（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 不等式學(xué)案

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1、 第二章 不等式 第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 1．兩個實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù) (1)a－b＞0?a＞b. (2)a－b＝0?a＝b. (3)a－b＜0?a＜b. 2．不等式的性質(zhì) (1)對稱性：a>b?bb，b>c?a>c； (3)可加性：a>b?a＋c>b＋c； a>b，c>d?a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc； a>b>0，c>d>0?ac>bd； (5)可乘方：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)； (6)可開方：a>b>0? > (n∈N，n≥2)． [小題體驗(yàn)] 1．(教材習(xí)題改編)用不等號“＞

2、”或“＜”填空： (1)a＞b，c＜d?a－c________b－d； (2)a＞b＞0，c>d>0?ac________bd； (3)a＞b＞0?________. 答案：(1)＞　(2)>　(3)＞ 2.＋，＋的大小關(guān)系為____________． 答案：＋<＋ 3．若00，則與的大小關(guān)系為________． 答案：> 1．在應(yīng)用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，bb?ac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>b?ac2>bc2就是錯誤結(jié)論(當(dāng)c＝0時，取“＝”)

3、． [小題糾偏] 1．設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則(　　) A．a(chǎn)c>bc　 B.<　 　 C．a(chǎn)2>b2　 　 D. a3>b3 答案：D 2．“a>b>0”是“<”的________條件． 答案：充分不必要 [題組練透] 1．已知x∈R，m＝(x＋1)，n＝(x2＋x＋1)，則m，n的大小關(guān)系為(　　) A．m≥n　　　　　　　　　 B．m＞n C．m≤n D．m＜n 答案：B 2．若a＝，b＝，則a____b(填“＞”或“＜”)． 解析：易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a. 答案：＜ 3．已知等比數(shù)列{an}中，a1＞0，q＞

4、0，前n項和為Sn，則與的大小關(guān)系為________． 解析：當(dāng)q＝1時，＝3，＝5，所以＜. 當(dāng)q＞0且q≠1時， －＝－ ＝＝＜0， 所以＜.綜上可知＜. 答案：＜ [謹(jǐn)記通法] 比較兩實(shí)數(shù)(式)大小的2種常用方法 作差法 其基本步驟：作差，變形，判斷符號，得出結(jié)論．用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù)，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法 作商法 判斷商與1的大小關(guān)系，得出結(jié)論，要特別注意，當(dāng)商與1的大小確定后，必須對商式分子、分母的正負(fù)作出判斷，這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關(guān)鍵步驟 [典例引領(lǐng)] 1．已知a，b，c滿足c

5、ac<0，則下列選項中不一定能成立的是(　　) A.<　　　　　　　 B.>0 C.> D．<0 解析：選C　由c0，不一定能成立的是C. 2．(2018·嘉興模擬)若a，b為正實(shí)數(shù)，且a≠1，b≠1，則“a>b>1”是“l(fā)oga2b>1時，loga2－logb2＝－＝<0，所以loga2b>1不成立．故“a>b>1”是“l(fā)oga2

6、充分不必要條件，選A. [由題悟法] 不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的3大常見類型及解題策略 (1)利用不等式性質(zhì)比較大?。煊洸坏仁叫再|(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件． (2)與充要條件相結(jié)合問題．用不等式的性質(zhì)分別判斷p?q和q?p是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用． (3)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法． [即時應(yīng)用] 1．若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是(　　) A．a(chǎn)2＜b2 B.ab＜b2 C．a(chǎn)＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b| 解析：選D　∵＜＜0，∴b＜a＜0， ∴b

7、2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0， ∴選項A、B、C均正確， ∵b＜a＜0， ∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D項錯誤，故選D. 2．若a，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是(　　) A．若a>b，則ac2>bc2 B．若aab>b2 C．若a 解析：選B　A選項需滿足c≠0；取a＝－2，b＝－1知選項C、D錯誤．故選B. [典例引領(lǐng)] 1．(2018·嘉興期末)已知－1

8、(m－n)y， 所以m＋n＝3，m－n＝2， 解得m＝，n＝， 所以3x＋2y＝ (x＋y)＋(x－y)， 由－1

9、范圍是[－1,5]． [類題通法] 利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍． [即時應(yīng)用] 1．若6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是(　　) A．[9,18]　　　　　　　 B．(15,30) C．[9,30] D．(9,30) 解析：選D　∵≤b≤2a， ∴≤a＋b≤3a， 即≤c≤3a. ∵6＜a＜10， ∴9＜c＜30.故選D. 2．已知a>

