（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 選考部分 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 理 新人教A版

第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程做真題1(2019·高考全國卷)如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，)，弧，所在圓的圓心分別是(1，0)，(1，)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧.(1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程；(2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|，求P的極坐標(biāo)解：(1)由題設(shè)可得，弧，所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2cos ，2sin ，2cos .所以M1的極坐標(biāo)方程為2cos ，M2的極坐標(biāo)方程為2sin ，M3的極坐標(biāo)方程為2cos .(2)設(shè)P(，)，由題設(shè)及(1)知：若0，則2cos ，解得；若，則2sin ，解得或；若，則2cos ，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.2(2019·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值解：(1)因?yàn)?1，且x21，所以C的直角坐標(biāo)方程為x21(x1)l的直角坐標(biāo)方程為2xy110.(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，)C上的點(diǎn)到l的距離為.當(dāng)時，4cos11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為.明考情1坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用2全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用典型例題 (2019·高考全國卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin 上，直線l過點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)0時，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動且P在線段OM上時，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程【解】(1)因?yàn)镸(0，0)在C上，當(dāng)0時，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.設(shè)Q(，)為l上除P的任意一點(diǎn)連接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線cos2上所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因?yàn)镻在線段OM上，且APOM，故的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos ，.(1)極坐標(biāo)方程與普通方程互化的技巧巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以或同時平方，將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin(±)或cos(±)的結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)而利用互化公式得到普通方程將直角坐標(biāo)方程中的x換成cos ，將y換成sin ，即可得到其極坐標(biāo)方程(2)求解與極坐標(biāo)有關(guān)問題的主要方法直接利用極坐標(biāo)系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系，用直角坐標(biāo)求解若結(jié)果要求的是極坐標(biāo)，還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo) 對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·合肥模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：x0，圓C：(x1)2(y1)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線l1和圓C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l2的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)l1，l2與圓C的公共點(diǎn)分別為A，B，求OAB的面積解：(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以直線l1的極坐標(biāo)方程式為cos 0，即(R)，圓C的極坐標(biāo)方程為22cos 2(1)sin 320.(2)設(shè)A(，1)、B(，2)，將代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得11.將代入22cos 2(1)sin 320，得22(1)320，解得21.故OAB的面積為×(1)2×sin1.2(2018·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1，0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0，2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個公共點(diǎn)且l2與C2有兩個公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個公共點(diǎn)且l1與C2有兩個公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時，l1與C2只有一個公共點(diǎn)，l2與C2有兩個公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個公共點(diǎn)時，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時，l1與 C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時，l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.參數(shù)方程及其應(yīng)用典型例題 (2018·高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率【解】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos 0時，l的直角坐標(biāo)方程為ytan ·x2tan ，當(dāng)cos 0時，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1，2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.(1)有關(guān)參數(shù)方程問題的2個關(guān)鍵點(diǎn)參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化利用參數(shù)方程解決問題，關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù)，理解參數(shù)的幾何意義(2)利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|·|PB|t1·t2|. 對點(diǎn)訓(xùn)練1已知曲線C：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值解：(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|PA|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當(dāng)sin()1時，|PA|取得最大值，最大值為.當(dāng)sin()1時，|PA|取得最小值，最小值為.2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求|AB|的值；(2)若F為曲線C的左焦點(diǎn)，求·的值解：(1)由(為參數(shù))，消去參數(shù)得1.由消去參數(shù)t得y2x4.將y2x4代入x24y216中，得17x264x1760.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以|AB|x1x2|×，所以|AB|的值為.(2)由(1)得，F(xiàn)(2，0)，則·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)605×6×6044，所以·的值為44.極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典型例題 (2019·福建省質(zhì)量檢查)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)(1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)；(2)(一題多解)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|PM|.【解】(1)由2得22sin22，將2x2y2，ysin 代入并整理得，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y21.設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為(，)，所以xcos cos 1，ysin sin1.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，1)(2)法一：將代入y21，并整理得41t2110t250，11024×41×258 000>0，故可設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1，t2為A，B對應(yīng)的參數(shù)，且t1t2.依題意，點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為，所以|PM|.法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則x0，y0.由，消去t，得yx.將yx代入y21，并整理得41x216x160，因?yàn)?16)24×41×(16)2 880>0，所以x1x2，x1x2.所以x0，y0x0×，即M(，)所以|PM|.