（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形 1 第1講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教學案

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1、 第四章 三角函數(shù)、解三角形 知識點 最新考綱 任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù) 了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算． 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義及其圖象與性質，了解三角函數(shù)的周期性. 同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式 理解同角三角函數(shù)的基本關系，掌握正弦、余弦、正切的誘導公式. 兩角和與差的正弦、余弦及正切公式 掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 簡單的三角恒等變換 掌握簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明. 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應用 了解函數(shù)

2、y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響. 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其應用. 第1講　任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1．任意角的概念 (1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)角的分類 按旋轉方向 正角 按逆時針方向旋轉而成的角 負角 按順時針方向旋轉而成的角 零角 射線沒有旋轉 按終邊位置 前提：角的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合 按終邊位置 象限角 角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角 其他

3、 角的終邊落在坐標軸上 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制 (1)定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad. (2)公式 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝ 角度與弧度的換算 1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′ 弧長公式 l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定 義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，記作sin α x叫做α的余弦，記

4、作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 負 負 Ⅲ 負 負 正 Ⅳ 負 正 負 口訣 一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角 函數(shù)線 有向線段MP為正弦線，有向線段OM為余弦線，有向線段AT為正切線 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角．(　　) (2)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置無關．(　　) (3)不相等的角終邊一定不相同．(　　) (4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　) (5)若α∈，則t

5、an α＞sin α.(　　) (6)若α為第一象限角，則sin α＋cos α＞1.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√ [教材衍化] 1．(必修4P10A組T7改編)角－225°＝________弧度，這個角在第________象限． 答案：－　二 2．(必修4P15練習T2改編)設角θ的終邊經(jīng)過點P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________． 解析：由已知并結合三角函數(shù)的定義，得sin θ＝－， cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－＝. 答案： 3．(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這

6、條弦所對的圓心角大小為________弧度． 答案： [易錯糾偏] (1)終邊相同的角理解出錯； (2)三角函數(shù)符號記憶不準； (3)求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限． 1．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z)　　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：選C.與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．故選C. 2．若sin α<0，且tan α>0，則α是第____象限角． 解析：由sin α<0知α的終邊在第三、第四象

7、限或y軸的負半軸上；由tan α>0知α的終邊在第一或第三象限，故α是第三象限角． 答案：三 3．已知角α的終邊在直線y＝－x上，且cos α<0，則tan α＝________． 解析：如圖，由題意知，角α的終邊在第二象限，在其上任取一點P(x，y)，則y＝－x，由三角函數(shù)的定義得tan α＝＝＝－1. 答案：－1 　　　　　　象限角及終邊相同的角 (1)若角α是第二象限角，則是(　　) A．第一象限角　　　　　　　　 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 (2)若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－x上，則

8、角α的取值集合是(　　) A. B. C. D. (3)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________． 【解析】　(1)因為α是第二象限角，所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當k為偶數(shù)時，是第一象限角； 當k為奇數(shù)時，是第三象限角． (2)根據(jù)題意，角α的終邊在直線y＝－x上， α為第二象限角時，α＝＋2kπ＝(2k＋1)π－，k∈Z； α為第四象限角時，α＝＋2kπ＝(2k＋2)π－，k∈Z； 綜上，角α的取值集合是.故選D. (3)如圖，在坐標系中畫出直線y＝x，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在[0，

9、2π)內，終邊在直線y＝x上的角有兩個：，π；在[－2π，0)內滿足條件的角有兩個：－π，－π，故滿足條件的角α構成的集合為. 【答案】　(1)C　(2)D　(3) (1)表示區(qū)間角集合的三個步驟 (2)求或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法 ①將θ的范圍用不等式(含有k)表示． ②兩邊同除以n或乘以n. ③對k進行討論，得到或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．　 1．在－720°～0°范圍內所有與45°終邊相同的角為________． 解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 則令－720°≤45°＋k×360

10、°<0°， 得－765°≤k×360°<－45°，解得－≤k<－， 從而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315° 2．若sin α·tan α<0，且<0，則α是第________象限角． 解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限角；由<0，可知cos α，tan α異號，從而α為第三或第四象限角．綜上，α為第三象限角． 答案：三 　　　　　　扇形的弧長、面積公式 已知扇形的圓心角是α ，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l； (2)

11、若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 【解】　(1)α＝60°＝， l＝10×＝(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20，則l＝20－2R， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當R＝5時，S取得最大值25， 此時l＝10 cm，α＝2 rad. 弧長、扇形面積問題的解題策略 (1)明確弧度制下弧長公式是l＝|α|r，扇形的面積公式是S＝lr＝|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)． (2)求扇形面積的關鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量． [提醒]　運用弧度制下

