(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列通項(xiàng)與求和學(xué)案 理 新人教A版

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1、第2講數(shù)列通項(xiàng)與求和做真題題型一an與Sn關(guān)系的應(yīng)用1(2018高考全國卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1,則S6_解析:法一:因?yàn)镾n2an1,所以當(dāng)n1時,a12a11,解得a11;當(dāng)n2時,a1a22a21,解得a22;當(dāng)n3時,a1a2a32a31,解得a34;當(dāng)n4時,a1a2a3a42a41,解得a48;當(dāng)n5時,a1a2a3a4a52a51,解得a516;當(dāng)n6時,a1a2a3a4a5a62a61,解得a632;所以S61248163263.法二:因?yàn)镾n2an1,所以當(dāng)n1時,a12a11,解得a11,當(dāng)n2時,anSnSn12an1(2an11),所以an2an1,

2、所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以an2n1,所以S663.答案:632(2015高考全國卷)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a11,an1SnSn1,則Sn_解析:因?yàn)?an1Sn1Sn,an1SnSn1,所以Sn1SnSnSn1.因?yàn)?Sn0,所以1,即1.又1,所以是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列所以1(n1)(1)n,所以Sn.答案:題型二數(shù)列求和1(2017高考全國卷)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a33,S410,則_解析:設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公差為d,依題意,即解得所以Sn,因此2.答案:2(2018高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知a17,S3

3、15.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值解:(1)設(shè)an的公差為d,由題意得3a13d15.由a17得d2.所以an的通項(xiàng)公式為an2n9.(2)由(1)得Snn28n(n4)216.所以當(dāng)n4時,Sn取得最小值,最小值為16.3(2016高考全國卷)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且a11,S728.記bnlg an,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.90,lg 991.(1)求b1,b11,b101;(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和解:(1)設(shè)an的公差為d,據(jù)已知有721d28,解得d1.所以an的通項(xiàng)公式為ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg

4、1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和為1902900311 893.明考情1已知數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,主要考查利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式、累加法、累乘法及構(gòu)造法求通項(xiàng)公式,主要以選擇題、填空題的形式考查,有時作為解答題的第(1)問考查,難度中等2數(shù)列求和常與數(shù)列綜合應(yīng)用一起考查,常以解答題的形式考查,有時與函數(shù)不等式綜合在一起考查,難度中等偏上Sn,an關(guān)系的應(yīng)用典型例題 (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若3Sn2an3n,則a2 019()A22 0191B32 0196C D(2)(2019東北四市聯(lián)合體模擬(一)已知數(shù)列an中,a12,an1(nN*),則_(

5、3)(一題多解)(2019武漢市調(diào)研測試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn3Sn12n3(n2),a11,則a4_【解析】(1)因?yàn)閍1S1,所以3a13S12a13a13.當(dāng)n2時,3Sn2an3n,3Sn12an13(n1),所以an2an13,即an12(an11),所以數(shù)列an1是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列所以an1(2)(2)n1(2)n,則a2 01922 0191.(2)由題意可知nan12anan1(n1)an,兩邊同除以anan1,得2,又,所以是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以nn(n1)2n2n.(3)法一:由Sn3Sn12n3(n2)可得S23S113a11,即

6、a22a111.根據(jù)Sn3Sn12n3(n2),知Sn13Sn2n13,可得,an13an2n(n2)兩邊同時除以2n1可得(n2),令bn,可得bn1bn(n2)所以bn11(bn1)(n2),數(shù)列bn1是以b21為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列所以bn1(n2),所以bn1(n2)*又b1也滿足*式,所以bn1(nN*),又bn,所以an2nbn,即an3n12n.所以a4332411.法二:由Sn3Sn12n3(n2),a11,知S23S143,所以a21.S33S283,所以a31.S43S3163,所以a411.【答案】(1)A(2)n2n(3)11(1)給出Sn與an的遞推關(guān)系求an的常用

7、思路:一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項(xiàng)公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an.(2)形如an1panq(p1,q0),可構(gòu)造一個新的等比數(shù)列 對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019武昌區(qū)調(diào)研考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn21,則a1a3a5a7a9()A40B44C45 D49解析:選B法一:因?yàn)镾nn21,所以當(dāng)n2時,anSnSn1n21(n1)212n1,又a1S10,所以an,所以a1a3a5a7a9059131744.故選B法二:因?yàn)镾nn21,所以當(dāng)n2時,anSnSn1n21(n1)212n1,又a1S10,所以an,所以an從第二項(xiàng)起

