（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修部分 不等式選講學(xué)案 理

不等式選講第一節(jié) 絕對值不等式本節(jié)主要包括2個知識點(diǎn)：1.絕對值不等式的解法；2.絕對值三角不等式.突破點(diǎn)(一)絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<a|x|>aR(2)|axb|c，|axb|c(c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c>0)型不等式的解法利用絕對值不等式的幾何意義求解利用零點(diǎn)分段法求解構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解1判斷題(1)不等式|x|<a的解集為x|a<x<a()(2)|xa|xb|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a，b的距離之和()(3)不等式|2x3|5的解集為x|1x4()答案：(1)×(2)(3)2填空題(1)若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)k_.解析：由|kx4|22kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案：2(2)不等式|2x1|>3的解集為_解析：由|2x1|>3得，2x1<3或2x1>3，即x<1或x>2.答案：x|x<1或x>2(3)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的解集為，則a_.解析：依題意，知a0.|ax2|<33<ax2<31<ax<5，當(dāng)a>0時，不等式的解集為，從而有此方程組無解當(dāng)a<0時，不等式的解集為，從而有解得a3.答案：3(4)不等式|x1|x2|1的解集是_解析：f(x)|x1|x2|當(dāng)1<x<2時，由2x11，解得1x<2.又當(dāng)x2時，f(x)3>1恒成立所以不等式的解集為x|x1答案：x|x1絕對值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x1|2|x1|>0.(2)|x3|2x1|<1.解(1)法一：原不等式可化為|2x1|>2|x1|，兩邊平方得4x24x1>4(x22x1)，解得x>，所以原不等式的解集為.法二：原不等式等價于或或解得x>，所以原不等式的解集為.(2)當(dāng)x<3時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<10，x<3.當(dāng)3x<時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x<，3x<.當(dāng)x時，原不等式化為(x3)(12x)<1，解得x>2，x>2.綜上可知，原不等式的解集為.方法技巧絕對值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法對aR，|x|<aa<x<a，|x|>ax<a或x>a.(2)平方法兩邊平方去掉絕對值符號(3)零點(diǎn)分區(qū)間法含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解1求不等式|x1|x5|<2的解集解：不等式|x1|x5|<2等價于或或即或或故原不等式的解集為x|x<1x|1x<4x|x<42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化為或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函數(shù)f(x)|x1|xa|，g(x)|x2|1. (1)當(dāng)a2時，解不等式f(x)5；(2)若對任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，f(x)|x1|x2|f(x)5或或解得x2或x3，不等式f(x)5的解集為(，32，)(2)對任意x1R，都存在x2R，使得g(x2)f(x1)成立，y|yf(x)y|yg(x)f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|(當(dāng)且僅當(dāng)(x1)(xa)0時等號成立)，g(x)|x2|11，|a1|1，a11或a11，a0或a2，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，20，)4(2018·湖北黃石調(diào)研)已知函數(shù)f(x)|x1|x3|.(1)解不等式f(x)8；(2)若不等式f(x)<a23a的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|x1|x3|當(dāng)x<3時，由2x28，解得x5；當(dāng)3x1時，48，不成立；當(dāng)x>1時，由2x28，解得x3.不等式f(x)8的解集為x|x5或x3(2)由(1)得f(x)min4.又不等式f(x)<a23a的解集不是空集，a23a>4，解得a>4或a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)(4，)突破點(diǎn)(二)絕對值三角不等式 絕對值三角不等式定理定理1如果a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立定理2如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時，等號成立1判斷題(1)|ab|ab|2a|.()(2)不等式|ab|a|b|等號成立的條件是ab0.()答案：(1)(2)2填空題(1)函數(shù)y|x4|x4|的最小值為_解析：|x4|x4|(x4)(x4)|8，即函數(shù)y的最小值為8.答案：8(2)設(shè)a，b為滿足ab<0的實(shí)數(shù)，那么下列正確的是_|ab|>|ab|ab|<|ab|ab|<|a|b| |ab|<|a|b|解析：ab<0，|ab|a|b|>|ab|.答案：(3)若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案：2,4證明絕對值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求證：|x5y|1.