12、有關弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度制．　 1．已知扇形的半徑是2，面積為8，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　) A．4　　　　　　　　　　　　 B．2 C．8 D．1 解析：選A.設扇形的弧長為l，則l·2＝8， 即l＝8，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為＝4. 2．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的，則扇形的弧長與圓周長之比為________． 解析：設圓的半徑為r，則扇形的半徑為，記扇形的圓心角為α，則＝， 所以α＝.所以扇形的弧長與圓周長之比為＝＝. 答案： 　　　　　　三角函數(shù)的定義(高頻考點) 三角函數(shù)的

13、定義是高考的常考內容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較?。饕}角度有： (1)利用三角函數(shù)定義求值； (2)判斷三角函數(shù)值的符號； (3)利用三角函數(shù)線解三角不等式； (4)三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新． 角度一　利用三角函數(shù)定義求值 已知α是第二象限的角，其終邊的一點為P(x，)，且cos α＝x，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】　因為α是第二象限的角，其終邊上的一點為P(x，)，且cos α＝x，所以x＜0，cos α＝＝x，解得x＝－，所以tan α＝＝－. 【答案】　D 角度二　判斷三角函數(shù)值的符號 若tan α>0，則(

14、　　) A．sin α>0 B．cos α>0 C．sin 2α>0 D．cos 2α>0 【解析】　因為tan α＞0，所以α∈(k∈Z)是第一、三象限角． 所以sin α，cos α都可正、可負，排除A，B. 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 結合正弦函數(shù)圖象可知，C正確． 取α＝，則tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正確． 【答案】　C 角度三　利用三角函數(shù)線解不等式 函數(shù)y＝ 的定義域為________． 【解析】　由題意，得sin x≥，作直線y＝交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角x

15、的終邊的范圍，故滿足條件的角x的集合為. 【答案】　，k∈Z 角度四　三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新 (2020·臺州質檢)如圖所示，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點P到x軸的距離d關于時間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 【解析】　因為P0(，－)，所以∠P0Ox＝－. 因為角速度為1，所以按逆時針旋轉時間t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－. 由三角函數(shù)定義，知點P的縱坐標為2sin， 因此d＝2. 令t＝0，則d＝2＝. 當t＝時，d＝0，故選C. 【答案】　C (1)定義法求三角函數(shù)值的三種情況 ①已知角α終

16、邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值．先求P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解． ②已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值． ③已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標． (2)三角函數(shù)值的符號及角的位置的判斷 已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cos α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況． [提醒]　若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況(點所在象限不同)

17、．　 1．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標原點，角α終邊上的一點P到原點的距離為，若α＝，則點P的坐標為(　　) A．(1，)　　　　　　　　　　 B．(，1) C．(，) D．(1，1) 解析：選D.設點P的坐標為(x，y)， 則由三角函數(shù)的定義得 即 故點P的坐標為(1，1)． 2．已知角α的終邊經(jīng)過點P(－，m)，且sin α＝m(m≠0)，則角α為第________象限角． 解析：依題意，點P到原點O的距離為 r＝ ＝， 所以sin α＝， 又因為sin α＝m，m≠0， 所以＝m， 所以m2＝，所以m＝±. 所以點P在第二或第三

18、象限． 答案：二或三 [基礎題組練] 1．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 解析：選C.設扇形的半徑為r，弧長為l，則由扇形面積公式可得2＝lr＝r2α＝r2×4，求得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6. 2．若角α與β的終邊相同，則角α－β的終邊(　　) A．在x軸的正半軸上 B．在x軸的負半軸上 C．在y軸的負半軸上 D．在y軸的正半軸上 解析：選A.由于角α與β的終邊相同， 所以α＝k·360°＋β(k∈Z)，從而α－β＝k·360°(k∈Z)，

19、此時角α－β的終邊在x軸正半軸上． 3．已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：選B.因為r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m＞0，所以＝，因此m＝. 4．集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是(　　) 解析：選C.當k＝2n時，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此時α的終邊和≤α≤的終邊一樣．當k＝2n＋1時，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此時α的終邊和π＋≤α≤π＋的終邊一樣．故選C. 5．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為(　　

