《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 不等式選講學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 不等式選講學(xué)案 理（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、不等式選講第一節(jié) 絕對(duì)值不等式本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)：1.絕對(duì)值不等式的解法；2.絕對(duì)值三角不等式.突破點(diǎn)(一)絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解利用零點(diǎn)分段法求解構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解1判斷題(1)不等式|x|a的解集為x|ax3的解集為_解析：由|2x1|3得，2x13，即x2.答案：x|x2(3)若關(guān)于x的不等式|ax2|3的解集為，則
2、a_.解析：依題意，知a0.|ax2|33ax231ax0時(shí)，不等式的解集為，從而有此方程組無(wú)解當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為，從而有解得a3.答案：3(4)不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當(dāng)1x2時(shí)，由2x11，解得1x1恒成立所以不等式的解集為x|x1答案：x|x1絕對(duì)值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|，兩邊平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集為.法二：原不等式等價(jià)于或或解得x，所以原不等式的解集為.(2)當(dāng)x3時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當(dāng)3x時(shí)，原不等
3、式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.當(dāng)x時(shí)，原不等式化為(x3)(12x)2，x2.綜上可知，原不等式的解集為.方法技巧絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法對(duì)aR，|x|aaxaxa.(2)平方法兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)(3)零點(diǎn)分區(qū)間法含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等價(jià)于或或即或或故原不等式的解集為x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化為或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函數(shù)f(x)|x1|xa|，
4、g(x)|x2|1. (1)當(dāng)a2時(shí)，解不等式f(x)5；(2)若對(duì)任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x1|x2|f(x)5或或解得x2或x3，不等式f(x)5的解集為(，32，)(2)對(duì)任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，y|yf(x)y|yg(x)f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|(當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(xa)0時(shí)等號(hào)成立)，g(x)|x2|11，|a1|1，a11或a11，a0或a2，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，20，)4(2018湖北黃石調(diào)研)已知函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x
5、)8；(2)若不等式f(x)a23a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|x1|x3|當(dāng)x1時(shí)，由2x28，解得x3.不等式f(x)8的解集為x|x5或x3(2)由(1)得f(x)min4.又不等式f(x)4，解得a4或a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)(4，)突破點(diǎn)(二)絕對(duì)值三角不等式 絕對(duì)值三角不等式定理定理1如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)，等號(hào)成立定理2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí)，等號(hào)成立1判斷題(1)|ab|ab|2a|.()(2)不等式|ab|a|b|等號(hào)成立的條件是ab0.()答案：(1)(
6、2)2填空題(1)函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：8(2)設(shè)a，b為滿足ab|ab|ab|ab|ab|a|b| |ab|a|b|解析：ab|ab|.答案：(3)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4證明絕對(duì)值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|
7、3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧證明絕對(duì)值不等式的三種主要方法(1)利用絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題例2(2018湖南五市十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|x3|，a3.(1)若不等式f(x)4的解集為，求a的值；(2)若對(duì)xR，不等式f(x)|x3|1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)法一：由已知得f(x)當(dāng)x3時(shí)，2xa34，得x.已知f(x)4的解集為，則顯然a2.法二：由已知易得f(x)|xa|x3|的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，又f(x
8、)4的解集為，則a3，即a2.(2)法一：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|2|x3|1恒成立當(dāng)xa時(shí)，3xa50恒成立，得3aa50，解得a；當(dāng)ax0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)等號(hào)成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當(dāng)a3時(shí)，f(3)a，由f(3)5得3a.當(dāng)0a3時(shí)，f(3)6a，由f(3)5得0)(1)當(dāng)m1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，t，不等式f(x)|2t|t1|恒成立，求m的取值范圍解：(1)f(x)|xm|x3m|當(dāng)m1時(shí)，由或x3，得x，不等式f(x)1的解集為.(2)不等式f(x
9、)|2t|t1|對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，x恒成立，等價(jià)于對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，f(x)(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m0，0m0(aR)；(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍解：(1)不等式f(x)a10，即|x2|a10.當(dāng)a1時(shí)， 原不等式化為|x2|0，解得x2，即解集為(，2)(2，)；當(dāng)a1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R；當(dāng)a1a(1a0)，解集為(，a1)(3a，)(2)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，即|x2|x3|m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒
10、成立，即|x2|x3|m恒成立又由絕對(duì)值三角不等式知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，當(dāng)且僅當(dāng)(x2)(x3)0時(shí)等號(hào)成立于是得m0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x40，無(wú)解；當(dāng)1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，) 課時(shí)
11、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1已知函數(shù)f(x)|xm|5x|(mR)(1)當(dāng)m3時(shí)，求不等式f(x)6的解集；(2)若不等式f(x)10對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍解：(1)當(dāng)m3時(shí)，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三個(gè)不等式組解集的并集.解得x5；或解得4x6的解集為x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由題意得|m5|10，則10m510，解得15m5，故m的取值范圍為15,52(2018江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)由題
12、意f(x)2|x1|，即為|x1|1.而由絕對(duì)值的幾何意義知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a2知4；(2)若x，不等式a14，可化為或或解得x2或01.不等式f(x)4的解集為(，2)(0，)(2)由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)3x2，當(dāng)x，a1，即a.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4(2018長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)g(x)(a0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)x2時(shí)，原不等式可化為x2x11，解集是.當(dāng)1x2時(shí)，原不等式可