證明|x5y|3(xy)2(xy)|.由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|3×2×1.即|x5y|1.方法技巧證明絕對值不等式的三種主要方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明(2)利用三角不等式|a|b|a±b|a|b|進(jìn)行證明(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明絕對值不等式的恒成立問題例2(2018·湖南五市十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)|xa|x3|，a<3.(1)若不等式f(x)4的解集為，求a的值；(2)若對xR，不等式f(x)|x3|1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)法一：由已知得f(x)當(dāng)x<a時，2xa34，得x；當(dāng)x>3時，2xa34，得x.已知f(x)4的解集為，則顯然a2.法二：由已知易得f(x)|xa|x3|的圖象關(guān)于直線x對稱，又f(x)4的解集為，則a3，即a2.(2)法一：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|2|x3|1恒成立當(dāng)xa時，3xa50恒成立，得3aa50，解得a；當(dāng)a<x<3時，xa50恒成立，得3a50，解得a2；當(dāng)x3時，3xa70恒成立，得9a70，解得a2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，2法二：不等式f(x)|x3|1恒成立，即|xa|x3|x3|1恒成立，由圖象(圖略)可知f(x)|xa|x3|在x3處取得最小值3a，而|x3|1在x3處取得最大值1，故3a1，得a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，21.設(shè)函數(shù)f(x)|xa|(a>0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)<5，求a的取值范圍解：(1)證明：由a>0，有f(x)|xa|a2.當(dāng)且僅當(dāng)a1時等號成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.當(dāng)a>3時，f(3)a，由f(3)<5得3<a<.當(dāng)0a3時，f(3)6a，由f(3)<5得<a3.綜上，a的取值范圍是.2.已知函數(shù)f(x)|xm|x3m|(m>0)(1)當(dāng)m1時，求不等式f(x)1的解集；(2)對于任意實(shí)數(shù)x，t，不等式f(x)<|2t|t1|恒成立，求m的取值范圍解：(1)f(x)|xm|x3m|當(dāng)m1時，由或x3，得x，不等式f(x)1的解集為.(2)不等式f(x)<|2t|t1|對任意的實(shí)數(shù)t，x恒成立，等價于對任意的實(shí)數(shù)x，f(x)<(|2t|t1|)min恒成立，即f(x)max<(|2t|t1|)min，f(x)|xm|x3m|(xm)(x3m)|4m，|2t|t1|(2t)(t1)|3，4m<3，又m>0，0<m<，即m的取值范圍是.3.已知函數(shù)f(x)|x2|，g(x)|x3|m.(1)解關(guān)于x的不等式f(x)a1>0(aR)；(2)若函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，求m的取值范圍解：(1)不等式f(x)a1>0，即|x2|a1>0.當(dāng)a1時， 原不等式化為|x2|>0，解得x2，即解集為(，2)(2，)；當(dāng)a>1時，解集為全體實(shí)數(shù)R；當(dāng)a<1時，|x2|>1a(1a>0)，解集為(，a1)(3a，)(2)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象的上方，即|x2|>|x3|m對任意實(shí)數(shù)x恒成立，即|x2|x3|>m恒成立又由絕對值三角不等式知，對任意實(shí)數(shù)x恒有|x2|x3|(x2)(x3)|5，當(dāng)且僅當(dāng)(x2)(x3)0時等號成立于是得m<5，故m的取值范圍是(，5).全國卷5年真題集中演練明規(guī)律 1(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，不等式f(x)g(x)等價于x2x|x1|x1|40.當(dāng)x1時，式化為x23x40，無解；當(dāng)1x1時，式化為x2x20，從而1x1；當(dāng)x1時，式化為x2x40，從而1x.所以f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1,1時，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含1,1，等價于當(dāng)x1,1時，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1,12(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范圍解：(1)f(x)當(dāng)x1時，f(x)1無解；當(dāng)1x2時，由f(x)1，得2x11，解得1x2；當(dāng)x2時，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集為x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，且當(dāng)x時，|x1|x2|x2x.故m的取值范圍為.3(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)|2xa|a.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)|2x1|.