（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 1 第1講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教學(xué)案

第四章 三角函數(shù)、解三角形知識(shí)點(diǎn)最新考綱任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù) 了解角、角度制與弧度制的概念，掌握弧度與角度的換算 理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義及其圖象與性質(zhì)，了解三角函數(shù)的周期性.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.兩角和與差的正弦、余弦及正切公式掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式.簡單的三角恒等變換掌握簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明.函數(shù)yAsin(x)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用了解函數(shù)yAsin(x)的實(shí)際意義，掌握yAsin(x)的圖象，了解參數(shù)A，對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用.第1講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角的概念(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)方向正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角零角射線沒有旋轉(zhuǎn)按終邊位置前提：角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合按終邊位置象限角角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角其他角的終邊落在坐標(biāo)軸上(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ2弧度制(1)定義：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|角度與弧度的換算1°rad，1 rad°57°18弧長公式l|r扇形面積公式Slr|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定 義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin x叫做的余弦，記作cos 叫做的正切，記作tan 各象限符號(hào)正正正正負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)正負(fù)正負(fù)口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線，有向線段OM為余弦線，有向線段AT為正切線疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等()(5)若，則tan sin .()(6)若為第一象限角，則sin cos 1.()答案：(1)×(2)(3)×(4)(5)(6)教材衍化1(必修4P10A組T7改編)角225°_弧度，這個(gè)角在第_象限答案：二2(必修4P15練習(xí)T2改編)設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，3)，那么2cos sin _解析：由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin ，cos ，所以2cos sin 2×.答案：3(必修4P10A組T6改編)一條弦的長等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_弧度答案：易錯(cuò)糾偏(1)終邊相同的角理解出錯(cuò)；(2)三角函數(shù)符號(hào)記憶不準(zhǔn)；(3)求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限1下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45°(kZ)Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk(kZ)解析：選C.與的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確故選C.2若sin <0，且tan >0，則是第_象限角解析：由sin <0知的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上；由tan >0知的終邊在第一或第三象限，故是第三象限角答案：三3已知角的終邊在直線yx上，且cos <0，則tan _解析：如圖，由題意知，角的終邊在第二象限，在其上任取一點(diǎn)P(x，y)，則yx，由三角函數(shù)的定義得tan 1.答案：1象限角及終邊相同的角 (1)若角是第二象限角，則是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角(2)若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線yx上，則角的取值集合是()A. B.C. D.(3)終邊在直線yx上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為_【解析】(1)因?yàn)槭堑诙笙藿?，所?k2k，kZ，所以kk，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角(2)根據(jù)題意，角的終邊在直線yx上，為第二象限角時(shí)，2k(2k1)，kZ；為第四象限角時(shí)，2k(2k2)，kZ；綜上，角的取值集合是.故選D.(3)如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0，2)內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)：，；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為.【答案】(1)C(2)D(3) (1)表示區(qū)間角集合的三個(gè)步驟(2)求或n(nN*)所在象限(位置)的方法將的范圍用不等式(含有k)表示兩邊同除以n或乘以n.對(duì)k進(jìn)行討論，得到或n(nN*)所在的象限(位置) 1在720°0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為_解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為：45°k×360°(kZ)，則令720°45°k×360°<0°，得765°k×360°<45°，解得k<，從而k2或k1，代入得675°或315°.