(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式學(xué)案

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1、 第二章 不等式 第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù) (1)a-b>0?a>b. (2)a-b=0?a=b. (3)a-b<0?a<b. 2.不等式的性質(zhì) (1)對(duì)稱性:a>b?bb,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c; a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc; a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1); (6)可開方:a>b>0? > (n∈N,n≥2). [小題體驗(yàn)] 1.(教材習(xí)題改編)用不等號(hào)“>

2、”或“<”填空: (1)a>b,c<d?a-c________b-d; (2)a>b>0,c>d>0?ac________bd; (3)a>b>0?________. 答案:(1)> (2)> (3)> 2.+,+的大小關(guān)系為____________. 答案:+<+ 3.若00,則與的大小關(guān)系為________. 答案:> 1.在應(yīng)用傳遞性時(shí),注意等號(hào)是否傳遞下去,如a≤b,bb?ac2>bc2;若無c≠0這個(gè)條件,a>b?ac2>bc2就是錯(cuò)誤結(jié)論(當(dāng)c=0時(shí),取“=”)

3、. [小題糾偏] 1.設(shè)a,b,c∈R,且a>b,則(  ) A.a(chǎn)c>bc  B.<    C.a(chǎn)2>b2    D. a3>b3 答案:D 2.“a>b>0”是“<”的________條件. 答案:充分不必要 [題組練透] 1.已知x∈R,m=(x+1),n=(x2+x+1),則m,n的大小關(guān)系為(  ) A.m≥n          B.m>n C.m≤n D.m<n 答案:B 2.若a=,b=,則a____b(填“>”或“<”). 解析:易知a,b都是正數(shù),==log89>1,所以b>a. 答案:< 3.已知等比數(shù)列{an}中,a1>0,q>

4、0,前n項(xiàng)和為Sn,則與的大小關(guān)系為________. 解析:當(dāng)q=1時(shí),=3,=5,所以<. 當(dāng)q>0且q≠1時(shí), -=- ==<0, 所以<.綜上可知<. 答案:< [謹(jǐn)記通法] 比較兩實(shí)數(shù)(式)大小的2種常用方法 作差法 其基本步驟:作差,變形,判斷符號(hào),得出結(jié)論.用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù),常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法 作商法 判斷商與1的大小關(guān)系,得出結(jié)論,要特別注意,當(dāng)商與1的大小確定后,必須對(duì)商式分子、分母的正負(fù)作出判斷,這是用作商法比較大小時(shí)最容易漏掉的關(guān)鍵步驟 [典例引領(lǐng)] 1.已知a,b,c滿足c

5、ac<0,則下列選項(xiàng)中不一定能成立的是(  ) A.<        B.>0 C.> D.<0 解析:選C 由c0,不一定能成立的是C. 2.(2018·嘉興模擬)若a,b為正實(shí)數(shù),且a≠1,b≠1,則“a>b>1”是“l(fā)oga2b>1時(shí),loga2-logb2=-=<0,所以loga2b>1不成立.故“a>b>1”是“l(fā)oga2

6、充分不必要條件,選A. [由題悟法] 不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的3大常見類型及解題策略 (1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ),靈活運(yùn)用是關(guān)鍵,要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件. (2)與充要條件相結(jié)合問題.用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確,要注意特殊值法的應(yīng)用. (3)與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法. [即時(shí)應(yīng)用] 1.若<<0,則下列結(jié)論不正確的是(  ) A.a(chǎn)2<b2 B.ab<b2 C.a(chǎn)+b<0 D.|a|+|b|>|a+b| 解析:選D ∵<<0,∴b<a<0, ∴b

7、2>a2,ab<b2,a+b<0, ∴選項(xiàng)A、B、C均正確, ∵b<a<0, ∴|a|+|b|=|a+b|,故D項(xiàng)錯(cuò)誤,故選D. 2.若a,b,c為實(shí)數(shù),則下列命題正確的是(  ) A.若a>b,則ac2>bc2 B.若aab>b2 C.若a 解析:選B A選項(xiàng)需滿足c≠0;取a=-2,b=-1知選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤.故選B. [典例引領(lǐng)] 1.(2018·嘉興期末)已知-1

