（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題學(xué)案 理 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題學(xué)案 理 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第4講 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題學(xué)案 理 新人教A版（16頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題定點(diǎn)問題1參數(shù)法：參數(shù)法解決定點(diǎn)問題的思路：(1)引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)表示變化量，即確定題目中的核心變量(此處設(shè)為k)；(2)利用條件找到k與過定點(diǎn)的曲線F(x，y)0之間的關(guān)系，得到關(guān)于k與x，y的等式，再研究變化量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)高考真題思維方法(2017高考全國卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x3上，且1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.(1)略(2)證明：由題意知F(1，0)設(shè)Q(3，t)，P(m，n)，則(3，t)

2、，(1m，n)，關(guān)鍵1：用參數(shù)表示P，Q的坐標(biāo)及向量，33mtn，(m，n)，(3m，tn).由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，關(guān)鍵2：在1的前提下，證明0即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.關(guān)鍵3：利用平面內(nèi)過一點(diǎn)作一直線的垂線的唯一性，即得直線l過點(diǎn)F2.由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定點(diǎn)問題時(shí)，常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)高考真題思維方法(2017高考全國卷)已知橢圓C：1(ab0)，四點(diǎn)P1(1，1)，P2(0，1)，P3(1，)，P4(1，)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上

3、.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).(1)略(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)(m1)0.解得k.關(guān)鍵2：設(shè)出直線l的方程，并與橢圓方程聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及條件找到直線l中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)m1時(shí)，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定

4、點(diǎn)(2，1).關(guān)鍵3：將k代入直線l的方程，變形得到直線所過定點(diǎn)(2，1)典型例題 (2019鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)M點(diǎn)為圓C：x2y24上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上的投影為N.動(dòng)點(diǎn)P滿足2，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)設(shè)E的左頂點(diǎn)為D，若直線l：ykxm與曲線E交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左、右頂點(diǎn))，且滿足|，求證：直線l恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解】(1)設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)，P(x，y)，由題意可知N(x0，0)，因?yàn)?，所以2(x0x，y)(0，y0)，即x0x，y0y，又點(diǎn)M在圓C：x2y24上，所以xy4，將x0x，y0y代入得1，即軌跡E的方程為1.(2)由(1)可

5、知D(2，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得，得(34k2)x28mkx4(m23)0，(8mk)24(34k2)(4m212)16(12k23m29)0，即34k2m20，所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2，因?yàn)閨，所以，即0，即(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y20，所以240，所以7m216mk4k20，解得m12k，m2k，且均滿足34k2m20，當(dāng)m12k時(shí)，l的方程為ykx2kk(x2)，直線恒過點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m2k時(shí)，l的方程為ykxkk，直線恒過點(diǎn).綜上，直線l過定點(diǎn)

6、，定點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求解直線和曲線過定點(diǎn)問題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)(2)由直線方程確定定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線的點(diǎn)斜式方程yy0k(xx0)，則直線必過定點(diǎn)(x0，y0)；若得到了直線的斜截式方程ykxm，則直線必過定點(diǎn)(0，m) 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2019蓉城名校第一次聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作傾斜角為45的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|16.(1)求

7、拋物線C的方程；(2)設(shè)P，M，N為拋物線上不同的三點(diǎn)，且PMPN，若P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8，判斷直線MN是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由解：(1)由題意知，直線AB的方程為yx.由，得y23py0.設(shè)A(x3，y3)，B(x4，y4)，則y3y43p.所以|AB|y3y4p4p16，所以p4.所以拋物線C的方程為x28y.(2)法一：由(1)可得點(diǎn)P(8，8)，設(shè)M，N，則kPM，同理可得kPN.因?yàn)镻MPN，所以kPM kPN1，化簡得x1x28(x1x2)1280.(*)易知直線MN的斜率一定存在，設(shè)直線MN：ykxb，由，得x28kx8b0，所以x1x28k，x1x28b

8、.代入(*)，得8b64k1280，則b8k16.直線MN的方程可化為ykx8k16，所以直線MN過定點(diǎn)(8，16)法二：由(1)可得點(diǎn)P(8，8)，設(shè)M，N，則kMN，同理可得kPM，kPN.因?yàn)镻MPN，所以kPMkPN1，化簡得x1x28(x1x2)128.直線MN的方程為y(xx1)，化簡得yx.把代入得y(x8)16，所以直線MN過定點(diǎn)(8，16)定值問題1直接消參求定值：常見定值問題的處理方法：(1)確定一個(gè)(或兩個(gè))變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示；(2)將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進(jìn)行化簡，看能否得到一個(gè)常數(shù)高考真題思維方法(2

