（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 7 第7講 正弦定理與余弦定理教學(xué)案

第7講正弦定理與余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容2R(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C變形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos A；cos B；cos C2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Absin A<a<baba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin_Babsin C；(3)S，其中p(abc)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求邊c.()(2)在三角形中，已知兩角和一邊或已知兩邊和一角都能解三角形()(3)在ABC中，sin A>sin B的充分不必要條件是A>B.()(4)在ABC中，a2b2<c2是ABC為鈍角三角形的充分不必要條件()(5)在ABC的角A，B，C，邊長a，b，c中，已知任意三個(gè)可求其他三個(gè)()答案：(1)(2)(3)×(4)(5)×教材衍化1(必修5P10A組T4改編)在ABC中，AB5，AC3，BC7，則BAC()A.B.C. D.解析：選C.因?yàn)樵贏BC中，設(shè)ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因?yàn)锽AC為ABC的內(nèi)角，所以BAC.2(必修5P18練習(xí)T1改編)在ABC中，A60°，AC4，BC2，則ABC的面積等于_解析：因?yàn)椋詓in B1，所以B90°，所以AB2，所以SABC×2×22.答案：2易錯(cuò)糾偏(1)利用正弦定理求角時(shí)解的個(gè)數(shù)弄錯(cuò)；(2)在ABC中角與角的正弦關(guān)系弄錯(cuò)；(3)判斷三角形形狀時(shí)弄錯(cuò)1在ABC中，已知b40，c20，C60°，則此三角形的解的情況是()A有一解B有兩解C無解D有解但解的個(gè)數(shù)不確定解析：選C.由正弦定理得，所以sin B>1.所以角B不存在，即滿足條件的三角形不存在2在ABC中，若sin Asin B，則A，B的關(guān)系為_；若sin A>sin B，則A，B的關(guān)系為_解析：sin Asin BabAB；sin A>sin Ba>bA>B.答案：ABA>B3在ABC中，acos Abcos B，則這個(gè)三角形的形狀為_解析：由正弦定理，得sin Acos Asin BcosB，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形利用正弦、余弦定理解三角形(高頻考點(diǎn))利用正、余弦定理解三角形是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中檔題主要命題角度有：(1)由已知求邊和角；(2)三角恒等變換與解三角形角度一由已知求邊和角 (1)(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若3bcos Accos Aacos C，則tan A的值是()A2 BC2 D.(2)(2019·高考浙江卷)在ABC中，ABC90°，AB4，BC3，點(diǎn)D在線段AC上若BDC45°，則BD_，cosABD_【解析】(1)因?yàn)锳BC中，由余弦定理得ccos Aacos Cc×a×b.所以根據(jù)題意，3bcos Accos Aacos Cb，兩邊約去b，得3cos A1，所以cos A>0，所以A為銳角，且sin A，因此，tan A2.(2)在RtABC中，易得AC5，sin C.在BCD中，由正弦定理得BD×sinBCD×，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sin BCDcosBDCcosBCDsinBDC××.又ABDDBC，所以cosABDsinDBC.【答案】(1)C(2)角度二三角恒等變換與解三角形 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若cos B，求cos C的值【解】(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由cos B得sin B，cos 2B2cos2B1，故cos A，sin A，cos Ccos(AB)cos Acos Bsin Asin B. (變問法)本例條件不變，若ABC的面積S，求角A的大小解：由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因?yàn)閟in B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以C±B.當(dāng)BC時(shí)，A；當(dāng)CB時(shí)，A.綜上，A或A. (1)正、余弦定理的選用解三角形時(shí)，如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷 1ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，則C()A. B.C. D.解析：選B.因?yàn)閟in Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C·(sin Acos A)0，因?yàn)閟in C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因?yàn)锳(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0<C<，所以C.故選B.2(2020·紹興市一中高三期末檢測(cè))ABC中，D為線段BC的中點(diǎn)，AB2AC2，tanCADsinBAC，則BC_解析：由正弦定理可知2，又tanCADsinBAC，則sin(CADBAD)，利用三角恒等變形可化為cosBAC，據(jù)余弦定理BC.答案：利用正弦、余弦定理判定三角形的形狀 (1)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A直角三角形 B銳角三角形C鈍角三角形 D不確定(2)若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形【解析】(1)由正弦定理得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，則sin(BC)sin2A，由三角形內(nèi)角和，得sin(BC)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC為直角三角形(2)法一：利用邊的關(guān)系來判斷：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又因?yàn)閍2b2c2ab.