當(dāng)xR時，f(x)g(x)3，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a2時，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集為x|1x3(2)當(dāng)xR時，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范圍是2，)4(2015·全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當(dāng)x1時，不等式化為x4>0，無解；當(dāng)1<x<1時，不等式化為3x2>0，解得<x<1；當(dāng)x1時，不等式化為x2>0，解得1x<2.所以f(x)>1的解集為.(2)由題設(shè)可得f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)2>6，故a>2.所以a的取值范圍為(2，) 課時達(dá)標(biāo)檢測 1已知函數(shù)f(x)|xm|5x|(mR)(1)當(dāng)m3時，求不等式f(x)>6的解集；(2)若不等式f(x)10對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求m的取值范圍解：(1)當(dāng)m3時，f(x)>6，即|x3|5x|>6，不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集.解得x5；或解得4<x<5；或解集是.故不等式f(x)>6的解集為x|x>4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由題意得|m5|10，則10m510，解得15m5，故m的取值范圍為15,52(2018·江西南昌模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|x1|.(1)若不等式f(x)2|x1|有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)a<2時，函數(shù)f(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)由題意f(x)2|x1|，即為|x1|1.而由絕對值的幾何意義知|x1|，由不等式f(x)2|x1|有解，1，即0a4.實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,4(2)由2xa0得x，由x10得x1，由a<2知<1，f(x)函數(shù)的圖象如圖所示f(x)minf13，解得a4.3(2018·廣東潮州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)|2x3|x1|.(1)解不等式f(x)>4；(2)若x，不等式a1<f(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)f(x)|2x3|x1|，f(x)f(x)>4，可化為或或解得x<2或0<x1或x>1.不等式f(x)>4的解集為(，2)(0，)(2)由(1)知，當(dāng)x<時，f(x)3x2，當(dāng)x<時，f(x)3x2>，a1，即a.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.4(2018·長春模擬)已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)>1；(2)當(dāng)x>0時，函數(shù)g(x)(a>0)的最小值大于函數(shù)f(x)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)當(dāng)x>2時，原不等式可化為x2x1>1，解集是.當(dāng)1x2時，原不等式可化為2xx1>1，即1x<0；當(dāng)x<1時，原不等式可化為2xx1>1，即x<1.綜上，原不等式的解集是x|x<0(2)因?yàn)間(x)ax121，當(dāng)且僅當(dāng)x時等號成立，所以g(x)min21，當(dāng)x>0時，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)5(2018·湖北四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)e|xa|xb|，a，bR.(1)當(dāng)ab1時，解不等式f(x)e；(2)若f(x)e2恒成立，求ab的取值范圍解：(1)當(dāng)ab1時，f(x)e|x1|x1|，由于yex在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)e等價于|x1|x1|1，當(dāng)x1時，|x1|x1|x1(x1)2，則式恒成立；當(dāng)1<x<1時，|x1|x1|2x，式化為2x1，此時x<1；當(dāng)x1時，|x1|x1|2，式無解綜上，不等式的解集是.(2)f(x)e2等價于|xa|xb|2，因?yàn)閨xa|xb|xaxb|ab|，所以要使式恒成立，只需|ab|2，可得ab的取值范圍是2,26(2018·湖北棗陽一中模擬)已知f(x)|x1|xa|，g(a)a2a2.(1)當(dāng)a3時，解關(guān)于x的不等式f(x)>g(a)2；(2)當(dāng)xa,1)時恒有f(x)g(a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)a3時，f(x)|x1|x3|g(3)4.f(x)>g(a)2化為|x1|x3|>6，即或或解得x<4或x>2.所求不等式解集為(，4)(2，)(2)xa,1)f(x)1a.f(x)g(a)即為1aa2a2，可化為a22a30，解得a3或a1.又a<1，a>1.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為3，)7(2018·安徽蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|<5；(2)若對任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由|x1|2|<5，得5<|x1|2<5，7<|x1|<3，解得2<x<4，原不等式的解集為x|2<x<4(2)對任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，|a3|2，解得a1或a5，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，51，)8已知函數(shù)f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)<4|x1|；(2)已知mn1(m，n>0)，若|xa|f(x)(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)不等式f(x)<4|x1|，即|3x2|x1|<4.