15、三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系．
1．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若＜cos A，則△ABC為( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形
C．銳角三角形 D．等邊三角形
解析：選A.已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sin Bcos A，所以sin(A＋B)＜sin Bcos A，即sin Bcos A＋cos Bsin A－sin Bcos A＜0，所以cos Bsin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B為鈍角，所以△ABC是鈍角三角形．
2．已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)
16、邊分別是a，b，c，若＋＝2c，則△ABC是( )
A．等邊三角形 B．銳角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
解析：選C.因?yàn)椋?c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sin A＝sin B時(shí)取等號(hào)，所以2sin C≥2，即sin C≥1.
又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因?yàn)閟in A＝sin B，可得A＝B，故三角形為等腰直角三角形，故選C.
與三角形面積有關(guān)的問題(高頻考點(diǎn))
求解與三角形面積有關(guān)的問題是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中檔題．主要命題角度有：
(1)求三
17、角形的面積；
(2)已知三角形的面積解三角形；
(3)求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題．
角度一 求三角形的面積
(1)(2020·臺(tái)州市高考模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝1，2b－c＝2acos C，sin C＝，則△ABC的面積為( )
A. B.
C.或 D.或
(2)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則△BDC的面積是________，cos∠BDC＝________．
【解析】 (1)因?yàn)?b－c＝2acos C，
所以由正弦定理可得2sin B－ sin C＝
18、2sin Acos C，
所以2sin(A＋C)－sin C＝2sin Acos C，
所以2cos Asin C＝sin C，
所以cos A＝，所以A＝30°，
因?yàn)閟in C＝，所以C＝60°或120°.
A＝30°，C＝60°，B＝90°，a＝1，
所以△ABC的面積為×1×2×＝，
A＝30°，C＝120°，B＝30°，a＝1，
所以△ABC的面積為×1×1×＝，故選C.
(2)在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，則sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BCsin∠CBD＝.因?yàn)锽D＝BC＝2，所以∠CDB＝∠
19、ABC，則cos∠CDB＝ ＝.
【答案】 (1)C (2)
角度二 已知三角形的面積解三角形
(1)(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長依次為a、b、c，若△ABC的面積為S，且S＝a2－(b－c)2，則＝________．
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
①求tan C的值；
②若△ABC的面積為3，求b的值．
【解】 (1)因?yàn)椤鰽BC的面積為S，且S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝bc·sin A，
所以由余弦定理可得－2bc·cos A＋2bc＝bc·si
20、n A，
所以4－4cos A＝sin A，
所以＝＝4.故填4.
(2)①由b2－a2＝c2及正弦定理得
sin2B－＝sin2C，
所以－cos 2B＝sin2C.
又由A＝，即B＋C＝π，得
－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，
解得tan C＝2.
②由tan C＝2，C∈(0，π)，得
sin C＝，cos C＝.
因?yàn)閟in B＝sin(A＋C)＝sin，
所以sin B＝.
由正弦定理得c＝，
又因?yàn)锳＝，bcsin A＝3，
所以bc＝6，
故b＝3.
角度三 求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題
(1)(2020·浙
21、江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，其面積滿足S△ABC＝a2，則的最大值為( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
(2)(2020·紹興市一中期末檢測)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且acos C－c＝b.
①求角A的大?。?
②若a＝3，求△ABC的周長l的取值范圍．
【解】 (1)選C.根據(jù)題意，有S△ABC＝a2＝bcsin A，應(yīng)用余弦定理，可得b2＋c2－2bccos A＝2bcsin A，令t＝，于是t2＋1－2tcos A＝2tsin A．于是2tsin A＋2tcos A＝t2＋1，所以2s
22、in＝t＋，從而t＋≤2，解得t的最大值為＋1.
(2)①由acos C－c＝b得
sin Acos C－sin C＝sin B，
又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin C＝－cos Asin C，
因?yàn)閟in C≠0，
所以cos A＝－，
又0＜A＜π，所以A＝.
②由正弦定理得b＝＝2sin B，c＝2sin C，
l＝a＋b＋c＝3＋2(sin B＋sin C)
＝3＋2[sin B＋sin(A＋B)]
＝3＋2
＝3＋2sin，
因?yàn)锳＝，所以B∈，
所以B＋∈，
所以sin∈，
則△ABC的周長l的
23、取值范圍為(6，3＋2 ]．
與三角形面積有關(guān)問題的解題策略
(1)求三角形的面積．對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式．
(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．
(3)求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題．一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解．
1．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且B為銳角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，則b的值為________．
24、
解析：由＝?＝?a＝c，①
由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②
聯(lián)立①②解得a＝5，c＝2，由sin B＝且B為銳角知cos B＝，由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.
