（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第11章 算法初步、復數(shù)、推理與證明 第4講 直接證明與間接證明學案

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1、第4講直接證明與間接證明板塊一知識梳理自主學習 必備知識考點1直接證明考點2間接證明1反證法的定義假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明原命題成立的證明方法2利用反證法證題的步驟(1)假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；(2)由假設出發(fā)進行正確的推理，直到推出矛盾為止；(3)由矛盾斷言假設不成立，從而肯定原命題的結論成立簡言之，否定歸謬斷言必會結論分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用考點自測1判斷下列結論的正誤(正確的打“

2、”，錯誤的打“”)(1)綜合法是直接證明，分析法是間接證明()(2)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件()(3)用反證法證明結論“ab”時，應假設“ab”()(4)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾()(5)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)(3)(4)(5)2要證明b0，m，n，則m，n的大小關系是_答案mn解析解法一：(取特殊值法)取a2，b1，得mn.解法二：(分析法)a0，顯然成立6下列條件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不為0且同號即可，故都能使2成立板塊二典例探究考向突破考

3、向綜合法證明例1已知sin，sinx，cos成等差數(shù)列，sin，siny，cos成等比數(shù)列證明：2cos2xcos2y.證明sin與cos的等差中項是sinx，等比中項是siny，sincos2sinx，sincossin2y，22，可得(sincos)22sincos4sin2x2sin2y，即4sin2x2sin2y1.421，即22cos2x(1cos2y)1.故證得2cos2xcos2y.觸類旁通綜合法證明的思路(1)綜合法是“由因導果”的證明方法，它是一種從已知到未知(從題設到結論)的邏輯推理方法，即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導出所要求證

4、結論的真實性(2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理【變式訓練1】已知f(x)，證明：f(x)f(1x).證明f(x)，f(x)f(1x).故f(x)f(1x)成立考向分析法證明例2已知a0，證明： a2.證明要證 a2，只需證 (2)因為a0，所以(2)0，所以只需證22，即2(2)84，只需證a2.因為a0，a2顯然成立1時等號成立，所以要證的不等式成立觸類旁通分析法證題的技巧(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論

5、，然后通過綜合法由條件證明這個中間結論，從而使原命題得證【變式訓練2】已知正數(shù)a，b，c滿足abc1.求證：.證明欲證，則只需證()23，即證abc2()3，即證1.又1，當且僅當abc時取“”，原不等式成立考向反證法的應用命題角度1證明否定性命題例3設an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？解(1)證明：若Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得q0，這與q0相矛盾，故數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)當q1時，Sn是等差數(shù)列當q1時，Sn不是等差數(shù)列假設q1時，S1，

6、S2，S3成等差數(shù)列，即2S2S1S3，2a1(1q)a1a1(1qq2)由于a10，2(1q)2qq2，即qq2，q1，q0，這與q0相矛盾綜上可知，當q1時，Sn是等差數(shù)列；當q1時，Sn不是等差數(shù)列命題角度2證明存在性問題例4設x、y、z0，ax，by，cz，求證：a、b、c三數(shù)至少有一個不小于2.證明假設a、b、c都小于2，則abc6.而事實上abcxyz2226(當且僅當xyz1時取“”)與abc6矛盾，a，b，c中至少有一個不小于2.命題角度3證明唯一性命題例5已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在

7、異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由解(1)證明：由已知得SA2AD2SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)假設在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，假設不成立故不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.觸類旁通反證法的適用范圍及證明的關鍵(1)適用范圍：當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證(2)關鍵：在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛

8、盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，推導出的矛盾必須是明顯的【變式訓練3】(1)若三個方程x24mx4m30，x2(m1)xm20，x22mx2m0中至少有一個方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍解當三個方程都沒有實根時，即解得所以m1.所以，三個方程中至少有一個方程有實根時，m的取值范圍為m1或m.(2)若f(x)的定義域為a，b，值域為a，b(a2)，使函數(shù)h(x)是區(qū)間a，b上的“四維光軍”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由解由已知得g(x)(x1)21，其圖象的對稱軸為x1，區(qū)間1，b在對稱軸的右邊，所以函數(shù)在區(qū)間1，b上單調(diào)遞增由“四維光軍”函數(shù)的定義可

9、知g(1)1，g(b)b，即b2bb，解得b1或b3.因為b1，所以b3.假設函數(shù)h(x)在區(qū)間a，b(a2)上是“四維光軍”函數(shù)，因為h(x)在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞減，所以有即解得ab，這與已知矛盾故不存在核心規(guī)律1.分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知2.綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知3.分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來滿分策略1.當題目條件較多，且都很明確時，由因導果較容易，一般用綜合

10、法，但在證明中，要保證前提條件正確，推理要合乎邏輯規(guī)律2.當題目條件較少，可逆向思考時，執(zhí)果索因，使用分析法解決但在證明過程中，注意文字語言的準確表述3.利用反證法證明數(shù)學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考創(chuàng)新交匯系列10分析法與綜合法的交匯整合2018長沙模擬已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關系，并證明你的結論解題視點(1)先判斷它們的大小，可用特例法(2)用分析法探尋證題思路(3)用綜合法完成證明事實上，取a

11、1，b2，c4，則f(a)f(c)f(1)f(4)log218，2f(b)2f(2)log216，于是由log218log216，猜測f(a)f(c)2f(b)要證f(a)f(c)2f(b)，則只需證log2(a2)log2(c2)2log2(b2)，即證log2(a2)(c2)log2(b2)2，也即證(a2)(c2)(b2)2.展開整理得ac2(ac)b24b.因為b2ac，所以只要證ac2，顯然是成立的解f(a)f(c)2f(b)證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，所以ac2.因為b2ac，所以ac2(ac)b24b，即ac2(ac)4b24b4，從而(a2)(c2)(b2)2.