9、015高考全國卷)已知橢圓C：9x2y2m2(m0)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說明理由.(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)關(guān)鍵1：設(shè)出直線方程及直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，關(guān)鍵2：把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元得一元二次方程故xM，yMkxMb.關(guān)鍵3：利用根與系數(shù)的關(guān)系及

10、中點(diǎn)在直線l上求M的坐標(biāo)于是直線OM的斜率kOM ，即kOMk9.關(guān)鍵4：求直線OM的斜率并計(jì)算兩直線斜率乘積所以直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)略2.從特殊到一般求定值：常用處理技巧：(1)在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；(2)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算高考真題思維方法(2016高考北京卷)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|

11、為定值.(1)略(2)證明：由(1)知，A(2，0)，B(0，1).設(shè)P(x0，y0)，則x4y4.當(dāng)x00時(shí)，直線PA的方程為y(x2).令x0，得yM，從而|BM|1yM|1|.關(guān)鍵1：設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)橫坐標(biāo)分類討論，用P點(diǎn)坐標(biāo)表示|BM|直線PB的方程為yx1.令y0，得xN，從而|AN|2xN|2|.所以|AN|BM|2|1|4.關(guān)鍵3：計(jì)算|AN|BM|并化簡得出定值當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.關(guān)鍵4：討論特殊情況，并計(jì)算|AN|BM|綜上，|AN|BM|為定值.典型例題 (2019福建五校第二次聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，上頂點(diǎn)M

12、到直線xy40的距離為3.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l過點(diǎn)(4，2)，且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，l不經(jīng)過點(diǎn)M，證明：直線MA的斜率與直線MB的斜率之和為定值【解】(1)由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為1.(2)證明：易知直線l的斜率恒小于0，設(shè)直線l的方程為y2k(x4)，k0且k1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得，得(14k2)x216k(2k1)x64k(k1)0，則x1x2，x1x2，因?yàn)閗MAkMB2k(4k4)2k4(k1)2k(2k1)1(為定值)求定值問題2種常見的方法(1)從特殊值入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推

13、理的過程中消去變量，從而得到定值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知橢圓C：1，過A(2，0)，B(0，1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解：(1)由題意得，a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.又c，所以離心率e.(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點(diǎn)，延長線段OM與C交于點(diǎn)P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，

14、說明理由.(1)略(2)四邊形OAPB能為平行四邊形.因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，所以l不過原點(diǎn)且與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3.由(1)得直線OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP.由得x，即xP .關(guān)鍵1：寫出OM的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM，于是2，解得k14，k24.因?yàn)閗0，k3，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.典型例題 已知?jiǎng)訄AC與圓x2y22x0外切，與圓x2y22x240內(nèi)切(1)試求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)P(0，2)且斜

15、率為k(k0)的直線l與(1)中軌跡交于不同的兩點(diǎn)M，N，試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由【解】(1)由x2y22x0得(x1)2y21，由x2y22x240得(x1)2y225，設(shè)動(dòng)圓C的半徑為R，兩圓的圓心分別為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，則|CF1|R1，|CF2|5R，所以|CF1|CF2|6，根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)C的軌跡為以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，所以c1，a3，所以b2a2c2918，所以動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為1.(2)存在設(shè)直線l的方程為ykx2，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2

16、)，MN的中點(diǎn)為E(x0，y0)假設(shè)存在點(diǎn)A(m，0)，使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AEMN，由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因?yàn)锳EMN，所以kAE，即，所以m，當(dāng)k0時(shí)，9k212，所以m0；當(dāng)k0時(shí)，9k12，所以0b0)，其左、右焦點(diǎn)分別為F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D，E兩點(diǎn)，且|AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列(1)求橢圓C的方程；(2)記GF1D的面積為S1，OED(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為S2.試問：是否存在直線AB，使得

17、S1S2？請(qǐng)說明理由解：(1)因?yàn)閨AF1|，|F1F2|，|AF2|構(gòu)成等差數(shù)列，所以2a|AF1|AF2|2|F1F2|8，所以a4.又c2，所以b212，所以橢圓C的方程為1.(2)假設(shè)存在直線AB，使得S1S2，顯然直線AB不能與x，y軸垂直設(shè)AB的方程為yk(x2)(k0)，將其代入1，整理得(4k23)x216k2x16k2480，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)，所以x1x2，所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，所以G.因?yàn)镈GAB，所以k1，解得xD，即D，因?yàn)镽tGDF1和RtODE相似，所以若S1S2，則|GD|OD|，所以，整理得8k290.因?yàn)榉匠?k290無解，所

18、以不存在直線AB，使得S1S2.1(2019安徽省考試試題)已知橢圓C：1(ab0)的上頂點(diǎn)為P，右頂點(diǎn)為Q，直線PQ與圓x2y2相切于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程；(2)若不經(jīng)過點(diǎn)P的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且0，求證：直線l過定點(diǎn)解：(1)由已知得直線OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率kOM2，則直線PQ的斜率kPQ，所以直線PQ的方程為y，即x2y2.可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為ykxn(n1)，由，消去y整理得(4k21)x28knx4(n21)0，(8kn)24