10、0，b>0，求證：a＋b＋2≥2(＋)． 證明：a＋b＋2－2(＋)＝(－1)2＋(－1)2≥0， 所以a＋b＋2≥2(＋)． 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，則A，B的大小關(guān)系是(　　) A．A≤B　　　　　　　 B．A≥B C．A＜B D．A＞B 解析：選B　由題意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B. 2．若a B.> C．|a|>|b| D．a(chǎn)2>b2 解析：選A　取a＝－2，b＝－1，則>不成立． 3．(2018·杭州二中月考)a(a－b)

11、>0是<1成立的(　　) A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　<1?－1<0?<0?>0?a(a－b)>0，所以a(a－b)>0是<1成立的充要條件，故選C. 4．(2018·金華模擬)設(shè)a，b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是(　　) A．b－a＞0 B.a3＋b3＜0 C．a(chǎn)2－b2＜0 D．b＋a＞0 解析：選D　利用賦值法，令a＝1，b＝0，排除A、B、C，選D. 5．b g糖水中有a g糖(b＞a＞0)，若再添m g糖(m＞0)，則糖水變甜了．試根據(jù)這一事實(shí)，提煉出一個不等式_________

12、___． 答案：＜ 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．已知a1，a2∈(0,1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(　　) A．MN C．M＝N D．不確定 解析：選B　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M >N. 2．若<<0，給出下列不等式：①<；②|a|＋b>0；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正確的不等式的序號是(　　) A．①

13、④ B.②③ C．①③ D．②④ 解析：選C　法一：因?yàn)?<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯誤；因?yàn)閘n a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④錯誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C. 法二：由<<0，可知b0，所以<，故①正確； ②中，因?yàn)閎－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②錯誤； ③中，因?yàn)閎－>0，所以a－>b－，故③正確； ④中，因?yàn)閎

14、a2>0，而y＝ln x在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故④錯誤．由以上分析，知①③正確。 3．(2018·寧波模擬)設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，則“a>b>1”是“a＋>b＋”的(　　) A．充分不必要條件 B.必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 解析：選A　因?yàn)閍＋－＝，若a>b>1，顯然a＋－＝>0，則充分性成立，當(dāng)a＝，b＝時，顯然不等式a＋>b＋成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立． 4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，則下列不等式中成立的是(　　) A．－n＜m＜n＜－m B.－n＜m＜－m＜n C．m＜－n＜－m＜n

15、D．m＜－n＜n＜－m 解析：選D　法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分別代入各選項檢驗(yàn)即可． 法二：m＋n＜0?m＜－n?n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立． 5．設(shè)a<0，b<0，則p＝＋與q＝a＋b的大小關(guān)系是(　　) A．p>q B.p≥q C．p

16、答案：a＜0＜b 7．已知－1a>ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是______

17、____． 解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0， 當(dāng)a>0時，b2>1>b， 即解得b<－1； 當(dāng)a<0時，b2<1

18、C．(1,3) D．(0,3) 解析：選B　由已知及三角形三邊關(guān)系得 ∴∴ 兩式相加得，0<2·<4， ∴的取值范圍為(0,2)． 2．設(shè)a＞b＞0，m≠－a，則＞時，m滿足的條件是________． 解析：由＞得＞0， 因?yàn)閍＞b＞0，所以＞0. 即或 ∴m＞0或m＜－a. 即m滿足的條件是m＞0或m＜－a. 答案：m＞0或m＜－a 3．設(shè)a1≈，a2＝1＋. (1)證明：介于a1，a2之間； (2)求a1，a2中哪一個更接近. 解：(1)證明：∵(－a1)(－a2)＝(－a1)·＝<0. ∴介于a1，a2之間． (2)|－a2|＝＝＝|－a1|<|－a1

19、|. ∴a2比a1更接近. 第二節(jié)一元二次不等式及其解法 “三個二次”的關(guān)系 判別式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－ 沒有實(shí)數(shù)根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|xx2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? [小題體驗(yàn)] 1．設(shè)集合A＝{x|1

20、B＝{x|x2－2x－3≤0}，則A∩(?RB)等于(　　) A．(1,4)　　　　　　　　 B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4) 解析：選B　由題意得B＝{x|－1≤x≤3}， 根據(jù)補(bǔ)集的定義，?RB＝{x|x<－1或x>3}， 所以A∩?RB＝(3,4)． 2．(教材習(xí)題改編)不等式－x2＋2x－3＞0的解集為________． 答案：? 3．不等式ax2＋abx＋b>0的解集為{x|2