8、(m-n)y, 所以m+n=3,m-n=2, 解得m=,n=, 所以3x+2y= (x+y)+(x-y), 由-1

9、范圍是[-1,5]. [類題通法] 利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍,但應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì);二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍,解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系,最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍. [即時(shí)應(yīng)用] 1.若6<a<10,≤b≤2a,c=a+b,則c的取值范圍是(  ) A.[9,18]        B.(15,30) C.[9,30] D.(9,30) 解析:選D ∵≤b≤2a, ∴≤a+b≤3a, 即≤c≤3a. ∵6<a<10, ∴9<c<30.故選D. 2.已知a>

10、0,b>0,求證:a+b+2≥2(+). 證明:a+b+2-2(+)=(-1)2+(-1)2≥0, 所以a+b+2≥2(+). 一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快 1.設(shè)a,b∈[0,+∞),A=+,B=,則A,B的大小關(guān)系是(  ) A.A≤B        B.A≥B C.A<B D.A>B 解析:選B 由題意得,B2-A2=-2≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B. 2.若a B.> C.|a|>|b| D.a(chǎn)2>b2 解析:選A 取a=-2,b=-1,則>不成立. 3.(2018·杭州二中月考)a(a-b)

11、>0是<1成立的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C <1?-1<0?<0?>0?a(a-b)>0,所以a(a-b)>0是<1成立的充要條件,故選C. 4.(2018·金華模擬)設(shè)a,b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是(  ) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a(chǎn)2-b2<0 D.b+a>0 解析:選D 利用賦值法,令a=1,b=0,排除A、B、C,選D. 5.b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添m g糖(m>0),則糖水變甜了.試根據(jù)這一事實(shí),提煉出一個(gè)不等式_________

12、___. 答案:< 二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1.已知a1,a2∈(0,1),記M=a1a2,N=a1+a2-1,則M與N的大小關(guān)系是(  ) A.MN C.M=N D.不確定 解析:選B M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M >N. 2.若<<0,給出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號(hào)是(  ) A.①

13、④ B.②③ C.①③ D.②④ 解析:選C 法一:因?yàn)?<0,故可取a=-1,b=-2.顯然|a|+b=1-2=-1<0,所以②錯(cuò)誤;因?yàn)閘n a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④錯(cuò)誤,綜上所述,可排除A、B、D,故選C. 法二:由<<0,可知b0,所以<,故①正確; ②中,因?yàn)閎-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②錯(cuò)誤; ③中,因?yàn)閎->0,所以a->b-,故③正確; ④中,因?yàn)閎

14、a2>0,而y=ln x在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),所以ln b2>ln a2,故④錯(cuò)誤.由以上分析,知①③正確。 3.(2018·寧波模擬)設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a>b>1”是“a+>b+”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 解析:選A 因?yàn)閍+-=,若a>b>1,顯然a+-=>0,則充分性成立,當(dāng)a=,b=時(shí),顯然不等式a+>b+成立,但a>b>1不成立,所以必要性不成立. 4.若m<0,n>0且m+n<0,則下列不等式中成立的是(  ) A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n

15、D.m<-n<n<-m 解析:選D 法一:(取特殊值法)令m=-3,n=2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可. 法二:m+n<0?m<-n?n<-m,又由于m<0<n,故m<-n<n<-m成立. 5.設(shè)a<0,b<0,則p=+與q=a+b的大小關(guān)系是(  ) A.p>q B.p≥q C.p

16、答案:a<0<b 7.已知-1a>ab,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______

17、____. 解析:∵ab2>a>ab,∴a≠0, 當(dāng)a>0時(shí),b2>1>b, 即解得b<-1; 當(dāng)a<0時(shí),b2<1

18、C.(1,3) D.(0,3) 解析:選B 由已知及三角形三邊關(guān)系得 ∴∴ 兩式相加得,0<2·<4, ∴的取值范圍為(0,2). 2.設(shè)a>b>0,m≠-a,則>時(shí),m滿足的條件是________. 解析:由>得>0, 因?yàn)閍>b>0,所以>0. 即或 ∴m>0或m<-a. 即m滿足的條件是m>0或m<-a. 答案:m>0或m<-a 3.設(shè)a1≈,a2=1+. (1)證明:介于a1,a2之間; (2)求a1,a2中哪一個(gè)更接近. 解:(1)證明:∵(-a1)(-a2)=(-a1)·=<0. ∴介于a1,a2之間. (2)|-a2|===|-a1|<|-a1