解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問題的方法(1)對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰(2)對于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計(jì)算會比較簡捷(3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件 對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019·石家莊市模擬(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)0<r<2時，若曲線C與射線l交于A，B兩點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)由題意知曲線C的普通方程為(x2)2y2r2，令xcos ，ysin ，化簡得24cos 4r20.(2)法一：把代入曲線C的極坐標(biāo)方程中，得224r20.令44(4r2)>0，結(jié)合0<r<2，得3<r2<4.方程的解1，2分別為點(diǎn)A，B的極徑，122，124r2>0，所以.因?yàn)?<r2<4，所以0<4r2<1，所以(2，)法二：射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，將其代入曲線C的方程(x2)2y2r2中得，t22t4r20，令44(4r2)>0，結(jié)合0<r<2，得3<r2<4，方程的解t1，t2分別為點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)，t1t22，t1t24r2，t1>0，t2>0，所以.因?yàn)?<r2<4，所以0<4r2<1，所以(2，)2(2019·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為2cos ，若極坐標(biāo)系內(nèi)異于O的三點(diǎn)A(1，)，B(2，)，C(3，)(1，2，3>0)都在曲線M上(1)求證：123；(2)若過B，C兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，求四邊形OBAC的面積解：(1)證明：由題意得12cos ，22cos()，32cos()，則232cos()2cos()2cos 1.(2)由曲線M的極坐標(biāo)方程得曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0，將直線BC的參數(shù)方程代入曲線M的直角坐標(biāo)方程得t2t0，解得t10，t2，所以在平面直角坐標(biāo)中，B(，)，C(2，0)，則21，32，所以1.所以四邊形OBAC的面積SSAOBSAOC12sin13sin.1(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的傾斜角為30°，且經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l2：cos 3.從坐標(biāo)原點(diǎn)O作射線交l2于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿足|OM|·|ON|12，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(1)寫出直線l1的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l1與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求|AP|·|AQ|的值解：(1)直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))設(shè)N(，)，M(1，1)(>0，1>0)，則，又1cos 13，所以12，即4cos ，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24xy20(x0)(2)設(shè)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，將直線l1的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中，得(2t)24(2t)(1t)20，即t2t30，13>0，t1，t2為方程的兩個根，所以t1t23，所以|AP|AQ|t1t2|3|3.2(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并取相同的單位長度，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos()1.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)過P(0，1)的直線l交曲線C1于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|PA|·|PB|8時，求直線l的傾斜角解：(1)消去參數(shù)t得曲線C1的普通方程為x24y，曲線C2的極坐標(biāo)方程可化為cos sin 2，化為直角坐標(biāo)方程為xy20.(2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù)，為直線l的傾斜角且90°)，代入曲線C1的普通方程中得m2cos24msin 40，所以m1m2，所以|PA|·|PB|m1m2|8，得45°或135°，即直線l的傾斜角為45°或135°.3(2019·廣州市綜合檢測(一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為(sin acos )(aR)(1)寫出曲線C1的普通方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程；(一題多解)(2)若直線C2與曲線C1有兩個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍解：(1)曲線C1的普通方程為y1x2(1x1)，把xcos ，ysin 代入(sin acos )，得直線C2的直角坐標(biāo)方程為yax，即axy0.(2)法一：由直線C2axy0，知直線C2恒過點(diǎn)M(0，)由y1x2(1x1)，知當(dāng)y0時，x±1，則直線MP的斜率為k1，直線MQ的斜率為k2.因?yàn)橹本€C2的斜率為a，且直線C2與曲線C1有兩個不同的交點(diǎn)，所以k2ak1，即a.所以a的取值范圍為，法二：聯(lián)立，消去y得x2ax0，依題意，得x2ax0在1，1上有兩個不相等的實(shí)根設(shè)f(x)x2ax，則解得a.所以a的取值范圍為，4(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：4sin()(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)曲線C與直線l的交點(diǎn)為A，B，Q是曲線C上的動點(diǎn)，求ABQ面積的最大值解：(1)由消去t得xy50，所以直線l的普通方程為xy50.由4sin()4sin 4cos ，得24sin 4cos ，化為直角坐標(biāo)方程為x2y24x4y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x2)2(y2)28.(2)由(1)知，曲線C是以(2，2)為圓心，2為半徑的圓，直線l過點(diǎn)P(3，2)，可知點(diǎn)P在圓內(nèi)將直線l的參數(shù)方程化為，代入圓的直角坐標(biāo)方程，得t29t330.設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t29，t1t233，所以|AB|t2t1|.又圓心(2，2)到直線l的距離d，所以ABQ面積的最大值為××(2).5(2019·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos2sin ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，其中a>0)，直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)P(0，a)滿足4，求a的值解：(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為2cos2sin ，由，得曲線C的直角坐標(biāo)方程為yx2.(2)將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入yx2，得t2a0，3a>0.設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1t2，所以4，化簡得64a212a10，解得a或a(舍去)，所以a.6(2019·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù)，實(shí)數(shù)a>0)，曲線C2：(為參數(shù)，實(shí)數(shù)b>0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：(0，0)與C1交于O，A兩點(diǎn)，與C2交于O，B兩點(diǎn)，當(dāng)0時，|OA|1；當(dāng)時，|OB|2.(1)求a，b的值；(2)求2|OA|2|OA|·|OB|的最大值解：(1)將C1的參數(shù)方程化為普通方程為(xa)2y2a2，其極坐標(biāo)方程為12acos ，由題意可得，當(dāng)0時，|OA|2a1，所以a.將C2的參數(shù)方程化為普通方程為x2(yb)2b2，其極坐標(biāo)方程為22bsin ，由題意可得，當(dāng)時，|OB|2b2，所以b1.(2)由(1)可得C1，C2的方程分別為1cos ，22sin ，所以2|OA|2|OA|·|OB|2cos22sin cos sin 2cos 21sin(2)1.因?yàn)椋?，所以0，所以2，所以當(dāng)2，即時，sin(2)1取得最大值，為1.7(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)P，Q為曲線C上兩點(diǎn)，若·0，求的值解：(1)由，得曲線C的普通方程是y21，將xcos ，ysin 代入，得52sin222cos25，即2(2也可得分)(2)因?yàn)?，所以sin2，由·0，得OPOQ，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)Q的極坐標(biāo)可設(shè)為(2，±)，所以.8(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos232sin212，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)(1)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(2，)，求|PM|·|PN|的值；(2)求曲線C的內(nèi)接矩形周長的最大值解：(1)由2cos232sin212得x23y212，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為1，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，0)，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程1中，得t2t40，設(shè)點(diǎn)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PM|·|PN|t1t2|4.(2)由(1)知，曲線C的直角坐標(biāo)方程為1，可設(shè)曲線C上的動點(diǎn)A(2cos ，2sin )，0<<，則以A為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的周長為4(2cos 2sin )16sin()，0<<.因此該內(nèi)接矩形周長的最大值為16，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值- 15 -