當(dāng)x<時，即3x2x1<4，解得<x<；當(dāng)x1時，即3x2x1<4，解得x<；當(dāng)x>1時，即3x2x1<4，無解綜上所述，原不等式的解集為.(2)(mn)114，當(dāng)且僅當(dāng)mn時等號成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x時，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即0<a.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.第二節(jié) 不等式的證明本節(jié)重點(diǎn)突破1個知識點(diǎn)：不等式的證明.突破點(diǎn)不等式的證明 1基本不等式定理1如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立定理2如果a，b0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立，即兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均定理3如果a，b，cR，那么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立2.比較法(1)作差法的依據(jù)是：ab0ab.(2)作商法：若B0，欲證AB，只需證1.3綜合法與分析法綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立分析法從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)(定義，公理或已證明的定理，性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立1判斷題(1)已知x為正實(shí)數(shù)，則1x3.()(2)若a>2，b>2，則ab>ab.()(3)設(shè)xa2b，Sab21則Sx.()答案：(1)(2)×(3)2填空題(1)已知a，bR，ab2，則的最小值為_解析：a，bR，且ab2，(ab)222 4，2，即的最小值為2(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時，“”成立)答案：2(2)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2abab12，則ab的最小值是_解析：由2abab12，得2ab212，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立化簡得(3)(2)0，解得ab9，所以ab的最小值是9.答案：9(3)已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，且abc1，則的最小值為_解析：把a(bǔ)bc1代入，得332229，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立答案：9(4)設(shè)xa2b25，y2aba24a，若x>y，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為_解析：若x>y，則xya2b25(2aba24a)a2b22aba24a5(ab1)2(a2)2>0，ab1或a2.答案：ab1或a2比較法證明不等式例1求證：(1)當(dāng)xR時，12x42x3x2；(2)當(dāng)a，b(0，)時，aabb(ab).證明(1)法一：(12x4)(2x3x2)2x3(x1)(x1)(x1)(x1)(2x3x1)(x1)(2x32xx1)(x1)2x(x21)(x1)(x1)2(2x22x1)(x1)20，所以12x42x3x2.法二：(12x4)(2x3x2)x42x3x2x42x21(x1)2·x2(x21)20，所以12x42x3x2.(2)ab，當(dāng)ab時，1，當(dāng)a>b>0時，>1，>0，>1，當(dāng)b>a>0時，0<<1，<0，則>1，aabb(ab).方法技巧作差比較法證明不等式的步驟(1)作差；(2)變形；(3)判斷差的符號；(4)下結(jié)論其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)綜合法證明不等式例2已知a，b，c>0且互不相等，abc1.試證明：.證明因?yàn)閍，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧綜合法證明時常用的不等式(1)a20；|a|0.(2)a2b22ab.(3)，它的變形形式有：a2(a>0)；2(ab>0)；2(ab<0)分析法證明不等式例3(2018·福建畢業(yè)班質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)|x1|.(1)求不等式f(x)|2x1|1的解集M；(2)設(shè)a，bM，證明：f(ab)f(a)f(b)解(1)由題意，|x1|<|2x1|1，當(dāng)x1時，不等式可化為x12x2，解得x1；當(dāng)1x時，不等式可化為x12x2，解得x1，此時不等式無解；當(dāng)x時，不等式可化為x12x，解得x1.綜上，Mx|x1或x1(2)因?yàn)閒(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，所以，要證f(ab)f(a)f(b)，只需證|ab1|ab|，即證|ab1|2|ab|2，即證a2b22ab1a22abb2，即證a2b2a2b210，即證(a21)(b21)0.因?yàn)閍，bM，所以a21，b21，所以(a21)(b21)0成立，所以原不等式成立方法技巧分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆1.設(shè)x1，y1，求證xyxy.證明：由于x1，y1，要證xyxy，只需證xy(xy)1yx(xy)2.