21、ax2＋bx＋c>0，求解時不要忘記討論a＝0時的情形． 2．當(dāng)Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集為R還是?，要注意區(qū)別． 3．含參數(shù)的不等式要注意選好分類標(biāo)準(zhǔn)，避免盲目討論． [小題糾偏] 1．不等式≤0的解集為(　　) A．{x|x＜1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1＜x＜3} 解析：選C　由≤0，得 解得1＜x≤3. 2．若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍是________． 解析：①當(dāng)m＝0時，1>0顯然成立． ②當(dāng)m≠0時，由條件知得0

22、1) [題組練透] 1．已知函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)－x≤2的解集是________． 解析：當(dāng)x≤0時，原不等式等價于2x2＋1－x≤2，∴－≤x≤0；當(dāng)x>0時，原不等式等價于－2x－x≤2，∴x>0.綜上所述，原不等式的解集為. 答案： 2．不等式≥－1的解集為________． 解析：將原不等式移項通分得≥0， 等價于解得x＞5或x≤. 所以原不等式的解集為. 答案： 3．解下列不等式： (1)(易錯題)－3x2－2x＋8≥0； (2)≥2. 解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0， 即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x

23、≤， 所以原不等式的解集為. (2)不等式等價于 即 解得－≤x<1或1

24、1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式． (2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式Δ與0的關(guān)系． (3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式． [提醒]　當(dāng)不等式中二次項的系數(shù)含有參數(shù)時，不要忘記討論其等于0的情況． [即時應(yīng)用] 1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，則不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D.∪ 解析：選A　由題意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根與

25、系數(shù)的關(guān)系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a＜0，即為x2－5x＋6＜0，解集為(2,3)． 2．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 解：原不等式可化為12x2－ax－a2>0， 即(4x＋a)(3x－a)>0， 令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝. 當(dāng)a>0時，不等式的解集為∪； 當(dāng)a＝0時，不等式的解集為(－∞，0)∪(0，＋∞)； 當(dāng)a<0時，不等式的解集為∪. [鎖定考向] 一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系．在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換．對于

26、一元二次不等式恒成立問題，常根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍． 常見的命題角度有： (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍； (2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])確定參數(shù)的范圍； (3)形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)確定參數(shù)的范圍 1．若不等式2kx2＋kx－<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為(　　) A．(－3,0)　　　　　　　 B．[－3,0) C．[－3,0] D．(－3,0] 解析：選D　當(dāng)

27、k＝0時，顯然成立； 當(dāng)k≠0時，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則解得－3

28、,1]時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1 ＝b2－b－2， f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立， 解得b＜－1或b＞2. ∴b的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞) 角度三：形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])確定x的范圍 3．(2018·浙江五校聯(lián)考)對于任意的0≤m≤4，使不等式x2＋mx＞4x＋m－3恒成立，則x的取值范圍是__________． 解析：轉(zhuǎn)化為m(x－1)＋x2－4x＋3＞0在0≤m≤4時恒成立． 令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3. 則?? ∴x＜

29、－1或x＞3. 故x的取值范圍為(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) [通法在握] 一元二次型不等式恒成立問題的3大破解方法 方法 解　讀 適合題型 判別式法 (1)ax2＋bx＋c≥0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c≤0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的條件是 二次不等式在R上恒成立 (如“題點(diǎn)全練”第1題) 分離參數(shù)法 如果不等式中的參數(shù)比較“孤單”，分離后其系數(shù)與0能比較大小，便可將參數(shù)分離出來，利用下面的結(jié)論求解：a≥f(x)恒成立等價于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等價于a≤f(

30、x)min 適合參數(shù)與變量能分離且f(x)的最值易求 (如“演練沖關(guān)”第2題) 主參換位法 把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解．常見的是轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立問題，若f(x)>0恒成立? 若f(x)<0恒成立? 若在分離參數(shù)時會遇到討論參數(shù)與變量，使求函數(shù)的最值比較麻煩，或者即使能容易分離出卻難以求出時 (如“題點(diǎn)全練”第3題) [演練沖關(guān)] 1．(2018·臺州模擬)不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)對于任意的a，b∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________． 解析：因?yàn)閍2＋8b2≥

31、λb(a＋b)對于任意的a，b∈R恒成立， 所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0對于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立， 由二次不等式的性質(zhì)可得， Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4] 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立， 則mx2－mx＋m－6＜0， 即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 因?yàn)閤2－x＋1＝2＋＞

32、0， 又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可． 因?yàn)閙≠0，所以m的取值范圍是(－∞，0)∪. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6≤0}，集合B為函數(shù)y＝的定義域，則A∩B等于(　　) A．(1,2)　　　　　　　　　 B．[1,2] C．[1,2) D．(1,2] 解析：選D　A＝{x|x2＋x－6≤0}＝{x|－3≤x≤2}， 由x－1>0得x>1，即B＝{x|x>1}， 所以A∩B＝{x|1