19、4(4k21)(n21)16(4k21n2)0，得4k21n2.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.由0，得(x1，y11)(x2，y21)0，又y1kx1n，y2kx2n，所以(k21)x1x2k(n1)(x1x2)(n1)20，由得n1(舍)，或n，滿足.此時(shí)l的方程為ykx，故直線l過定點(diǎn).2(2019南昌市第一次模擬測試)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，P是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F1PF2面積的最大值為4.(1)求C的方程；(2)設(shè)C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，若直線PA，PB分別交直線x2于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)F1作以MN為直徑的圓的切線

20、，證明：切線長為定值，并求該定值解：(1)設(shè)P(x0，y0)，橢圓的半焦距為c.因?yàn)镾F1PF2|F1F2|y0|2cbbc，所以bc4.又e，a2b2c2，所以a4，b2，c2，所以C的方程為1.(2)由(1)可知A(4，0)，B(4，0)，F(xiàn)1(2，0)由題可知，x02，且x04.設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則直線PA的方程為yk1(x4)，令x2得y6k1，故M(2，6k1)直線PB的方程為yk2(x4)，令x2得y2k2，故N(2，2k2)記以MN為直徑的圓為圓D，則D(2，3k1k2)如圖，過點(diǎn)F1作圓D的一條切線，切點(diǎn)為T，連接F1D，DT，則|F1T|2|F1D|2|

21、DT|2，所以|F1T|216(3k1k2)2(3k1k2)21612k1k2，又k1，k2，所以k1k2，由1，得y(x16)，所以k1k2，則|F1T|21612k1k2161225，所以|F1T|5.故切線長為定值5.3(2019廣州市調(diào)研測試)已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F(1，0)，且與定直線x1相切(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)M(2，0)的任一條直線l與軌跡E交于不同的兩點(diǎn)P，Q，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)，使得QNMPNM？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)法一：依題意知，動(dòng)圓圓心C到定點(diǎn)F(1，0)的距離，與到定直線x1的距離相等，由拋物線的

22、定義，可得動(dòng)圓圓心C的軌跡E是以F(1，0)為焦點(diǎn)，x1為準(zhǔn)線的拋物線，其中p2.所以動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程為y24x.法二：設(shè)動(dòng)圓圓心C(x，y)，依題意得|x1|，化簡得y24x，即為動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程(2)假設(shè)存在點(diǎn)N(x0，0)滿足題設(shè)條件由QNMPNM可知，直線PN與QN的斜率互為相反數(shù)，即kPNkQN0.易知直線PQ的斜率必存在且不為0，設(shè)直線PQ：xmy2，由，得y24my80.由(4m)2480，得m或m.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y24m，y1y28.由得kPNkQN0，所以y1(x2x0)y2(x1x0)0，即y1x2y2x1x0(y1y2)0.消

23、去x1，x2，得y1yy2yx0(y1y2)0，即y1y2(y1y2)x0(y1y2)0.因?yàn)閥1y20，所以x0y1y22，所以存在點(diǎn)N(2，0)，使得QNMPNM.4(2019福州市質(zhì)量檢測)已知拋物線C1：x22py(p0)和圓C2：(x1)2y22，傾斜角為45的直線l1過C1的焦點(diǎn)，且l1與C2相切(1)求p的值；(2)動(dòng)點(diǎn)M在C1的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在C1上，若C1在A點(diǎn)處的切線l2交y軸于點(diǎn)B，設(shè)，求證：點(diǎn)N在定直線上，并求該定直線的方程解：(1)依題意，設(shè)直線l1的方程為yx，因?yàn)橹本€l1與圓C2相切，所以圓心C2(1，0)到直線l1：yx的距離d，即，解得p6或p2(舍去)所以p

24、6.(2)法一：依題意設(shè)M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，所以y，所以y，設(shè)A(x1，y1)，則以A為切點(diǎn)的切線l2的斜率為k，所以切線l2的方程為yx1(xx1)y1.令x0，則yxy112y1y1y1，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y1)，所以(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則y3，所以點(diǎn)N在定直線y3上法二：設(shè)M(m，3)，由(1)知拋物線C1的方程為x212y，設(shè)l2的斜率為k，A，則以A為切點(diǎn)的切線l2的方程為yk(xx1)x，聯(lián)立得，x212k(xx1)x，因?yàn)?44k248kx14x0，所以k，所以切線l2的方程為yx1(xx1)x，令x0，得B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，x)，所以，所以(x12m，6)，所以(x1m，3)，所以點(diǎn)N在定直線y3上- 16 -