19、|. ∴a2比a1更接近. 第二節(jié)一元二次不等式及其解法 “三個(gè)二次”的關(guān)系 判別式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有兩相異實(shí)根x1,x2(x1<x2) 有兩相等實(shí)根x1=x2=- 沒有實(shí)數(shù)根 一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|xx2} R 一元二次不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ? ? [小題體驗(yàn)] 1.設(shè)集合A={x|1

20、B={x|x2-2x-3≤0},則A∩(?RB)等于(  ) A.(1,4)         B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 解析:選B 由題意得B={x|-1≤x≤3}, 根據(jù)補(bǔ)集的定義,?RB={x|x<-1或x>3}, 所以A∩?RB=(3,4). 2.(教材習(xí)題改編)不等式-x2+2x-3>0的解集為________. 答案:? 3.不等式ax2+abx+b>0的解集為{x|2

21、ax2+bx+c>0,求解時(shí)不要忘記討論a=0時(shí)的情形. 2.當(dāng)Δ<0時(shí),ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R還是?,要注意區(qū)別. 3.含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn),避免盲目討論. [小題糾偏] 1.不等式≤0的解集為(  ) A.{x|x<1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|1<x≤3} D.{x|1<x<3} 解析:選C 由≤0,得 解得1<x≤3. 2.若不等式mx2+2mx+1>0的解集為R,則m的取值范圍是________. 解析:①當(dāng)m=0時(shí),1>0顯然成立. ②當(dāng)m≠0時(shí),由條件知得0

22、1) [題組練透] 1.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)-x≤2的解集是________. 解析:當(dāng)x≤0時(shí),原不等式等價(jià)于2x2+1-x≤2,∴-≤x≤0;當(dāng)x>0時(shí),原不等式等價(jià)于-2x-x≤2,∴x>0.綜上所述,原不等式的解集為. 答案: 2.不等式≥-1的解集為________. 解析:將原不等式移項(xiàng)通分得≥0, 等價(jià)于解得x>5或x≤. 所以原不等式的解集為. 答案: 3.解下列不等式: (1)(易錯(cuò)題)-3x2-2x+8≥0; (2)≥2. 解:(1)原不等式可化為3x2+2x-8≤0, 即(3x-4)(x+2)≤0.解得-2≤x

23、≤, 所以原不等式的解集為. (2)不等式等價(jià)于 即 解得-≤x<1或1

24、1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式. (2)當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí),討論判別式Δ與0的關(guān)系. (3)確定無根時(shí)可直接寫出解集,確定方程有兩個(gè)根時(shí),要討論兩根的大小關(guān)系,從而確定解集形式. [提醒] 當(dāng)不等式中二次項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí),不要忘記討論其等于0的情況. [即時(shí)應(yīng)用] 1.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,則不等式x2-bx-a<0的解集是(  ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) C. D.∪ 解析:選A 由題意知-,-是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根與

25、系數(shù)的關(guān)系得-+=,-×=-.解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0,即為x2-5x+6<0,解集為(2,3). 2.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解:原不等式可化為12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0, 令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=. 當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為∪; 當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為(-∞,0)∪(0,+∞); 當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為∪. [鎖定考向] 一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系.在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí),要注意三者之間的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.對(duì)于

26、一元二次不等式恒成立問題,常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào),進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍. 常見的命題角度有: (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍; (2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])確定參數(shù)的范圍; (3)形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a,b])確定x的范圍.      [題點(diǎn)全練] 角度一:形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍 1.若不等式2kx2+kx-<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為(  ) A.(-3,0)        B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] 解析:選D 當(dāng)

27、k=0時(shí),顯然成立; 當(dāng)k≠0時(shí),即一元二次不等式2kx2+kx-<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,則解得-3