答案：
2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，則S的最大值為________．
解析：由題意得4×bcsin A＝a2－b2－c2＋2bc，
又a2＝b2＋c2－2bccos A，代入上式得2bcsin A＝－2bccos A＋2bc，即sin A＋cos A＝1，sin＝1，又0
25、
26、D面積的比值為
＝1.
又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面積為.
核心素養(yǎng)系列9 數(shù)學(xué)運(yùn)算——三角形中最值問題
一、求角的三角函數(shù)值的取值
若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C 的最小值是________．
【解析】 由sin A＋sin B＝2sin C，結(jié)合正弦定理可得a＋b＝2c，所以cos C＝＝－≥( a＝ b時(shí)取等號(hào))，故cos C的最小值是.
【答案】
在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
【解】 (1)由余弦定理和已知
27、條件可得
cos B＝＝＝，
又因?yàn)?
28、線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，BD的最大值為________．
【解析】 (1)因?yàn)椋剑剑剑訟B＝2sin C，BC＝2sin A，因此AB＋2BC＝2sin C＋4sin A＝2sin＋4sin A＝5sin A＋cos A＝2sin(A＋φ)，
因?yàn)棣铡?0，2π)，A∈，所以AB＋2BC的最大值為2.
(2)設(shè)∠ACB＝θ，則∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝＝2cos θ，由余弦定理知，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，
29、即BD2＝4cos2θ＋1－2×1×2cos θ·cos＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3.由0<θ<，可得<2θ＋<，則＝2＋3，此時(shí)θ＝，因此(BD)max＝＋1.
【答案】 (1)2 (2)＋1
邊的最值一般通過三角形中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解．有時(shí)也可利用均值不等式求解．
三、求三角形函數(shù)的最值
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccos B＝2a＋b，若△ABC的面積S＝c，則ab的最小值為________．
【解析】 在△ABC中，2ccos B＝2a＋b，由正弦定理，得2sin Ccos B
30、＝2sin A＋sin B．又A＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，
得2sin Bcos C＋sin B＝0，因?yàn)閟in B≠0，所以cos C＝－，又0
31、式，結(jié)合三角形的面積公式及正、余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系，利用函數(shù)或不等式是解決此類問題的一種常規(guī)方法．
[基礎(chǔ)題組練]
1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，則cos C＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：選B.由題意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故選B.
2．已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若3bcos C＝c(1－3cos B)，則sin C∶sin A＝( )
A．2∶3 B．4∶3
C．3∶1 D．3∶2
解析：選C.
32、由正弦定理得3sin Bcos C＝sin C－3sin Ccos B，3sin(B＋C)＝sinC，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sin A＝sin C，所以sin C∶sin A＝3∶1，選C.
3．在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，則b的值為( )
A．6 B．3
C．2 D．2或3
解析：選D.因?yàn)镾△ABC＝2＝bcsin A，
所以bc＝6，又因?yàn)閟in A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3
33、.
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsin A－acos B＝0，且b2＝ac，則的值為( )
A. B.
C．2 D．4
解析：選C.在△ABC中，由bsin A－acos B＝0，
利用正弦定理得sin Bsin A－sin Acos B＝0，
所以tan B＝，故B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，
即b2＝(a＋c)2－3ac，
又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.
5．(2020·杭州市高三期末檢測)設(shè)點(diǎn)P在△ABC的邊BC所在的直線上從左到右運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABP與△ACP
34、的外接圓面積之比為λ，當(dāng)點(diǎn)P不與B，C重合時(shí)( )
A．λ先變小再變大
B．當(dāng)M為線段BC中點(diǎn)時(shí)，λ最大
C．λ先變大再變小
D．λ是一個(gè)定值
解析：選D.設(shè)△ABP與△ACP的外接圓半徑分別為r1，r2，則2r1＝，2r2＝，
因?yàn)椤螦PB＋∠APC＝180°，
所以sin∠APB＝sin∠APC，
所以＝，
所以λ＝＝.故選D.
6．在△ABC中，·＝|－|＝3，則△ABC面積的最大值為( )
A. B.
C. D．3
解析：選B.設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
因?yàn)椤ぃ絴－|＝3，
所以bccos A＝a＝3.
35、又cos A＝≥1－＝1－，
所以cos A≥，所以0
36、理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos A
＝25＋64－2×5×8×cos＝49，所以BC＝7.
答案：7
9．(2020·溫州市高考模擬)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，記S為△ABC的面積，若A＝60°，b＝1，S＝，則c＝________，cos B＝________．
解析：因?yàn)锳＝60°，b＝1，S＝＝bcsin A＝×1×c×，所以解得c＝3.