12、因為f(x)log2x是增函數(shù)，所以log2(a2)(c2)log2(b2)2，即log2(a2)log2(c2)2log2(b2)故f(a)f(c)2f(b)答題啟示(1)綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法表述解答或證明過程.有時要把分析法和綜合法結合起來交替使用，才能成功.,(2)本題易錯的原因一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會用綜合法表述，從而導致解題格式不規(guī)范.將分析法和綜合法整合，是證明數(shù)學問題的一種重要的思想方法.跟蹤訓練2018安徽模擬(1)設

13、x1，y1，證明：xyxy；(2)11，xlogab1，ylogbc1，由(1)知所證明的不等式成立板塊四模擬演練提能增分A級基礎達標12018綿陽周測設ta2b，sab21，則下列關于t和s的大小關系中正確的是()Ats Bts Cts Dts答案D解析stb22b1(b1)20，st，選D項2若a，b，c為實數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()Aac2abb2C.答案B解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.3下列不等式一定成立的是()Alg lg x(x0)Bsinx2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.0時，x22xx

14、所以lg lg x，故A不正確；對于B，當xk時，sinx正負不定，不能用基本不等式，所以B不正確；對于D，當x0時，1，故D不正確由基本不等式可知選項C正確4若a0，b0，ab1，則下列不等式不成立的是()Aa2b2 BabC.4 D.1答案D解析a2b2(ab)22ab12ab122，A成立；ab2，B成立又2224，C成立，應選D.52018鄒平期末若abc，則使恒成立的最大的正整數(shù)k為()A2 B3 C4 D5答案C解析abc，ab0，bc0，ac0，且acabbc.又2224，k，k4，故k的最大整數(shù)為4.故選C.62018邯鄲模擬設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：ab1；ab2；a

15、b2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是_(填序號)答案解析若a，b，則ab1，但a1，b1，故推不出；若ab1，則ab2，故推不出；若a2，b3，則a2b22，故推不出；若a2，b3，則ab1，故推不出；對于，反證法：假設a1且b1，則ab2與ab2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.7已知abc0，求證：a3a2cb2cabcb30.證明運用“立方和”公式證明：a3b3(ab)(a2abb2)，原式a3b3(a2cb2cabc)(ab)(a2abb2)c(a2abb2)(abc)(a2abb2)abc0，原式0，即當abc0時，a3a2cb2

16、cabcb30.8設f(x)ax2bxc(a0)，若函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，求證：f為偶函數(shù)證明由函數(shù)f(x1)與f(x)的圖象關于y軸對稱，可知f(x1)f(x)將x換成x代入上式可得ff，即ff，由偶函數(shù)的定義可知f為偶函數(shù)9等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列解(1)由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)，得bnn.假設數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)

17、(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因為p，q，rN*，所以所以2pr(pr)20.所以pr，這與pr矛盾，所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列10已知函數(shù)f(x)ax(a1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明：方程f(x)0沒有負數(shù)根 B級知能提升1已知x，yR，Mx2y21，Nxyxy，則M與N的大小關系是()AMN BMNCMN D不能確定答案A解析MNx2y21(xyxy)(x2y22xy)(x22x1)(y22y1)(xy)2(x1)2(y1)20.故MN.2已知實數(shù)m，n滿足mn0，mn1，則的最大值為_答案4解析mn0，mn1，m0，

18、n0，b0,2cab，求證：(1)c2ab；(2)ca0，b0,2cab2，c，平方得c2ab.(2)要證cac.只要證ac.即證|ac|，即(ac)2c2ab，(ac)2c2aba(ab2c)0，f(1)0，求證：(1)a0且20，f(1)0，c0,3a2bc0.由abc0，消去b得ac0；再由條件abc0，消去c得ab0，20，方程f(x)0有兩個實根設方程的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關系得x1x20，x1x20，故兩根為正又(x11)(x21)20，故兩根均小于1，命題得證解法二：4b212ac4(a2c2ac)40，由(1)知21，0，f(1)0，f(x)0在(0,1)內(nèi)有兩個實根

19、52015陜西高考設fn(x)是等比數(shù)列1，x，x2，xn的各項和，其中x0，nN，n2.(1)證明：函數(shù)Fn(x)fn(x)2在內(nèi)有且僅有一個零點(記為xn)，且xnx；(2)設有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)和gn(x)的大小，并加以證明解(1)證明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，則Fn(1)n10，F(xiàn)n12n220，故Fn(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以Fn(x)在內(nèi)有且僅有一個零點xn.因為xn是Fn(x)的零點，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)由題設，gn(x).設h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.當x1時，fn(x)gn(x)當x1時，h(x)12xnxn1.若0xxn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)綜上所述，當x1時，fn(x)gn(x)；當x1時，fn(x)gn(x)15