所以點P的直角坐標為(1，1)(2)法一：將代入y21，并整理得41t2110t250，1102441258 0000，故可設方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對應的參數(shù)，且t1t2.依題意，點M對應的參數(shù)為，所以|PM|.法二：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0，y0.由，消去t，得yx.將yx代入y21，并整理得41x216x160，因為(16)2441(16)

13、2 8800，所以x1x2，x1x2.所以x0，y0x0，即M(，)所以|PM|.解決極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的方法(1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰(2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷(3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件 對點訓練1(2019石家莊市模擬(一)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程；(2)當0r0，結合0r2，得3r20，所以.因為3

14、r24，所以04r20，結合0r2，得3r20，t20，所以.因為3r24，所以04r20)都在曲線M上(1)求證：123；(2)若過B，C兩點的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積解：(1)證明：由題意得12cos ，22cos()，32cos()，則232cos()2cos()2cos 1.(2)由曲線M的極坐標方程得曲線M的直角坐標方程為x2y22x0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標方程得t2t0，解得t10，t2，所以在平面直角坐標中，B(，)，C(2，0)，則21，32，所以1.所以四邊形OBAC的面積SSAOBSAOC12sin13sin.1(2019東北

15、四市聯(lián)合體模擬(一)在平面直角坐標系xOy中，直線l1的傾斜角為30，且經(jīng)過點A(2，1)以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l2：cos 3.從坐標原點O作射線交l2于點M，點N為射線OM上的點，滿足|OM|ON|12，記點N的軌跡為曲線C.(1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；(2)設直線l1與曲線C交于P，Q兩點，求|AP|AQ|的值解：(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))設N(，)，M(1，1)(0，10)，則，又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲線C的直角坐標方程為x24xy20(x0)(2)設P，Q對應的參數(shù)分別為t1，

16、t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程中，得(2t)24(2t)(1t)20，即t2t30，130，t1，t2為方程的兩個根，所以t1t23，所以|AP|AQ|t1t2|3|3.2(2019四省八校雙教研聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標方程為cos()1.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)過P(0，1)的直線l交曲線C1于A，B兩點，當|PA|PB|8時，求直線l的傾斜角解：(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x24y，曲線C2的極坐標方程

17、可化為cos sin 2，化為直角坐標方程為xy20.(2)設直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù)，為直線l的傾斜角且90)，代入曲線C1的普通方程中得m2cos24msin 40，所以m1m2，所以|PA|PB|m1m2|8，得45或135，即直線l的傾斜角為45或135.3(2019廣州市綜合檢測(一)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線C2的極坐標方程為(sin acos )(aR)(1)寫出曲線C1的普通方程和直線C2的直角坐標方程；(一題多解)(2)若直線C2與曲線C1有兩個不同的交點，求a的取值范圍解：(1)曲線C

18、1的普通方程為y1x2(1x1)，把xcos ，ysin 代入(sin acos )，得直線C2的直角坐標方程為yax，即axy0.(2)法一：由直線C2axy0，知直線C2恒過點M(0，)由y1x2(1x1)，知當y0時，x1，則直線MP的斜率為k1，直線MQ的斜率為k2.因為直線C2的斜率為a，且直線C2與曲線C1有兩個不同的交點，所以k2ak1，即a.所以a的取值范圍為，法二：聯(lián)立，消去y得x2ax0，依題意，得x2ax0在1，1上有兩個不相等的實根設f(x)x2ax，則解得a.所以a的取值范圍為，4(2019湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在

19、以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：4sin()(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)設曲線C與直線l的交點為A，B，Q是曲線C上的動點，求ABQ面積的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直線l的普通方程為xy50.由4sin()4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化為直角坐標方程為x2y24x4y，所以曲線C的直角坐標方程為(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲線C是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓，直線l過點P(3，2)，可知點P在圓內(nèi)將直線l的參數(shù)方程化為，代入圓的直角坐標方程，得t29t330.設A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2

20、，則t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圓心(2，2)到直線l的距離d，所以ABQ面積的最大值為(2).5(2019濟南市學習質(zhì)量評估)在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為cos2sin ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，其中a0)，直線l與曲線C相交于M，N兩點(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)若點P(0，a)滿足4，求a的值解：(1)曲線C的極坐標方程可化為2cos2sin ，由，得曲線C的直角坐標方程為yx2.(2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入yx2，得t2a0，3a0.設M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2

21、，則t1t2，t1t2，所以4，化簡得64a212a10，解得a或a(舍去)，所以a.6(2019廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(為參數(shù)，實數(shù)a0)，曲線C2：(為參數(shù)，實數(shù)b0)在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：(0，0)與C1交于O，A兩點，與C2交于O，B兩點，當0時，|OA|1；當時，|OB|2.(1)求a，b的值；(2)求2|OA|2|OA|OB|的最大值解：(1)將C1的參數(shù)方程化為普通方程為(xa)2y2a2，其極坐標方程為12acos ，由題意可得，當0時，|OA|2a1，所以a.將C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2(yb)2b2

22、，其極坐標方程為22bsin ，由題意可得，當時，|OB|2b2，所以b1.(2)由(1)可得C1，C2的方程分別為1cos ，22sin ，所以2|OA|2|OA|OB|2cos22sin cos sin 2cos 21sin(2)1.因為，0，所以0，所以2，所以當2，即時，sin(2)1取得最大值，為1.7(2019合肥市第一次質(zhì)量檢測)已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C的極坐標方程；(2)P，Q為曲線C上兩點，若0，求的值解：(1)由，得曲線C的普通方程是y21，將xcos ，ysin 代入，得52sin222

23、cos25，即2(2也可得分)(2)因為2，所以sin2，由0，得OPOQ，設點P的極坐標為(1，)，則點Q的極坐標可設為(2，)，所以.8(2019鄭州市第二次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2cos232sin212，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于M，N兩點(1)若點P的極坐標為(2，)，求|PM|PN|的值；(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值解：(1)由2cos232sin212得x23y212，故曲線C的直角坐標方程為1，點P的直角坐標為(2，0)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程1中，得t2t40，設點M，N對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|PM|PN|t1t2|4.(2)由(1)知，曲線C的直角坐標方程為1，可設曲線C上的動點A(2cos ，2sin )，0，則以A為頂點的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos 2sin )16sin()，0.因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16，當且僅當時取得最大值- 15 -