28、,1]時(shí),f(x)為增函數(shù), 所以f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1 =b2-b-2, f(x)>0恒成立,即b2-b-2>0恒成立, 解得b<-1或b>2. ∴b的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞) 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 角度三:形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a,b])確定x的范圍 3.(2018·浙江五校聯(lián)考)對(duì)于任意的0≤m≤4,使不等式x2+mx>4x+m-3恒成立,則x的取值范圍是__________. 解析:轉(zhuǎn)化為m(x-1)+x2-4x+3>0在0≤m≤4時(shí)恒成立. 令f(m)=m(x-1)+x2-4x+3. 則?? ∴x<

29、-1或x>3. 故x的取值范圍為(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞) [通法在握] 一元二次型不等式恒成立問題的3大破解方法 方法 解 讀 適合題型 判別式法 (1)ax2+bx+c≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是 (2)ax2+bx+c≤0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是 二次不等式在R上恒成立 (如“題點(diǎn)全練”第1題) 分離參數(shù)法 如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”,分離后其系數(shù)與0能比較大小,便可將參數(shù)分離出來,利用下面的結(jié)論求解:a≥f(x)恒成立等價(jià)于a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立等價(jià)于a≤f(

30、x)min 適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求 (如“演練沖關(guān)”第2題) 主參換位法 把變?cè)c參數(shù)交換位置,構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù),根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)在[m,n]恒成立問題,若f(x)>0恒成立? 若f(x)<0恒成立? 若在分離參數(shù)時(shí)會(huì)遇到討論參數(shù)與變量,使求函數(shù)的最值比較麻煩,或者即使能容易分離出卻難以求出時(shí) (如“題點(diǎn)全練”第3題) [演練沖關(guān)] 1.(2018·臺(tái)州模擬)不等式a2+8b2≥λb(a+b)對(duì)于任意的a,b∈R恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________. 解析:因?yàn)閍2+8b2≥

31、λb(a+b)對(duì)于任意的a,b∈R恒成立, 所以a2+8b2-λb(a+b)≥0對(duì)于任意的a,b∈R恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0恒成立, 由二次不等式的性質(zhì)可得, Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0, 所以(λ+8)(λ-4)≤0, 解得-8≤λ≤4. 答案:[-8,4] 2.設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍. 解:要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立, 則mx2-mx+m-6<0, 即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立. 因?yàn)閤2-x+1=2+>

32、0, 又因?yàn)閙(x2-x+1)-6<0,所以m<. 因?yàn)楹瘮?shù)y==在[1,3]上的最小值為,所以只需m<即可. 因?yàn)閙≠0,所以m的取值范圍是(-∞,0)∪. 一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快 1.設(shè)集合A={x|x2+x-6≤0},集合B為函數(shù)y=的定義域,則A∩B等于(  ) A.(1,2)          B.[1,2] C.[1,2) D.(1,2] 解析:選D A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2}, 由x-1>0得x>1,即B={x|x>1}, 所以A∩B={x|1

33、意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5] 解析:選A x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值為4,所以x2-2x+5≥a2-3a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4. 3.(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)月考)不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|2<x<3},則不等式ax2-bx+c>0的解集為________________. 解析:令f(x)=ax2+bx+c,其圖象如下圖所示, 再畫出f(-x)的圖象即可, 所以不等式ax2-bx+c>0的解集為

34、{x|-3<x<-2}. 答案:{x|-3<x<-2} 4.(2018·金華十校聯(lián)考)若不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的所有m都成立,則x的取值范圍為___________. 解析:原不等式化為(x2-1)m-(2x-1)<0. 令f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2). 則 解得<x<, 故x的取值范圍為. 答案: 5.(2018·湖州五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+2y2+≤x(2y+1),則x=________,y=________,2x+log2y=________. 解析:法一:由已知得2x2+4y2-4xy-2x+1≤0,即(x

35、-1)2+(x-2y)2≤0,所以解得x=1,y=,2x+log2y=2+log2=2-1=1. 法二:由已知得,關(guān)于x的不等式x2-(2y+1)x+2y2+≤0(*)有解,所以Δ=[-(2y+1)]2-4≥0,即Δ=-(2y-1)2≥0,所以2y-1=0,即y=,此時(shí)不等式(*)可化為x2-2x+1≤0,即(x-1)2≤0,所以x=1,2x+log2y=2+log2=2-1=1. 答案:1  1 二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1.已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,不等式x2+x-6<0的解集為B,不等式x2+ax+b<0的解集為A∩B,則a+b等于(  ) A.-3   