20、) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：選B.由α＝2kπ－(k∈Z)及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同，所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1.故選B. 6.已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從點A出發(fā)，P沿直線l勻速向右，Q沿圓周按逆時針方向以相同的速率運動，當點Q運動到如圖所示的位置時，點P也停止運動，連接OQ，OP，則陰影部分的面積S1，S2的大小關系是(　　) A．S1≥S2 B．S1≤S2 C．S1＝S2 D．先S1

21、1>S2 解析：選C.因為圓O與直線l相切，所以OA⊥AP， 所以S扇形AOQ＝··r＝··OA，S△AOP＝OA·AP，因為＝AP， 所以S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ－S扇形AOB＝S△AOP－S扇形AOB，則S1＝S2.故選C. 7.如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，則cos α＝________． 解析：因為A點縱坐標yA＝，且A點在第二象限，又因為圓O為單位圓，所以A點橫坐標xA＝－，由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案：－ 8．已知點P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，則角θ是第_____

22、___象限角． 解析：因為點P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即所以θ為第二象限角． 答案：二 9．函數(shù)y＝的定義域為________． 解析：因為2cos x－1≥0， 所以cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影部分所示)． 所以x∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)． 答案：(k∈Z) 10．已知角α的終邊上有一點的坐標為，若α∈(－2π，2π)，則所有的α組成的集合為________． 解析：因為角α的終邊上有一點的坐標為，所以角α為第四象限角，且tan α＝－，即α＝－＋2k

23、π，k∈Z，因此落在(－2π，2π)內的角α的集合為. 答案： 11．已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值． 解：因為θ的終邊過點(x，－1)(x≠0)，所以tan θ＝－. 又tan θ＝－x，所以x2＝1，即x＝±1. 當x＝1時，sin θ＝－，cos θ＝. 因此sin θ＋cos θ＝0； 當x＝－1時，sin θ＝－，cos θ＝－， 因此sin θ＋cos θ＝－.故sin θ＋cos θ的值為0或－. 12．已知扇形AOB的周長為8. (1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大??； (2)求這個扇形

24、的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB. 解：設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得解得或 所以α＝＝或α＝＝6. (2)因為2r＋l＝8， 所以S扇＝lr＝l·2r ≤()2＝×()2＝4， 當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值4.所以圓心角α＝2，弦長AB＝2sin 1×2＝4sin 1. [綜合題組練] 1．若－＜α＜－，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin α，cos α，tan α的大小是(　　) A．sin α＜tan α＜cos α B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜cos α＜tan α

25、D．tan α＜sin α＜cos α 解析：選C.如圖所示，作出角α的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可得，AT＞OM＞MP，故有sin α＜cos α＜tan α. 2．已知θ∈[0，π)，若對任意的x∈[－1，0]，不等式x2cos θ＋(x＋1)2sin θ＋x2＋x>0恒成立，則實數(shù)θ的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由題意知，令f(x)＝(cos θ＋sin θ＋1)·x2＋(2sin θ＋1)x＋sin θ>0，因為cos θ＋sin θ＋1≠0，所以f(x)>0在[－1，0]上恒成立，只需滿足 ?? θ∈，故選A. 3

26、．若兩個圓心角相同的扇形的面積之比為1∶4，則這兩個扇形的周長之比為________． 解析：設兩個扇形的圓心角的弧度數(shù)為α，半徑分別為r，R(其中r＜R)，則＝， 所以r∶R＝1∶2，兩個扇形的周長之比為＝1∶2. 答案：1∶2 4．已知x∈R，則使sin x>cos x成立的x的取值范圍是________． 解析：在[0，2π]區(qū)間內，由三角函數(shù)線可知，當x∈(，)時，sin x>cos x，所以在(－∞，＋∞)上使sin x>cos x成立的x的取值范圍是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z. 答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z 5．若角θ的終邊過點P(－4a，3a)(a≠0)

27、． (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)試判斷cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號． 解：(1)因為角θ的終邊過點P(－4a，3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|， 當a＞0時，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－. 當a＜0時，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝. (2)當a＞0時，sin θ＝∈， cos θ＝－∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ·sin＜0； 當a＜0時，sin θ＝－∈， cos θ＝∈， 則cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos·sin ＞0. 綜上，當

28、a＞0時，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符號為負；當a＜0時，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符號為正． 6．設α為銳角，求證：1OP， 所以sin α＋cos α>1.① 而S△OPB＝OB·RP＝cos α， S△OAP＝OA·QP＝sin α， S扇形OAB＝×1×＝. 又因為四邊形OAPB被扇形OAB覆蓋， 所以S△OPB＋S△OAP