由余弦定理可得a＝＝
＝，
所以cos B＝＝＝.
答案：3
10．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考模擬)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，acos B＝bcos A
37、，4S＝2a2－c2，其中S是△ABC的面積，則C的大小為________．
解析：△ABC中，acos B＝bcos A，
所以sin Acos B＝sin Bcos A，
所以sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，
所以A＝B，所以a＝b；
又△ABC的面積為S＝absin C，
且4S＝2a2－c2，
所以2absin C＝2a2－c2＝a2＋b2－c2，
所以sin C＝＝cos C，
所以C＝.
答案：
11．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1
38、)求角A的大??；
(2)若sin B＋sin C＝1，試判斷△ABC的形狀．
解：(1)由題意知，
根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc.①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，
A＝120°.
(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.
因?yàn)?°
39、 A＝3.
(1)求tan B及邊長a的值；
(2)若△ABC的面積S＝9，求△ABC的周長．
解：(1)在△ABC中，acos B＝4，bsin A＝3，
兩式相除，有＝＝tan B＝，
又acos B＝4，所以cos B>0，則cos B＝，故a＝5.
(2)由(1)知，sin B＝，
由S＝acsin B＝9，得c＝6.
由b2＝a2＋c2－2accos B＝13，得b＝.
故△ABC的周長為11＋.
[綜合題組練]
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若b＝1，a＝2c，則當(dāng)C取最大值時(shí)，△ABC的面積為( )
A. B.
C. D
40、.
解析：選B.當(dāng)C取最大值時(shí)，cos C最小，
由cos C＝＝＝≥，
當(dāng)且僅當(dāng)c＝時(shí)取等號(hào)，
且此時(shí)sin C＝，
所以當(dāng)C取最大值時(shí)，
△ABC的面積為absin C＝×2c×1×＝.
2．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，則c的最小值為( )
A．2 B．3
C．2 D．2
解析：選B.由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因?yàn)閎∈[1，3]，所以當(dāng)b＝時(shí)，c取最小值3.
3．已知在銳角△
41、ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，2asin B＝b，b＝2，c＝3，AD是內(nèi)角的平分線，則BD＝________．
解析：由2asin B＝b及正弦定理得
2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.
因?yàn)椤螧AC為銳角，所以∠BAC＝.
因?yàn)锳D是內(nèi)角平分線，
所以＝＝＝.
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，
所以BC＝，BD＝.
答案：
4．(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)△ABC的面積為S1，它的外接圓面積為S2，若△ABC的三個(gè)內(nèi)角大小滿足A∶B∶C＝3∶4∶5，則的值為_____
42、_______．
解析：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
又A∶B∶C＝3∶4∶5，所以A＝，B＝，C＝π.
由正弦定理＝＝＝2R(a、b、c為△ABC中角A、B、C的對(duì)邊，R為△ABC的外接圓半徑)可得，a＝·c，b＝·c，R＝.
所以S1＝absin C＝···c2·sin C
＝sin A·sin B·sin C·，
S2＝πR2＝·，
所以＝＝＝.
答案：
5．(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)當(dāng)2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C時(shí)，求△ABC的面積；
(2)求△ABC周
43、長的最大值．
解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，
得2sin Acos A＝sin Bcos A，當(dāng)cos A＝0時(shí)，A＝，B＝，a＝，b＝，
當(dāng)cos A≠0時(shí)，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立，解得a＝，b＝.
故△ABC的面積為S△ABC＝absin C＝.
(2)由余弦定理及已知條件可得：a2＋b2－ab＝4，
由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周長的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)取到．
6．(2020·杭州市高考模擬)在△ABC中，
44、內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若msin A＝sin B＋sin C(m∈R)．
(1)當(dāng)m＝3時(shí)，求cos A的最小值；
(2)當(dāng)A＝時(shí)，求m的取值范圍．
解：(1)因?yàn)樵凇鰽BC中msin A＝sin B＋sin C，
當(dāng)m＝3時(shí)， 3sin A＝sin B＋sin C，
由正弦定理可得3a＝b＋c，
再由余弦定理可得cos A＝
＝
＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)，
故cos A的最小值為.
(2)當(dāng)A＝時(shí)，可得m＝sin B＋sin C，
故m＝sin B＋sin C
＝sin B＋sin
＝sin B＋
＝sin B＋cos B＋sin B
＝sin B＋cos B＝2sin，
因?yàn)锽∈，
所以B＋∈，
所以sin∈，
所以2sin∈(1，2]，
所以m的取值范圍為(1，2]．
23
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 7 第7講 正弦定理與余弦定理教學(xué)案