答案：675°或315°2若sin ·tan <0，且<0，則是第_象限角解析：由sin ·tan <0可知sin ，tan 異號(hào)，從而為第二或第三象限角；由<0，可知cos ，tan 異號(hào)，從而為第三或第四象限角綜上，為第三象限角答案：三扇形的弧長、面積公式 已知扇形的圓心角是 ，半徑為R，弧長為l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長l；(2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？【解】(1)60°，l10×(cm)(2)由已知得，l2R20，則l202R，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10 cm，2 rad.弧長、扇形面積問題的解題策略(1)明確弧度制下弧長公式是l|r，扇形的面積公式是Slr|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，是扇形的圓心角)(2)求扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量提醒運(yùn)用弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積公式的前提是角的度量單位為弧度制 1已知扇形的半徑是2，面積為8，則此扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A4 B2C8 D1解析：選A.設(shè)扇形的弧長為l，則l·28，即l8，所以扇形的圓心角的弧度數(shù)為4.2一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的，則扇形的弧長與圓周長之比為_解析：設(shè)圓的半徑為r，則扇形的半徑為，記扇形的圓心角為，則，所以.所以扇形的弧長與圓周長之比為.答案：三角函數(shù)的定義(高頻考點(diǎn))三角函數(shù)的定義是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題、填空題的形式考查，難度較小主要命題角度有：(1)利用三角函數(shù)定義求值；(2)判斷三角函數(shù)值的符號(hào)；(3)利用三角函數(shù)線解三角不等式；(4)三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新角度一利用三角函數(shù)定義求值 已知是第二象限的角，其終邊的一點(diǎn)為P(x，)，且cos x，則tan ()A. B.C D【解析】因?yàn)槭堑诙笙薜慕?，其終邊上的一點(diǎn)為P(x，)，且cos x，所以x0，cos x，解得x，所以tan .【答案】D角度二判斷三角函數(shù)值的符號(hào) 若tan >0，則()Asin >0 Bcos >0Csin 2>0 Dcos 2>0【解析】因?yàn)閠an 0，所以(kZ)是第一、三象限角所以sin ，cos 都可正、可負(fù)，排除A，B.而2(2k，2k)(kZ)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可知，C正確取，則tan 1>0，而cos 20，故D不正確【答案】C角度三利用三角函數(shù)線解不等式 函數(shù)y 的定義域?yàn)開【解析】由題意，得sin x，作直線y交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角x的終邊的范圍，故滿足條件的角x的集合為.【答案】，kZ角度四三角函數(shù)定義中的創(chuàng)新 (2020·臺(tái)州質(zhì)檢)如圖所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0(，)，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸的距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為()【解析】因?yàn)镻0(，)，所以P0Ox.因?yàn)榻撬俣葹?，所以按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)間t后，得POP0t，所以POxt.由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin，因此d2.令t0，則d2.當(dāng)t時(shí)，d0，故選C.【答案】C (1)定義法求三角函數(shù)值的三種情況已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角的三角函數(shù)值先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解已知角的某三角函數(shù)值，可求角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)(2)三角函數(shù)值的符號(hào)及角的位置的判斷已知一角的三角函數(shù)值(sin ，cos ，tan )中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況提醒若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同) 1已知角的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A(1，) B(，1)C(，) D(1，1)解析：選D.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得即故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)2已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(，m)，且sin m(m0)，則角為第_象限角解析：依題意，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r ，所以sin ，又因?yàn)閟in m，m0，所以m，所以m2，所以m±.所以點(diǎn)P在第二或第三象限答案：二或三基礎(chǔ)題組練1已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A2 B4C6 D8解析：選C.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則由扇形面積公式可得2lrr2r2×4，求得r1，lr4，所以所求扇形的周長為2rl6.2若角與的終邊相同，則角的終邊()A在x軸的正半軸上 B在x軸的負(fù)半軸上C在y軸的負(fù)半軸上 D在y軸的正半軸上解析：選A.由于角與的終邊相同，所以k·360°(kZ)，從而k·360°(kZ)，此時(shí)角的終邊在x軸正半軸上3已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為()A B.C D.