36、       B.1 C.-1 D.3 解析:選A 由題意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},由根與系數(shù)的關(guān)系可知,a=-1,b=-2,則a+b=-3. 2.(2018·麗水五校聯(lián)考)不等式x+>2的解集是(  ) A.(-1,0)∪(1,+∞)    B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析:選A 法一:x+>2?x-2+>0?>0?x(x-1)(x+1)>0? -1<x<0或x>1. 故原不等式的解集為(-1,0)∪(1,+∞). 法二:驗(yàn)證,x=-2,不滿足

37、不等式,排除B、C、D. 3.(2018·麗水五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=0,則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為(  ) A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,-1] C.[-3,-1]∪(0,+∞) D.[-3,+∞) 解析:選C 因?yàn)閒(-4)=f(0),所以當(dāng)x≤0時(shí),f(x)的對(duì)稱軸為x=-2,又f(-2)=0,則f(x)=不等式f(x)≤1的解為[-3,-1]∪(0,+∞),故選C. 4.(2018·寧波四校聯(lián)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,則f(m-1)的值為(  ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù)

38、 C.非負(fù)數(shù) D.正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能 解析:選A 設(shè)f(x)=x2-x+a=0的兩個(gè)根為α,β,由f(m)<0,則α0,則|α-β|<1,f(m-1)>0,故選A. 5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,則a的取值范圍是(  ) A.[-4,1] B.[-4,3] C.[1,3] D.[-1,3] 解析:選B 原不等式為(x-a)(x-1)≤0,當(dāng)a<1時(shí),不等式的解集為[a,1],此時(shí)只要a≥-4即可,即-4≤a<1;當(dāng)a=1時(shí),不等式的解為x=1,此時(shí)符合要求;

39、當(dāng)a>1時(shí),不等式的解集為[1,a],此時(shí)只要a≤3即可,即10,即a2>16. ∴a>4或a<-4. 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞) 7.若關(guān)于x的不等式ax>b的解集為,則關(guān)于x的不等式ax2+bx-a>0的解集為________. 解析:由已知ax>b的解集為,可知a<0,且=,將不等式ax2+bx-a>0兩邊同除以a,得x2+x-<0,即x2+x-<0,即5x2+x-4<0,解得-1

40、<x<,故所求解集為. 答案: 8.(2018·蕭山月考)不等式x2+ax+b>0(a,b∈R)的解集為,若關(guān)于x的不等式x2+ax+b0(a,b∈R)的解集為, 所以x2+ax+b=2=0, 那么不等式x2+ax+b<c, 即20; (2)若不等式f(x)>b的解集為(-1,3)

41、,求實(shí)數(shù)a,b的值. 解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化為a2-6a-3<0, 解得3-2b的解集為(-1,3)等價(jià)于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的兩根為-1,3, 等價(jià)于解得 10.關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的集合為{-2},求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 解:由x2-x-2>0可得x<-1或x>2. ∵的整數(shù)解為x=-2, 又∵方程2x2+(2k+5)x+5k=0的兩根為-k和-. ①若-k<-,

42、則不等式組的整數(shù)解集合就不可能為{-2}; ②若-<-k,則應(yīng)有-2<-k≤3.∴-3≤k<2. 綜上,所求k的取值范圍為[-3,2). 三上臺(tái)階,自主選做志在沖刺名校 1.若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-2) B.(-2,+∞) C.(-6,+∞) D.(-∞,-6) 解析:選A 不等式x2-4x-2-a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)

43、問是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,證明你的結(jié)論. 解:由f(1)=,得a+b+c=. 令x2+=2x2+2x+,解得x=-1. 由f(x)≤2x2+2x+推得f(-1)≤, 由f(x)≥x2+推得f(-1)≥, ∴f(-1)=.∴a-b+c=.故a+c=且b=1. ∴f(x)=ax2+x+-a. 依題意ax2+x+-a≥x2+對(duì)一切x∈R都成立, 即(a-1)x2+x+2-a≥0對(duì)一切x∈R都成立. ∴a≠1且Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0. 即(2a-3)2≤0,∴(2a-3)2=0, 由a-1>0得a=.∴f(