8、是等差數(shù)列,a23,公差d2,所以a1a3a5a7a904a64(261)44,故選B2(2019福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,且Snan1(為常數(shù)),若數(shù)列bn滿足anbnn29n20,且bn1bn,則滿足條件的n的取值集合為_解析:因?yàn)閍11,且Snan1(為常數(shù)),所以a111,解得2,所以Sn2an1,所以Sn12an11(n2),所以an2an1,所以an2n1.因?yàn)閍nbnn29n20,所以bn,所以bn1bn0,解得4n7,又因?yàn)閚N*,所以n5或n6.即滿足條件的n的取值集合為5,6答案:5,6數(shù)列求和問題典型例題命題角度一公式法求和 已知數(shù)列an滿足a

9、11,an1,nN*.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè)T2n,求T2n.【解】(1)證明:由an1,得,所以.又a11,則1,所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列(2)設(shè)bn,由(1)得,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,即bn,所以bn1bn.又b1,所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以T2nb1b2bnn(2n23n)求解此類題需過“三關(guān)”:第一關(guān),定義關(guān),即會利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義,判斷所給的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列;第二關(guān),應(yīng)用關(guān),即會應(yīng)用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求解,需掌握等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式:Sn或Snna1d;等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式:Sn;第三關(guān),

10、運(yùn)算關(guān),認(rèn)真運(yùn)算,此類題將迎刃而解 命題角度二裂項(xiàng)相消法求和 (2019廣東省七校聯(lián)考)已知數(shù)列an為公差不為0的等差數(shù)列,a15,且a2,a9,a30成等比數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn1bnan(nN*),且b13,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),依題意得(a1d)(a129d)(a18d)2.又a15,所以d2,所以an2n3.(2)依題意得bn1bn2n3(nN*),所以bnbn12n1(n2且nN*),所以bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n1)53n22n(n2且nN*),b13,上式也成立,所

11、以bnn(n2)(nN*),所以.所以Tn.(1)裂項(xiàng)相消法求和就是將數(shù)列中的每一項(xiàng)裂成兩項(xiàng)或多項(xiàng),使這些裂開的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消,要注意消去了哪些項(xiàng),保留了哪些項(xiàng)(2)消項(xiàng)規(guī)律:消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng),后邊就剩幾項(xiàng),前邊剩第幾項(xiàng),后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)提醒常見的裂項(xiàng)式有:,等 命題角度三錯位相減法求和 (2019唐山模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn.(1)求an;(2)若bn(n1)an,且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.【解】(1)由已知可得,2Sn3an1,所以2Sn13an11(n2),得,2(SnSn1)3an3an1,化簡得an3an1(n2),在中,令n1可得,a11,所以數(shù)

12、列an是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,從而有an3n1.(2)bn(n1)3n1,Tn030131232(n1)3n1,則3Tn031132233(n1)3n.得,2Tn3132333n1(n1)3n(n1)3n.所以Tn.(1)求解此類題需掌握三個技巧:一是巧分拆,即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的和,并求出等比數(shù)列的公比;二是構(gòu)差式,求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式,然后乘以等比數(shù)列的公比,兩式作差;三是得結(jié)論,即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和(2)運(yùn)用錯位相減法求和時應(yīng)注意三點(diǎn):一是判斷模型,即判斷數(shù)列an,bn一個為等差數(shù)列,一個為等比數(shù)列;二是錯開位置;三是相減時一定要注意最后一項(xiàng)的符

13、號,學(xué)生常在此步出錯,一定要小心 命題角度四分組轉(zhuǎn)化求和 (2019河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an為等比數(shù)列,首項(xiàng)a14,數(shù)列bn滿足bnlog2an,且b1b2b312.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令cnan,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.【解】(1)由bnlog2an和b1b2b312得log2(a1a2a3)12,所以a1a2a3212.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q.因?yàn)閍14,所以a1a2a344q4q226q3212,計算得q4.所以an44n14n.(2)由(1)得bnlog24n2n,cn4n4n4n.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為An,則An1,設(shè)數(shù)列4n的前n項(xiàng)和為Bn,則Bn(4n1

14、),所以Sn(4n1)(1)在處理一般數(shù)列求和時,一定要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和在利用分組求和法求和時,常常根據(jù)需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個表達(dá)式(2)分組求和的策略:根據(jù)等差、等比數(shù)列分組根據(jù)正號、負(fù)號分組 命題角度五并項(xiàng)求和 數(shù)列an滿足an1an2n,nN*,則數(shù)列an的前100項(xiàng)和為()A5 050B5 100C9 800 D9 850【解析】設(shè)kN*,當(dāng)n2k時,a2k1a2k4k,即a2k1a2k4k,當(dāng)n2k1時,a2ka2k14k2,聯(lián)立可得,a2k1a2k12,所以數(shù)列an的前100項(xiàng)和Sna1a2a3a4a99a1