因?yàn)閥x(xy)2xy(xy)1(xy)21xy(xy)(xy)(xy1)(xy1)(xy)(xy1)(xy1)(xyxy1)(xy1)(x1)(y1)，因?yàn)閤1，y1，所以(xy1)(x1)(y1)0，從而所要證明的不等式成立2.設(shè)不等式|2x1|1的解集為M.(1)求集合M.(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小解：(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.3.已知a，b，c，d均為正數(shù)，且adbc.(1)證明：若ad>bc，則|ad|>|bc|；(2)t·，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：(1)證明：由ad>bc，且a，b，c，d均為正數(shù)，得(ad)2>(bc)2，又adbc，所以(ad)2>(bc)2，即|ad|>|bc|.(2)因?yàn)?a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以t·t(acbd)由于ac，bd，又已知t·，則t(acbd)(acbd)，故t，當(dāng)且僅當(dāng)ac，bd時取等號.全國卷5年真題集中演練明規(guī)律1(2017·全國卷)已知a>0，b>0，a3b32.證明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.證明：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.2(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時，|ab|<|1ab|.解：(1)f(x)當(dāng)x時，由f(x)<2得2x<2，解得x>1，所以1<x；當(dāng)<x<時，f(x)<2恒成立；當(dāng)x時，由f(x)<2得2x<2，解得x<1，所以x<1.所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0.因此|ab|<|1ab|. 課時達(dá)標(biāo)檢測 1(2018·武漢調(diào)研)若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab，求證：1.證明：要證 1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立，原不等式成立2已知函數(shù)f(x)|x3|x1|，其最小值為t.(1)求t的值；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿足abt，求證：.解：(1)因?yàn)閨x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)證明：由(1)得ab4，故1，121，當(dāng)且僅當(dāng)b2a，即a，b時取等號，故.3設(shè)不等式2<|x1|x2|<0的解集為M，a，bM.(1)證明：<；(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說明理由解：(1)證明：記f(x)|x1|x2|由2<2x1<0解得<x<，則M.所以|a|b|<××.(2)由(1)得a2<，b2<.因?yàn)閨14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)>0.所以|14ab|2>4|ab|2，故|14ab|>2|ab|.4(2018·廣州模擬)已知x，y，z(0，)，xyz3.(1)求的最小值；(2)證明：3x2y2z2<9.解：(1)因?yàn)閤yz3>0，>0，所以(xyz)9，即3，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時，取得最小值3.(2)證明：x2y2z23，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時等號成立又因?yàn)閤2y2z29x2y2z2(xyz)22(xyyzzx)<0，所以3x2y2z2<9.5(2018·安徽百所重點(diǎn)高中模擬)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)|2xa|21的最小值為2.(1)求ab的值；(2)求證：alog33b.解：(1)因?yàn)閒(x)|2xa|2xb|1|2xa(2xb)|1|ab|1，當(dāng)且僅當(dāng)(2xa)(2xb)0時，等號成立，又a>0，b>0，所以|ab|ab，所以f(x)的最小值為ab12，所以ab1.(2)由(1)知，ab1，所以(ab)1452 9，當(dāng)且僅當(dāng)且ab1，即a，b時取等號所以log3log392，所以ablog3123，即alog33b.6(2018·長沙模擬)設(shè)，均為實(shí)數(shù)(1)證明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，證明：|cos |cos |cos |1.證明：(1)|cos()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2018·安徽安師大附中、馬鞍山二中階段測試)已知函數(shù)f(x)|x2|.(1)解不等式：f(x)f(x1)2；(2)若a<0，求證：f(ax)af(x)f(2a)解：(1)由題意，得f(x)f(x1)|x1|x2|.因此只要解不等式|x1|x2|2.當(dāng)x1時，原不等式等價于2x32，即x1；當(dāng)1<x2時，原不等式等價于12，即1<x2；當(dāng)x>2時，原不等式等價于2x32，即2<x.綜上，原不等式的解集為.(2)證明：由題意得f(ax)af(x)|ax2|a|x2|ax2|2aax|ax22aax|2a2|f(2a)，所以f(ax)af(x)f(2a)成立8(2018·重慶模擬)設(shè)a，b，cR且abc1.求證：(1)2abbcca；(2)2.證明：(1)因?yàn)?(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立所以abc2a2b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立23