44、x)= x2+x+1. 證明如下:x2+x+1-2x2-2x-=-x2-x-=-(x+1)2≤0. ∴x2+x+1≤2x2+2x+對(duì)x∈R都成立. x2+x+1-x2-=x2+x+=(x+1)2≥0, ∴x2+≤x2+x+1對(duì)x∈R都成立. ∴存在實(shí)數(shù)a=,b=1,c=1,使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+對(duì)一切x∈R都成立. 第三節(jié)絕對(duì)值不等式 1.絕對(duì)值三角不等式 定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|≤|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí),等號(hào)成立. 定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí),等號(hào)

45、成立. 2.絕對(duì)值不等式的解法 (1)含絕對(duì)值不等式|x|a的解法: 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|a (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|(zhì)ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; ②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c. [小題體驗(yàn)] 1.不等式|2x-1|>3的解集為________. 答案:{x|x<-1或x>2} 2.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集為________. 答案: 3.函數(shù)y=|x-4|+|x+4|的最小值為___

46、_____. 解析:∵|x-4|+|x+4|≥|(x-4)-(x+4)|=8, 即函數(shù)y的最小值為8. 答案:8 1.對(duì)形如|f(x)|>a或|f(x)||a-b|       B.|a+b|<|a-b| C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|

47、 解析:選B ∵ab<0, ∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|. 2.若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1|≤3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|, 要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3, ∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4. 答案:[-2,4] [題組練透] 1.若不等式|kx-4|≤2的解集為{x|1≤x≤3},則實(shí)數(shù)k=________. 解析:由|kx-4|≤2?2≤kx≤6. ∵不等式的解集為{x|1≤x≤3},∴k=2. 答案:2 2.解不等式|2

48、x-1|+|2x+1|≤6. 解:法一:當(dāng)x>時(shí),原不等式轉(zhuǎn)化為4x≤6?1的解集. 解:(1)由題意得f(x)= 故y=f(x)的

49、圖象如圖所示. (2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知, 當(dāng)f(x)=1時(shí),可得x=1或x=3; 當(dāng)f(x)=-1時(shí),可得x=或x=5. 故f(x)>1的解集為{x|11的解集為. [謹(jǐn)記通法] 解絕對(duì)值不等式的基本方法 (1)利用絕對(duì)值的定義,通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式; (2)當(dāng)不等式兩端均為正號(hào)時(shí),可通過兩邊平方的方法,轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式; (3)利用絕對(duì)值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合求解. [典例引領(lǐng)] 已知函數(shù)f(x)=+,M為不等式f(x)<2的解集. (1)求

50、M; (2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|. 解:(1)f(x)= 當(dāng)x≤-時(shí), 由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 當(dāng)-

51、等式再證明. (2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|進(jìn)行證明. (3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明. [即時(shí)應(yīng)用] 已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤, 求證:|x+5y|≤1. 證明:∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. ∴由絕對(duì)值不等式的性質(zhì),得|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.即|x+5y|≤1. [典例引領(lǐng)] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)≤6的解集; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=

52、|2x-1|.當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍. 解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}. (2)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥3, 即+≥. 又min=, 所以≥,解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2,+∞). [由題悟法] (1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問題時(shí),根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題,這是常用的思想方法. (2)f(x)<a恒成立?f(x)max<a.

53、 f(x)>a恒成立?f(x)min>a. [即時(shí)應(yīng)用] (2018·浙江七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|3x+2|. (1)解不等式f(x)<4-|x-1|; (2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)不等式f(x)<4-|x-1|,即|3x+2|+|x-1|<4. 當(dāng)x<-時(shí),即-3x-2-x+1<4, 解得-1時(shí),即3x+2+x-1<4,無解. 綜上所述,x∈. (2)+=(m+n)=1+1++≥4, 當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

54、時(shí)等號(hào)成立. 令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|= ∴x=-時(shí),g(x)max=+a,要使不等式恒成立, 只需g(x)max=+a≤4,即0

55、 ) A.|x-y|h D.|x-y| >2h 解析:選B 2h>|x-a|+|y-a|≥|x-a-(y-a)|=|x-y|,故選B. 3.不等式|x+2|>的解集是(  ) A.(-3,-2) B.(-2,0) C.(0,2) D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 解析:選D 不等式即為5(x+2)>3x+14或5(x+2)<-(3x+14),解得x>2或x<-3,故選D. 4.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集為____________. 解析:不等式|x-1|-|x-5|<2等價(jià)于 或 或 即或或 故原不等式的