解析：選B.因?yàn)閞，所以cos ，所以m0，所以，因此m.4集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析：選C.當(dāng)k2n時(shí)，2n2n(nZ)，此時(shí)的終邊和的終邊一樣當(dāng)k2n1時(shí)，2n2n(nZ)，此時(shí)的終邊和的終邊一樣故選C.5已知角2k(kZ)，若角與角的終邊相同，則y的值為()A1 B1C3 D3解析：選B.由2k(kZ)及終邊相同的概念知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角是第四象限角，所以sin <0，cos >0，tan <0.所以y1111.故選B.6.已知圓O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，P沿直線l勻速向右，Q沿圓周按逆時(shí)針方向以相同的速率運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)，連接OQ，OP，則陰影部分的面積S1，S2的大小關(guān)系是()AS1S2BS1S2CS1S2D先S1<S2，再S1S2，最后S1>S2解析：選C.因?yàn)閳AO與直線l相切，所以O(shè)AAP，所以S扇形AOQ··r··OA，SAOPOA·AP，因?yàn)锳P，所以S扇形AOQSAOP，即S扇形AOQS扇形AOBSAOPS扇形AOB，則S1S2.故選C.7.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos _解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA，且A點(diǎn)在第二象限，又因?yàn)閳AO為單位圓，所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA，由三角函數(shù)的定義可得cos .答案：8已知點(diǎn)P(sin cos ，2cos )位于第三象限，則角是第_象限角解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos <0，2cos <0，即所以為第二象限角答案：二9函數(shù)y的定義域?yàn)開解析：因?yàn)?cos x10，所以cos x.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影部分所示)所以x2k，2k(kZ)答案：(kZ)10已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，若(2，2)，則所有的組成的集合為_解析：因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以角為第四象限角，且tan ，即2k，kZ，因此落在(2，2)內(nèi)的角的集合為.答案：11已知角的終邊上有一點(diǎn)P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：因?yàn)榈慕K邊過點(diǎn)(x，1)(x0)，所以tan .又tan x，所以x21，即x±1.當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos .因此sin cos 0；當(dāng)x1時(shí)，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值為0或.12已知扇形AOB的周長為8.(1)若這個(gè)扇形的面積為3，求圓心角的大??；(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長AB.解：設(shè)扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為，(1)由題意可得解得或所以或6.(2)因?yàn)?rl8，所以S扇lrl·2r()2×()24，當(dāng)且僅當(dāng)2rl，即2時(shí)，扇形面積取得最大值4.所以圓心角2，弦長AB2sin 1×24sin 1.綜合題組練1若，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 解析：選C.如圖所示，作出角的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，觀察可得，ATOMMP，故有sin cos tan .2已知0，)，若對(duì)任意的x1，0，不等式x2cos (x1)2sin x2x>0恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選A.由題意知，令f(x)(cos sin 1)·x2(2sin 1)xsin >0，因?yàn)閏os sin 10，所以f(x)>0在1，0上恒成立，只需滿足，故選A.3若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為14，則這兩個(gè)扇形的周長之比為_解析：設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑分別為r，R(其中rR)，則，所以rR12，兩個(gè)扇形的周長之比為12.答案：124已知xR，則使sin x>cos x成立的x的取值范圍是_解析：在0，2區(qū)間內(nèi)，由三角函數(shù)線可知，當(dāng)x(，)時(shí)，sin x>cos x，所以在(，)上使sin x>cos x成立的x的取值范圍是(2k，2k)，kZ.答案：(2k，2k)，kZ5若角的終邊過點(diǎn)P(4a，3a)(a0)(1)求sin cos 的值；(2)試判斷cos(sin )·sin(cos )的符號(hào)解：(1)因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)P(4a，3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin cos .當(dāng)a0時(shí)，r5a，sin cos .(2)當(dāng)a0時(shí)，sin ，cos ，則cos(sin )·sin(cos )cos ·sin0；當(dāng)a0時(shí)，sin ，cos ，則cos(sin )·sin(cos )cos·sin 0.綜上，當(dāng)a0時(shí)，cos(sin )·sin(cos )的符號(hào)為負(fù)；當(dāng)a0時(shí)，cos(sin )·sin (cos )的符號(hào)為正6設(shè)為銳角，求證：1<sin cos <.證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出單位圓，設(shè)角的終邊為OP，過P作PQ垂直x軸于Q，PR垂直y軸于R，則sin QP，cos OQ.因?yàn)闉殇J角，在OPQ中，QPOQ>OP，所以sin cos >1.而SOPBOB·RPcos ，SOAPOA·QPsin ，S扇形OAB×1×.又因?yàn)樗倪呅蜲APB被扇形OAB覆蓋，所以SOPBSOAP<S扇形OAB，即sin cos <.由，得1<sin cos <.16