33、意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．[－1,4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．(－∞，－1]∪[4，＋∞) D．[－2,5] 解析：選A　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值為4，所以x2－2x＋5≥a2－3a對任意實(shí)數(shù)x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 3．(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)月考)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，則不等式ax2－bx＋c＞0的解集為________________． 解析：令f(x)＝ax2＋bx＋c，其圖象如下圖所示， 再畫出f(－x)的圖象即可， 所以不等式ax2－bx＋c>0的解集為

34、{x|－3＜x＜－2}． 答案：{x|－3＜x＜－2} 4．(2018·金華十校聯(lián)考)若不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|m|≤2的所有m都成立，則x的取值范圍為___________． 解析：原不等式化為(x2－1)m－(2x－1)＜0. 令f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)(－2≤m≤2)． 則 解得＜x＜， 故x的取值范圍為. 答案： 5．(2018·湖州五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋2y2＋≤x(2y＋1)，則x＝________，y＝________，2x＋log2y＝________. 解析：法一：由已知得2x2＋4y2－4xy－2x＋1≤0，即(x

35、－1)2＋(x－2y)2≤0，所以解得x＝1，y＝，2x＋log2y＝2＋log2＝2－1＝1. 法二：由已知得，關(guān)于x的不等式x2－(2y＋1)x＋2y2＋≤0(*)有解，所以Δ＝[－(2y＋1)]2－4≥0，即Δ＝－(2y－1)2≥0，所以2y－1＝0，即y＝，此時不等式(*)可化為x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以x＝1,2x＋log2y＝2＋log2＝2－1＝1. 答案：1　　1 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，則a＋b等于(　　) A．－3　　　

36、　　　　　　 B．1 C．－1 D．3 解析：選A　由題意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a＝－1，b＝－2，則a＋b＝－3. 2．(2018·麗水五校聯(lián)考)不等式x＋＞2的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞)　　　 B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：選A　法一：x＋＞2?x－2＋＞0?＞0?x(x－1)(x＋1)＞0? －1＜x＜0或x＞1. 故原不等式的解集為(－1,0)∪(1，＋∞)． 法二：驗(yàn)證，x＝－2，不滿足

37、不等式，排除B、C、D. 3．(2018·麗水五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，則關(guān)于x的不等式f(x)≤1的解集為(　　) A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) B.[－3，－1] C．[－3，－1]∪(0，＋∞) D．[－3，＋∞) 解析：選C　因?yàn)閒(－4)＝f(0)，所以當(dāng)x≤0時，f(x)的對稱軸為x＝－2，又f(－2)＝0，則f(x)＝不等式f(x)≤1的解為[－3，－1]∪(0，＋∞)，故選C. 4．(2018·寧波四校聯(lián)考)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，則f(m－1)的值為(　　) A．正數(shù) B．負(fù)數(shù)

38、 C．非負(fù)數(shù) D．正數(shù)、負(fù)數(shù)和零都有可能 解析：選A　設(shè)f(x)＝x2－x＋a＝0的兩個根為α，β，由f(m)<0，則α0，則|α－β|<1，f(m－1)>0，故選A. 5．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是(　　) A．[－4,1] B.[－4,3] C．[1,3] D．[－1,3] 解析：選B　原不等式為(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a<1時，不等式的解集為[a,1]，此時只要a≥－4即可，即－4≤a<1；當(dāng)a＝1時，不等式的解為x＝1，此時符合要求；

39、當(dāng)a>1時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，即10，即a2>16. ∴a>4或a<－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞) 7．若關(guān)于x的不等式ax＞b的解集為，則關(guān)于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集為________． 解析：由已知ax＞b的解集為，可知a＜0，且＝，將不等式ax2＋bx－a＞0兩邊同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1

40、＜x＜，故所求解集為. 答案： 8．(2018·蕭山月考)不等式x2＋ax＋b>0(a，b∈R)的解集為，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b0(a，b∈R)的解集為， 所以x2＋ax＋b＝2＝0， 那么不等式x2＋ax＋b＜c， 即20； (2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)

41、，求實(shí)數(shù)a，b的值． 解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6， ∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3， ∴原不等式可化為a2－6a－3<0， 解得3－2b的解集為(－1,3)等價于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3， 等價于解得 10．關(guān)于x的不等式的整數(shù)解的集合為{－2}，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解：由x2－x－2＞0可得x＜－1或x＞2. ∵的整數(shù)解為x＝－2， 又∵方程2x2＋(2k＋5)x＋5k＝0的兩根為－k和－. ①若－k＜－，