13、化為2xx11，即1x0；當(dāng)x1，即x1.綜上，原不等式的解集是x|x0時(shí)，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)5(2018湖北四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)e|xa|xb|，a，bR.(1)當(dāng)ab1時(shí)，解不等式f(x)e；(2)若f(x)e2恒成立，求ab的取值范圍解：(1)當(dāng)ab1時(shí)，f(x)e|x1|x1|，由于yex在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)e等價(jià)于|x1|x1|1，當(dāng)x1時(shí)，|x1|x1|x1(x1)2，則式恒成立；當(dāng)1x1時(shí)，|x1|x1|2x，式化為2x1，此時(shí)xg(a)2；(2)當(dāng)xa,1)時(shí)恒有f(x)g(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：
14、(1)a3時(shí)，f(x)|x1|x3|g(3)4.f(x)g(a)2化為|x1|x3|6，即或或解得x2.所求不等式解集為(，4)(2，)(2)xa,1)f(x)1a.f(x)g(a)即為1aa2a2，可化為a22a30，解得a3或a1.又a1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為3，)7(2018安徽蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若對(duì)任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，7|x1|3，解得2x4，原不等式的解集為x|2x4(2)對(duì)任意x1R，都有x2R，使
15、得f(x1)g(x2)成立，y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，|a3|2，解得a1或a5，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，51，)8已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4.當(dāng)x時(shí)，即3x2x14，解得x；當(dāng)x1時(shí)，即3x2x14，解得x1時(shí)，即3x2x14，無(wú)解綜上所述，原不等式的解集為.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時(shí)，g(x)maxa，要使不等式
16、恒成立，只需g(x)maxa4，即02，b2，則abab.()(3)設(shè)xa2b，Sab21則Sx.()答案：(1)(2)(3)2填空題(1)已知a，bR，ab2，則的最小值為_解析：a，bR，且ab2，(ab)222 4，2，即的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，“”成立)答案：2(2)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2abab12，則ab的最小值是_解析：由2abab12，得2ab212，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立化簡(jiǎn)得(3)(2)0，解得ab9，所以ab的最小值是9.答案：9(3)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值為_解析：把a(bǔ)bc1代入，得332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立答案：9(4)設(shè)
17、xa2b25，y2aba24a，若xy，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_解析：若xy，則xya2b25(2aba24a)a2b22aba24a5(ab1)2(a2)20，ab1或a2.答案：ab1或a2比較法證明不等式例1求證：(1)當(dāng)xR時(shí)，12x42x3x2；(2)當(dāng)a，b(0，)時(shí)，aabb(ab).證明(1)法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2x2(x21)
18、20，所以12x42x3x2.(2)ab，當(dāng)ab時(shí)，1，當(dāng)ab0時(shí)，1，0，1，當(dāng)ba0時(shí)，01，1，aabb(ab).方法技巧作差比較法證明不等式的步驟(1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號(hào)；(4)下結(jié)論其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)綜合法證明不等式例2已知a，b，c0且互不相等，abc1.試證明：.證明因?yàn)閍，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧綜合法證明時(shí)常用的不等式(1)a20；|a|0.(2)a2b22ab.(3)，它的變形形式有：a2(a0)；2(ab0)；2(ab0)分析法證明不等式例3(20
19、18福建畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由題意，|x1|bc，則|ad|bc|；(2)t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由adbc，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因?yàn)?a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于ac，bd，又已知t，則t(acbd)(acbd)，故t，當(dāng)且僅當(dāng)ac，bd時(shí)取等號(hào).全國(guó)卷5年真題集中演練明規(guī)律
20、1(2017全國(guó)卷)已知a0，b0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x1，所以1x；當(dāng)x時(shí)，f(x)2恒成立；當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1
21、x1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|1ab|. 課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1(2018武漢調(diào)研)若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab，求證：1.證明：要證 1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立，原不等式成立2已知函數(shù)f(x)|x3|x1|，其最小值為t.(1)求t的值；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足abt，求證：.解：(1)因?yàn)閨x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)證明：由(1)得ab4，故1，121，當(dāng)且僅當(dāng)b2a，即a，b時(shí)取等號(hào)，故.3設(shè)不等式2|x1|x2|0的解集為
22、M，a，bM.(1)證明：；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說(shuō)明理由解：(1)證明：記f(x)|x1|x2|由22x10解得x，則M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.4(2018廣州模擬)已知x，y，z(0，)，xyz3.(1)求的最小值；(2)證明：3x2y2z20，0，所以(xyz)9，即3，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時(shí)，取得最小值3.(2)證明：x2y2z23，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時(shí)等號(hào)成立又因?yàn)閤2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)0，所以3x2y2z20，b0，函數(shù)f(x)|2xa|21的最小值為
23、2.(1)求ab的值；(2)求證：alog33b.解：(1)因?yàn)閒(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，當(dāng)且僅當(dāng)(2xa)(2xb)0時(shí)，等號(hào)成立，又a0，b0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為ab12，所以ab1.(2)由(1)知，ab1，所以(ab)1452 9，當(dāng)且僅當(dāng)且ab1，即a，b時(shí)取等號(hào)所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.6(2018長(zhǎng)沙模擬)設(shè)，均為實(shí)數(shù)(1)證明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，證明：|cos |cos |cos |1.證明：(1)|cos()|c
24、os cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2018安徽安師大附中、馬鞍山二中階段測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a0，求證：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由題意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.當(dāng)x1時(shí)，原不
25、等式等價(jià)于2x32，即x1；當(dāng)1x2時(shí)，原不等式等價(jià)于12，即12時(shí)，原不等式等價(jià)于2x32，即2x.綜上，原不等式的解集為.(2)證明：由題意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立8(2018重慶模擬)設(shè)a，b，cR且abc1.求證：(1)2abbcca；(2)2.證明：(1)因?yàn)?(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立所以abc2a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立23
（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 不等式選講學(xué)案 理
