37、依題意得，當n≥2時，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝＝×n－1，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項和等于＝<，因此實數(shù)t的取值范圍是.
3．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________.
解析：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
依題意有解得
所以Sn＝，＝＝2，
因此＝2＝.
答案：
4．(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，當n≥2時，有bn＝bn－1＋an－1，則b2 018＝________.
38、解析：由bn＝bn－1＋an－1，得bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，∵b1＝0，∴bn＝，∴b2 018＝.
答案：
5．(2017·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{an}為，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，則ak＝________.
解析：因為＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝，所以數(shù)列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首項為，公差為的等差數(shù)列，所
39、以該數(shù)列的前n項和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7(n＝－8舍去)，所以ak＝.
答案：
6．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.設cn＝＋，則數(shù)列{cn}的前2 018項和為________．
解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以數(shù)列{an＋bn}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即an＋bn＝2n，將an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘并化簡，得an＋1bn＋1＝2anbn，即＝2.所以數(shù)列{anbn}是首項為1，
40、公比為2的等比數(shù)列，所以anbn＝2n－1，因為cn＝＋，所以cn＝＝＝2，數(shù)列{cn}的前2 018項和為2×2 018＝4 036.
答案：4 036
第二講 大題考法——數(shù) 列
題型(一)
主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式及前n項和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題.
等差、等比數(shù)列基本量的計算
[典例感悟]
[典例1] (2017·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝2，a4＝8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足b2＝4，b5＝32.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項和Sn.
[解] (1)設等差數(shù)列{
41、an}的公差為d，由題意得d＝＝2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
設等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意得q3＝＝8，解得q＝2.
因為b1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n.
(2)因為an＝2n，bn＝2n，所以an＋bn＝2n＋2n，所以Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2.
[備課札記]
42、
[方法技巧]
等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略
(1)分析已知條件和求解目標，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題．如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序．
(2)注意細節(jié)．例如：在等
43、差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項問題中，第一項和后面的項能否用同一個公式表示等．
[演練沖關(guān)]
1．(2017·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
解：(1)令n＝1得2a1a2＝4a1－3，又a1＝1，∴a2＝.
由題可得，2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
∵an≠0，∴a
44、n＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時，an＝n.
數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時，an＝n－.
綜上所述，an＝
題型(二)
主要考查錯位相減法求和、裂項相消法求和以及分組求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題.
數(shù) 列 求 和 問 題
[典例感悟]
[典例2] 等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a
45、5－2b2＝a3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)令cn＝設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
[解] (1)設數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q，
則由得
解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)，
則cn＝
即cn＝
所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n)
＝＋＋…＋＋(2＋23＋…＋22n－1)
＝1－＋＝＋(4n－1)．
[備課札記]
46、
[方法技巧]
1．分組求和中分組的策略
(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組．
(2)根據(jù)正號、負號分組．
2．裂項相消的規(guī)律
(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差．
(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多．
3．錯
47、位相減法的關(guān)注點
(1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應項相乘({an·bn})型數(shù)列求和．
(2)步驟：
①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比；
②將兩個和式錯位相減；
③整理結(jié)果形式．
[演練沖關(guān)]
2．(2017·合肥質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2an＋an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)∵{an}為等差數(shù)列，
∴解得
∴an＝2n＋1.
(2)∵bn＝2an＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)，
∴Tn＝2×(4＋42＋
48、…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)
＝2×＋
＝(4n－1)＋n2＋2n.
3．(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和(n∈N*)．
解：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.
又因為q＞0，解得q＝2.
所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a
49、1，可得3d－a1＝8.①
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.②
由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n.
(2)設數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為Tn，
由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，
得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，
故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，
上述兩式相減，得
－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n
50、－1)×4n＋1
＝－4－(3n－1)×4n＋1
＝－(3n－2)×4n＋1－8.
故Tn＝×4n＋1＋.
所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項和為×4n＋1＋.
題型(三)
主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項及等比中項，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題.
等差、等比數(shù)列的判定與證明
[典例感悟]
[典例3] (2017·成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4.
(1)證明數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.
[解] (1)證明：∵an＋1＝2an＋4，
∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)
51、，
∴＝2，
∵a1＝－2，∴a1＋4＝2.
∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)，可知an＋4＝2n，
∴an＝2n－4.
當n＝1時，a1＝－2<0，
∴S1＝|a1|＝2；
當n≥2時，an≥0.
∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2.
又當n＝1時，也滿足上式．
∴數(shù)列{|an|}的前n項和Sn＝2n＋1－4n＋2.
[備課札記]
52、
[方法技巧]
判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法
(1)定義法：對于n≥
53、1的任意自然數(shù)，驗證an＋1－an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)．
(2)中項公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列；
②若a＝an－1·an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，則{an}為等比數(shù)列．
[演練沖關(guān)]
4．(2018屆高三·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝.
(1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
解：(1)證明：記bn＝－1，則＝＝＝＝＝，
又b1＝－1＝－1＝，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．
所以－1＝×n－1，即an＝.