15、00(a1a3a99)(a2a4a100)(a1a3a99)(a34)(a542)(a743)(a101450)252(a3a5a101)4(12350)25225245 100.故選B【答案】B(1)將一個數(shù)列分成若干段,然后各段分別利用等差(比)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及錯位相減法進(jìn)行求和利用并項(xiàng)求和法求解問題的常見類型:一是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有絕對值符號;二是數(shù)列的通項(xiàng)公式中含有符號因子“(1)n”(2)運(yùn)用分類討論法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的突破口:一是對分類討論的“度”的把控,如本題,因?yàn)榭梢缘扔?,也可以等于0,因此分類的“度”可定位到“n分為奇數(shù)與偶數(shù)”,有些含絕對值的數(shù)列,其分類的“度”需

16、在零點(diǎn)處下功夫;二是對各類分法做到不重不漏,解題的思路就能順暢 對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019唐山市摸底考試)已知數(shù)列an是公差不為0的等差數(shù)列,a43,a2,a3,a5成等比數(shù)列(1)求an;(2)設(shè)bnn2an,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d(d0),則ana1(n1)d.因?yàn)閍2,a3,a5成等比數(shù)列,所以(a12d)2(a1d)(a14d),化簡得,a1d0,又d0,所以a10.又a4a13d3,所以d1.所以ann1.(2)bnn2n1,Tn120221322n2n1,則2Tn121222323n2n.得,Tn121222n1n2nn2n(1n)2n1.所以T

17、n(n1)2n1.2(2019安徽省考試試題)已知等差數(shù)列an中,a5a34,前n項(xiàng)和為Sn,且S2,S31,S4成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bn(1)n,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由a5a34,得2d4,d2.所以S22a12,S313a15,S44a112,又S2,S31,S4成等比數(shù)列,所以(3a15)2(2a12)(4a112),解得a11,所以an2n1.(2)bn(1)n(1)n,當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn1.當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn1.所以Tn.數(shù)列與不等式的綜合問題典型例題(2019江西七校第一次聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足:a11,3a2a11

18、,且(n2)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,且b1,4bnan1an(n2),證明:Tn1.【解】(1)因?yàn)?n2),所以(n2)又a11,3a2a11,所以1,所以,所以是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列所以1(n1)(n1),即an.(2)證明:因?yàn)?bnan1an(n2),所以bn(n2),所以Tnb1b2bn11.解決與數(shù)列求和有關(guān)的不等式問題的常用方法“放縮法”(1)如果和式能夠求出,則求出結(jié)果后進(jìn)行放縮,本例就是這種類型(2)如果和式不能求出,則需要把數(shù)列的通項(xiàng)放縮成能夠求和的形式,求和后再進(jìn)行放縮,但要注意放縮的“尺度”和“位置” 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019四省八

19、校雙教研聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,an1,a11且nN*.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)anbn,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn(nN*)解:(1)由an1,得(2n1)an14Sn1,可得(2n3)an4Sn11(n2),兩式相減得(2n1)an(2n1)an1,即(n2),又由an1,a11,得a23,所以,所以為常數(shù)列,所以1,即an2n1.(2)證明:由an2n1,得Snn2,所以bn.當(dāng)n1時,T11成立;當(dāng)n2時,bn,所以Tn11.綜上,Tn(nN*)A組夯基保分專練一、選擇題1(2019廣東省六校第一次聯(lián)考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2n1,bn(1)nan(

20、nN*),則數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為()A49B50C99 D100解析:選A由題意得,當(dāng)n2時,anSnSn12n,當(dāng)n1時,a1S13,所以數(shù)列bn的前50項(xiàng)和為346810969810014849,故選A2(一題多解)(2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,Sn2an1,則Sn()A2n1 BC D解析:選B法一:當(dāng)n1時,S1a12a2,則a2.當(dāng)n2時,Sn12an,則SnSn1an2an12an,所以,所以當(dāng)n2時,數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列,所以an,所以Sn11,當(dāng)n1時,此式也成立故選B法二:當(dāng)n1時,S1a12a2,則a2,所以S21,結(jié)合選項(xiàng)可