所以2b2c2b2，所以b2c2，所以bc，所以abc.所以ABC為等邊三角形法二：利用角的關(guān)系來判斷：因?yàn)锳BC180°，所以sin Csin(AB)，又因?yàn)?cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因?yàn)锳與B均為ABC的內(nèi)角，所以AB，又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0°<C<180°，所以C60°，所以ABC為等邊三角形【答案】(1)A(2)D判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系；“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系 1在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若cos A，則ABC為()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D等邊三角形解析：選A.已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B為鈍角，所以ABC是鈍角三角形2已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若2c，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C等腰直角三角形 D鈍角三角形解析：選C.因?yàn)?c，所以由正弦定理可得2sin C，而22，當(dāng)且僅當(dāng)sin Asin B時(shí)取等號(hào)，所以2sin C2，即sin C1.又sin C1，故可得sin C1，所以C90°.又因?yàn)閟in Asin B，可得AB，故三角形為等腰直角三角形，故選C.與三角形面積有關(guān)的問題(高頻考點(diǎn))求解與三角形面積有關(guān)的問題是高考的熱點(diǎn)，三種題型在高考中時(shí)有出現(xiàn)，其試題為中檔題主要命題角度有：(1)求三角形的面積；(2)已知三角形的面積解三角形；(3)求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題角度一求三角形的面積 (1)(2020·臺(tái)州市高考模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a1，2bc2acos C，sin C，則ABC的面積為()A. B.C.或 D.或(2)已知ABC，ABAC4，BC2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_【解析】(1)因?yàn)?bc2acos C，所以由正弦定理可得2sin B sin C2sin Acos C，所以2sin(AC)sin C2sin Acos C，所以2cos Asin Csin C，所以cos A，所以A30°，因?yàn)閟in C，所以C60°或120°.A30°，C60°，B90°，a1，所以ABC的面積為×1×2×，A30°，C120°，B30°，a1，所以ABC的面積為×1×1×，故選C.(2)在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，則sinABCsinCBD，所以SBDCBD·BCsinCBD.因?yàn)锽DBC2，所以CDBABC，則cosCDB .【答案】(1)C(2)角度二已知三角形的面積解三角形 (1)(2020·杭州市七校高三聯(lián)考)設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長依次為a、b、c，若ABC的面積為S，且Sa2(bc)2，則_(2)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知A，b2a2c2.求tan C的值；若ABC的面積為3，求b的值【解】(1)因?yàn)锳BC的面積為S，且Sa2(bc)2a2b2c22bcbc·sin A，所以由余弦定理可得2bc·cos A2bcbc·sin A，所以44cos Asin A，所以4.故填4.(2)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bsin 2C2sin Ccos C，解得tan C2.由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C.因?yàn)閟in Bsin(AC)sin，所以sin B.由正弦定理得c，又因?yàn)锳，bcsin A3，所以bc6，故b3.角度三求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題 (1)(2020·浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，其面積滿足SABCa2，則的最大值為()A.1 B.C.1 D.2(2)(2020·紹興市一中期末檢測(cè))設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且acos Ccb.求角A的大?。蝗鬭3，求ABC的周長l的取值范圍【解】(1)選C.根據(jù)題意，有SABCa2bcsin A，應(yīng)用余弦定理，可得b2c22bccos A2bcsin A，令t，于是t212tcos A2tsin A于是2tsin A2tcos At21，所以2sint，從而t2，解得t的最大值為1.(2)由acos Ccb得sin Acos Csin Csin B，又sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Ccos Asin C，因?yàn)閟in C0，所以cos A，又0A，所以A.由正弦定理得b2sin B，c2sin C，labc32(sin Bsin C)32sin Bsin(AB)3232sin，因?yàn)锳，所以B，所以B，所以sin，則ABC的周長l的取值范圍為(6，32與三角形面積有關(guān)問題的解題策略(1)求三角形的面積對(duì)于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化(3)求有關(guān)三角形面積或周長的最值(范圍)問題一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解 1在ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且B為銳角，若，sin B，SABC，則b的值為_解析：由ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，聯(lián)立解得a5，c2，由sin B且B為銳角知cos B，由余弦定理知b22542×5×2×14，b.