所以數(shù)列
54、{an}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知，＝×n－1＋1.
所以數(shù)列的前n項和Tn＝＋n＝＋n.
5．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列．
解：(1)設{an}的公比為q.
由題設可得
解得
故{an}的通項公式為an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝
＝－＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1
＝－＋(－1)n
＝2＝2Sn，
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列．
[解題通法點撥] 數(shù)列
55、問題重在“歸”——化歸、歸納
[循流程思維——入題快]
等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點與落腳點．首項與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個數(shù)列的問題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的．這種化歸為基本量處理的方法，是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的特殊的情景出發(fā)，從中歸納出一般性的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明．由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題
56、目特點，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決．
[按流程解題——快又準]
[典例] (2015·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和．
[解題示范]
(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a
＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由an>0，得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，
解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以
57、{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝
＝.
設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋
＋…＋－
＝.
[思維升華] 對于數(shù)列的備考：一是準確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問題的基礎；二是重視等差與等比數(shù)列的復習，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識的復習和解題過程中體會其中所蘊含的數(shù)學思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等．
[應用體驗]
(2017·濟南
58、模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)．
(1)求證：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝|log2(an＋1)|，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)證明：當n≥2時，由4an＝an－1－3得an＋1＝(an－1＋1)，
所以數(shù)列{an＋1}是以512為首項，為公比的等比數(shù)列．
所以an＋1＝512×n－1＝211－2n，an＝211－2n－1.
(2)bn＝|11－2n|，設數(shù)列{11－2n}的前n項和為Tn，則Tn＝10n－n2.
當n≤5時，Sn＝Tn＝10n－n2；當n≥6時，Sn＝2S5－Tn＝
59、n2－10n＋50.
所以Sn＝
[課時跟蹤檢測]
1．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項和Tn.
解：(1)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
當n＝1時，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1，
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，
則bn＋
60、1－bn＝－＝，
又b1＝log4a1＋1＝1，
∴數(shù)列{bn}是首項為1，公差d＝的等差數(shù)列，
∴Tn＝nb1＋d＝.
2．(2017·福州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n.
解：(1)依題意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0.
因為a2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1，
所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)，
所以an＝2n－1.
(2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n
＝(2×1－1)＋(2×3－1)
61、＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1)
＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1)
＝2×－(n＋1)
＝3n＋1－n－2.
3．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)∵Sn＝2an－a1，①
∴當n≥2時，Sn－1＝2an－1－a1；②
①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1.
由a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，得2(a2＋1)＝a1＋a3，
∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得
62、a1＝2.
∴數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴an＝2n.
(2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2.
∴bn＝＝＝－.
∴數(shù)列{bn}的前n項和
Tn＝＋＋…＋＝＝.
4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式與數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)令cn＝＋，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1，
由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4，
兩式相減并化簡得an＋1＝an，
63、
∴an＝n－1，
bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n.
(2)由題意知，cn＝＋.
令Hn＝＋＋＋…＋， ①
則Hn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－.
∴Hn＝2－.
又Tn－Hn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－＋.
5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋n＋1.
(1)是否存在實數(shù)p，q，使{an＋pn＋q}成等比數(shù)列？若存在，求出p，q的值；若不存在，請說明理由；
(2)令bn＝an＋2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
解：(1)假設存在實數(shù)p，q，使數(shù)列{an＋
64、pn＋q}為等比數(shù)列，且其公比為A，則由題意得，an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，即an＋1＝Aan＋(Ap－p)n＋Aq－q－p，又an＋1＝2an＋n＋1，
∴即
∴an＋1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋2)，
當n＝1時，a1＋1＋2＝4，∴存在實數(shù)p＝1，q＝2，使數(shù)列{an＋pn＋q}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)可知an＋n＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－n－2，n∈N*.
∴bn＝an＋2＝2n＋1－n，
∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n)
＝2n＋2－4－
＝2n＋2－.
第三講
65、創(chuàng)新考法與思想方法
[常見創(chuàng)新考法]
創(chuàng)新點(一) 創(chuàng)新命題情景考應用能力
[典例1] 如果一個數(shù)列的每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝3，公和為4，那么數(shù)列{an}的前25項和S25的值為________．
[解析] 由題意知，an＋an＋1＝4，且a1＝3，所以a1＋a2＝4，得a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，a24＝1，a25＝3，即數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列
66、，所以S25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝12×4＋3＝51.
[答案] 51
[點評] 本題通過新定義“等和數(shù)列”考查了學生利用歸納推理解決新問題的能力．本題的實質(zhì)是考查與周期有關(guān)的數(shù)列求和問題．
[演練沖關(guān)]
1．根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預測某種家用商品從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是( )
A．5,6月 B．6,7月
C．7,8月 D．8,9月
解析：選C 當n＝1時，a1＝S1＝不滿足題意；當n≥2時，第n個月的需求量an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋15n－9)，解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6
（通用版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題二 數(shù)列教學案 理