56、解集為{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪?={x|x<4}. 答案:{x|x<4} 5.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集為________. 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得0

57、y是實(shí)數(shù),那么“xy<0”是“|x-y|=|x|+|y|”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 因?yàn)椤皒y<0”可以推出“|x-y|=|x|+|y|”成立,反過來若“|x-y|=|x|+|y|”成立,但是xy有可能等于0,所以“xy<0”是“|x-y|=|x|+|y|”的充分不必要條件,故選A. 3.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是(  ) A.[-5,7] B.[-4,6] C. (-∞,-5]∪[7,+∞) D. (-∞,-4]∪[6,+∞) 解析:選D 當(dāng)x≤-3時(shí),|x-5|+|x+3|

58、=5-x-x-3=2-2x≥10,即x≤-4,∴x≤-4.當(dāng)-3

59、1.∴-2≤x<1. 綜上,-2≤x≤1. 所以原不等式的解集為{x|-2≤x≤1},故選A. 5.(2018·長(zhǎng)沙六校聯(lián)考)設(shè)f(x)=x2-bx+c,不等式f(x)<0的解集是(-1,3),若f(7+|t|)>f(1+t2),則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(  ) A.(-3,1) B.(-3,3) C.(-1,3) D.(-1,1) 解析:選B ∵f(x)<0的解集是(-1,3), ∴a>0,f(x)的對(duì)稱軸是x=1,且ab=2. ∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增. 又∵7+|t|≥7,1+t2≥1, ∴由f(7+|t|)>f(1+t2),得7+|t|>1+t2. ∴|

60、t|2-|t|-6<0,解得-3<t<3. 故選B. 6.(2018·溫州模擬)不等式|x-1|-|x-2|(|x-1|-|x-2|)max. 因?yàn)閨x-1|-|x-2|≤|x-1-(x-2)|=1,故a>1. 故a的取值范圍為(1,+∞). 答案:(1,+∞) 7.設(shè)|x-2|

61、因?yàn)閍>0,所以由題意得解得 0

62、=2,∴a=8. 答案:8 9.已知|2x-3|≤1的解集為[m,n]. (1)求m+n的值; (2)若|x-a|<m,求證:|x|<|a|+1. 解:(1)不等式|2x-3|≤1可化為-1≤2x-3≤1, 解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3. (2)證明:若|x-a|<1,則|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1.即|x|<|a|+1. 10.(2018·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值為a. (1)求實(shí)數(shù)a的值; (2)解不等式f(x)≤5. 解:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,

63、 從而解得a=2. (2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|= 故當(dāng)x≤2時(shí),令-2x+6≤5,得≤x≤2, 當(dāng)24時(shí),令2x-6≤5,得4

64、y,則|x|+|y|≥|x+y|≥x+y,所以|x|+|y|≤1?x+y≤1,故充分性成立,必要性不成立,故選A. 2.(2018·寧波質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式f(x)>0; (2)若存在實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)+2m2<4m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|, 即4x2-4x+1>x2+4x+4, 3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3, 所以不等式f(x)>0的解集為. (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|= 故f(x)的最小值為f=-. 因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x0,使得f(x0)+2m2

65、<4m, 所以4m-2m2>-, 解得-<m<. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 第四節(jié)二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 1.一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax+By+C>0 直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax+By+C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x,y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如z=2x+3y

66、等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x,y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x,y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 [小題體驗(yàn)] 1.下列各點(diǎn)中,不在x+y-1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(  ) A.(0,0)         B.(-1,1) C.(-1,3) D.(2,-3) 答案:C 2.(教材習(xí)題改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(  ) 答案:B 3.(2018·杭高、效實(shí)中學(xué)、嘉興一中聯(lián)考)已知變量x,y滿足約束條件則z=3x+y的最小值為(  ) A.12 B.11 C.8 D.-1 解析:選C 依題意,在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,當(dāng)動(dòng)直線z=3x+y經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z取得最小值,zmin=2×3+2=8,故選C. 1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax+by+c>0(a>0). 2.線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的,即可

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