答案：2已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4Sa2(bc)2，bc8，則S的最大值為_解析：由題意得4×bcsin Aa2b2c22bc，又a2b2c22bccos A，代入上式得2bcsin A2bccos A2bc，即sin Acos A1，sin1，又0<A<，所以<A<，所以A，所以A，Sbcsin Abc，又bc82，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取“”，所以bc16，所以S的最大值為8.答案：83ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解：(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c6(舍去)，c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面積與ACD面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.核心素養(yǎng)系列9數(shù)學(xué)運(yùn)算三角形中最值問題一、求角的三角函數(shù)值的取值 若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C 的最小值是_【解析】由sin Asin B2sin C，結(jié)合正弦定理可得ab2c，所以cos C( a b時(shí)取等號(hào))，故cos C的最小值是.【答案】 在ABC中，a2c2b2ac.(1)求B的大??；(2)求cos Acos C的最大值【解】(1)由余弦定理和已知條件可得cos B，又因?yàn)?<B<，所以B.(2)由(1)知AC，所以cos Acos Ccos Acoscos Acos Asin Acos Asin Acos.因?yàn)?<A<，所以當(dāng)A時(shí)，cos Acos C取得最大值1.此類問題主要考查余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、輔助角公式以及三角函數(shù)的最值和基本不等式；解此類問題的關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用余弦定理、兩角差的正余弦公式以及輔助角公式 二、求邊的最值 (1)在ABC中，B60°，AC，則AB2BC的最大值為_(2)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，ABBC1，ACCD，ACCD，當(dāng)ABC變化時(shí)，BD的最大值為_【解析】(1)因?yàn)椋訟B2sin C，BC2sin A，因此AB2BC2sin C4sin A2sin4sin A5sin Acos A2sin(A)，因?yàn)?0，2)，A，所以AB2BC的最大值為2.(2)設(shè)ACB，則ABC2，DCB，由余弦定理可知，AC2AB2BC22AB·BCcosABC，即ACDC2cos ，由余弦定理知，BD2BC2DC22BC·DCcosDCB，即BD24cos212×1×2cos ·cos2cos 22sin 232sin3.由0<<，可得<2<，則23，此時(shí)，因此(BD)max1.【答案】(1)2(2)1邊的最值一般通過三角形中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解有時(shí)也可利用均值不等式求解 三、求三角形函數(shù)的最值 在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為_【解析】在ABC中，2ccos B2ab，由正弦定理，得2sin Ccos B2sin Asin B又A(BC)，所以sin Asin(BC)sin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，得2sin Bcos Csin B0，因?yàn)閟in B0，所以cos C，又0<C<，所以C.由Scabsin Cab×，得c.由余弦定理得，c2a2b22ab·cos Ca2b2ab2abab3ab(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào))，所以3ab，得ab48，所以ab的最小值為48.【答案】48利用三角函數(shù)的有關(guān)公式，結(jié)合三角形的面積公式及正、余弦定理，將問題轉(zhuǎn)化為邊或角的關(guān)系，利用函數(shù)或不等式是解決此類問題的一種常規(guī)方法 基礎(chǔ)題組練1ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若b2ac，c2a，則cos C()A. BC. D解析：選B.由題意得，b2ac2a2，ba，所以cos C，故選B.2已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若3bcos Cc(13cos B)，則sin Csin A()A23 B43C31 D32解析：選C.由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B，3sin(BC)sinC，因?yàn)锳BC，所以BCA，所以3sin Asin C，所以sin Csin A31，選C.3在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若sin A，a3，SABC2，則b的值為()A6 B3C2 D2或3解析：選D.因?yàn)镾ABC2bcsin A，所以bc6，又因?yàn)閟in A，所以cos A，又a3，由余弦定理得9b2c22bccos Ab2c24，b2c213，可得b2或b3.4在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若bsin Aacos B0，且b2ac，則的值為()A. B.C2 D4解析：選C.在ABC中，由bsin Aacos B0，利用正弦定理得sin Bsin Asin Acos B0，所以tan B，故B.由余弦定理得b2a2c22ac·cos Ba2c2ac，即b2(ac)23ac，又b2ac，所以4b2(ac)2，求得2.5(2020·杭州市高三期末檢測(cè))設(shè)點(diǎn)P在ABC的邊BC所在的直線上從左到右運(yùn)動(dòng)，設(shè)ABP與ACP的外接圓面積之比為，當(dāng)點(diǎn)P不與B，C重合時(shí)()A先變小再變大B當(dāng)M為線段BC中點(diǎn)時(shí)，最大C先變大再變小D是一個(gè)定值解析：選D.設(shè)ABP與ACP的外接圓半徑分別為r1，r2，則2r1，2r2，因?yàn)锳PBAPC180°，所以sinAPBsinAPC，所以，所以.