21、得只有B滿足,故選B3數(shù)列an中,a12,a23,an1anan1(n2,nN*),那么a2 019()A1 B2C3 D3解析:選A因?yàn)閍n1anan1(n2),所以anan1an2(n3),所以an1anan1(an1an2)an1an2(n3)所以an3an(nN*),所以an6an3an,故an是以6為周期的周期數(shù)列因?yàn)? 01933663,所以a2 019a3a2a1321.故選A4若數(shù)列an滿足a11,且對于任意的nN*都有an1ann1,則等于()A BC D解析:選C由an1ann1,得an1ann1,則a2a111,a3a221,a4a331,anan1(n1)1,以上等式相

22、加,得ana1123(n1)n1,把a(bǔ)11代入上式得,an123(n1)n,2,則22.5(2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列an滿足2an1an3(n1),且a3,其前n項(xiàng)和為Sn,則滿足不等式|Snn6|的最小整數(shù)n是()A8 B9C10 D11解析:選C由2an1an3,得2(an11)(an1)0,即(*),又a3,所以a31,代入(*)式,有a21,a119,所以數(shù)列an1是首項(xiàng)為9,公比為的等比數(shù)列所以|Snn6|(a11)(a21)(an1)6|0,所以ak4.因?yàn)閍k3k2,所以3k24,得k2.所以等比數(shù)列bn的公比q4.所以bn4n1.所以anbn3n24n1.所以數(shù)列

23、anbn的前n項(xiàng)和為Snn2n(4n1)11(2019江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)數(shù)列an滿足a11,an1(nN*)(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè)bn1,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)證明:因?yàn)閍n1,所以.又a11,所以1,所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知1(n1),所以an2,所以bn111,所以Tnb1b2b3bn,所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.12(2019福建省質(zhì)量檢查)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列,并求an;(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列,且b3a2,b7a3,求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解:(1)當(dāng)n1時,S12a1

24、1,所以a11.因?yàn)镾n2ann,所以當(dāng)n2時,Sn12an1(n1),得an2an2an11,所以an2an11,所以2.所以an1是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列所以an122n1,所以an2n1.(2)由(1)知,a23,a37,所以b3a23,b7a37.設(shè)bn的公差為d,則b7b3(73)d,所以d1.所以bnb3(n3)dn.所以anbnn(2n1)n2nn.設(shè)數(shù)列n2n的前n項(xiàng)和為Kn,數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Tn,則Kn2222323n2n,2Kn22223324n2n1,得,Kn222232nn2n1n2n1(1n)2n12,所以Kn(n1)2n12.又Tn123n,所以KnTn(n

25、1)2n12,所以數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和為(n1)2n12.B組大題增分專練1(2019江西七校第一次聯(lián)考)數(shù)列an滿足a11,an1(nN*)(1)求證:數(shù)列a是等差數(shù)列,并求出an的通項(xiàng)公式;(2)若bn,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解:(1)由an1得aa2,且a1,所以數(shù)列a是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以a1(n1)22n1,又由已知易得an0,所以an(nN*)(2)bn,故數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tnb1b2bn(1)()()1.2(2019湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足1(n2,nN),且a11.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an;(2)記bn,Tn為bn的前n項(xiàng)和,求

26、使Tn成立的n的最小值解:(1)由已知有1(n2,nN),所以數(shù)列為等差數(shù)列,又1,所以n,即Snn2.當(dāng)n2時,anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也滿足上式,所以an2n1.(2)由(1)知,bn,所以Tn.由Tn得n24n2,即(n2)26,所以n5,所以n的最小值為5.3(2019河北省九校第二次聯(lián)考)已知an是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且Sn為an與的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,求bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由題意知,2Snan,即2Snana1,當(dāng)n1時,由式可得S11;當(dāng)n2時,anSnSn1,代入式,得2Sn(SnSn1)(SnSn1

27、)21,整理得SS1.所以S是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,S1n1n.因?yàn)閍n的各項(xiàng)都為正數(shù),所以Sn,所以anSnSn1(n2),又a1S11,所以an.(2)bn(1)n(),當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn1(1)()()();當(dāng)n為偶數(shù)時,Tn1(1)()()().所以bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n.4(2019高考天津卷)設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列已知a14,b16,b22a22,b32a34.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c11,cn其中kN*.求數(shù)列a(c1)的通項(xiàng)公式;求aici(nN*).解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得故an4(n1)33n1,bn62n132n.所以,an的通項(xiàng)公式為an3n1,bn的通項(xiàng)公式為bn32n.(2)a(c1)a(bn1)(32n1)(32n1)94n1.所以,數(shù)列a(c1)的通項(xiàng)公式為a(c1)94n1.aiciaiai(ci1)aia (c1)2n43(94i1)(322n152n1)9n2722n152n1n12(nN*)- 20 -

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