故選D.6在ABC中，·|3，則ABC面積的最大值為()A. B.C. D3解析：選B.設(shè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，因?yàn)?#183;|3，所以bccos Aa3.又cos A11，所以cos A，所以0<sin A，所以ABC的面積Sbcsin Atan A×，故ABC面積的最大值為.7在ABC中，A，b2sin C4sin B，則ABC的面積為_解析：因?yàn)閎2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SABCbcsin A×4×2.答案：28若銳角ABC的面積為10，且AB5，AC8，則BC等于_解析：由面積公式，得S×AB×AC×sin A10，所以sin A.因?yàn)?A(0，)，所以A.由余弦定理，得BC2AB2AC22AB×AC×cos A25642×5×8×cos49，所以BC7.答案：79(2020·溫州市高考模擬)在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長分別為a、b、c，記S為ABC的面積，若A60°，b1，S，則c_，cos B_解析：因?yàn)锳60°，b1，Sbcsin A×1×c×，所以解得c3.由余弦定理可得a，所以cos B.答案：310(2020·金麗衢十二校聯(lián)考模擬)在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，acos Bbcos A，4S2a2c2，其中S是ABC的面積，則C的大小為_解析：ABC中，acos Bbcos A，所以sin Acos Bsin Bcos A，所以sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)0，所以AB，所以ab；又ABC的面積為Sabsin C，且4S2a2c2，所以2absin C2a2c2a2b2c2，所以sin Ccos C，所以C.答案：11在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大??；(2)若sin Bsin C1，試判斷ABC的形狀解：(1)由題意知，根據(jù)正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120°.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因?yàn)?°<B<90°，0°<C<90°，故BC.所以ABC是等腰鈍角三角形12設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos B 4，bsin A3.(1)求tan B及邊長a的值；(2)若ABC的面積S9，求ABC的周長解：(1)在ABC中，acos B4，bsin A3，兩式相除，有tan B，又acos B4，所以cos B>0，則cos B，故a5.(2)由(1)知，sin B，由Sacsin B9，得c6.由b2a2c22accos B13，得b.故ABC的周長為11.綜合題組練1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若b1，a2c，則當(dāng)C取最大值時(shí)，ABC的面積為()A. B.C. D.解析：選B.當(dāng)C取最大值時(shí)，cos C最小，由cos C，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)取等號(hào)，且此時(shí)sin C，所以當(dāng)C取最大值時(shí)，ABC的面積為absin C×2c×1×.2在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，a，a2.若b1，3，則c的最小值為()A2 B3C2 D2解析：選B.由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因?yàn)閎1，3，所以當(dāng)b時(shí)，c取最小值3.3已知在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，2asin Bb，b2，c3，AD是內(nèi)角的平分線，則BD_解析：由2asin Bb及正弦定理得2sinBAC·sin Bsin B，所以sinBAC.因?yàn)锽AC為銳角，所以BAC.因?yàn)锳D是內(nèi)角平分線，所以.由余弦定理得BC2AC2AB22AC·AB·cosBAC492×2×3×7，所以BC，BD.答案：4(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)ABC的面積為S1，它的外接圓面積為S2，若ABC的三個(gè)內(nèi)角大小滿足ABC345，則的值為_解析：在ABC中，ABC，又ABC345，所以A，B，C.由正弦定理2R(a、b、c為ABC中角A、B、C的對(duì)邊，R為ABC的外接圓半徑)可得，a·c，b·c，R.所以S1absin C···c2·sin Csin A·sin B·sin C·，S2R2·，所以.答案：5(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知c2，C.(1)當(dāng)2sin 2Asin(2BC)sin C時(shí)，求ABC的面積；(2)求ABC周長的最大值解：(1)由2sin 2Asin(2BC)sin C得4sin Acos Asin(BA)sin(AB)，得2sin Acos Asin Bcos A，當(dāng)cos A0時(shí)，A，B，a，b，當(dāng)cos A0時(shí)，sin B2sin A，由正弦定理得b2a，聯(lián)立，解得a，b.故ABC的面積為SABCabsin C.(2)由余弦定理及已知條件可得：a2b2ab4，由(ab)243ab43×得ab4，故ABC周長的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)取到6(2020·杭州市高考模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若msin Asin Bsin C(mR)(1)當(dāng)m3時(shí)，求cos A的最小值；(2)當(dāng)A時(shí)，求m的取值范圍解：(1)因?yàn)樵贏BC中msin Asin Bsin C，當(dāng)m3時(shí)， 3sin Asin Bsin C，由正弦定理可得3abc，再由余弦定理可得cos A，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào)，故cos A的最小值為.(2)當(dāng)A時(shí)，可得msin Bsin C，故msin Bsin Csin Bsinsin Bsin Bcos Bsin Bsin Bcos B2sin，因?yàn)锽，所以B，所以sin，所以2sin(1，2，所以m的取值范圍為(1，223