42、則不等式組的整數(shù)解集合就不可能為{－2}； ②若－＜－k，則應(yīng)有－2＜－k≤3.∴－3≤k＜2. 綜上，所求k的取值范圍為[－3,2)． 三上臺階，自主選做志在沖刺名校 1．若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) 解析：選A　不等式x2－4x－2－a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)

43、問是否存在a，b，c∈R，使得不等式x2＋≤f(x)≤2x2＋2x＋對一切實(shí)數(shù)x都成立，證明你的結(jié)論． 解：由f(1)＝，得a＋b＋c＝. 令x2＋＝2x2＋2x＋，解得x＝－1. 由f(x)≤2x2＋2x＋推得f(－1)≤， 由f(x)≥x2＋推得f(－1)≥， ∴f(－1)＝.∴a－b＋c＝.故a＋c＝且b＝1. ∴f(x)＝ax2＋x＋－a. 依題意ax2＋x＋－a≥x2＋對一切x∈R都成立， 即(a－1)x2＋x＋2－a≥0對一切x∈R都成立． ∴a≠1且Δ＝1－4(a－1)(2－a)≤0. 即(2a－3)2≤0，∴(2a－3)2＝0， 由a－1＞0得a＝.∴f(

44、x)＝ x2＋x＋1. 證明如下：x2＋x＋1－2x2－2x－＝－x2－x－＝－(x＋1)2≤0. ∴x2＋x＋1≤2x2＋2x＋對x∈R都成立． x2＋x＋1－x2－＝x2＋x＋＝(x＋1)2≥0， ∴x2＋≤x2＋x＋1對x∈R都成立． ∴存在實(shí)數(shù)a＝，b＝1，c＝1，使得不等式x2＋≤f(x)≤2x2＋2x＋對一切x∈R都成立． 第三節(jié)絕對值不等式 1．絕對值三角不等式 定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立． 定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號

45、成立． 2．絕對值不等式的解法 (1)含絕對值不等式|x|a的解法： 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|a (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. [小題體驗(yàn)] 1．不等式|2x－1|＞3的解集為________． 答案：{x|x＜－1或x＞2} 2．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集為________． 答案： 3．函數(shù)y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值為___

46、_____． 解析：∵|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8， 即函數(shù)y的最小值為8. 答案：8 1．對形如|f(x)|>a或|f(x)||a－b|　　　　　　 B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|

47、 解析：選B　∵ab<0， ∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|. 2．若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3， ∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4. 答案：[－2,4] [題組練透] 1．若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析：由|kx－4|≤2?2≤kx≤6. ∵不等式的解集為{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案：2 2．解不等式|2

48、x－1|＋|2x＋1|≤6. 解：法一：當(dāng)x>時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x≤6?1的解集． 解：(1)由題意得f(x)＝ 故y＝f(x)的

49、圖象如圖所示． (2)由f(x)的函數(shù)表達(dá)式及圖象可知， 當(dāng)f(x)＝1時，可得x＝1或x＝3； 當(dāng)f(x)＝－1時，可得x＝或x＝5. 故f(x)>1的解集為{x|11的解集為. [謹(jǐn)記通法] 解絕對值不等式的基本方法 (1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式； (2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式； (3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解． [典例引領(lǐng)] 已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)<2的解集． (1)求

50、M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時，|a＋b|<|1＋ab|. 解：(1)f(x)＝ 當(dāng)x≤－時， 由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1； 當(dāng)－

51、等式再證明． (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明． (3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明． [即時應(yīng)用] 已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤， 求證：|x＋5y|≤1. 證明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|. ∴由絕對值不等式的性質(zhì)，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.即|x＋5y|≤1. [典例引領(lǐng)] 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋a. (1)當(dāng)a＝2時，求不等式f(x)≤6的解集； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝

52、|2x－1|.當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集為{x|－1≤x≤3}． (2)當(dāng)x∈R時，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3， 即＋≥. 又min＝， 所以≥，解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2，＋∞)． [由題悟法] (1)研究含有絕對值的函數(shù)問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決問題，這是常用的思想方法． (2)f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a.

53、 f(x)>a恒成立?f(x)min＞a. [即時應(yīng)用] (2018·浙江七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式f(x)<4－|x－1|； (2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4. 當(dāng)x<－時，即－3x－2－x＋1<4， 解得－1時，即3x＋2＋x－1<4，無解． 綜上所述，x∈. (2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝

54、時等號成立． 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝ ∴x＝－時，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立， 只需g(x)max＝＋a≤4，即0

55、　) A．|x－y|h D．|x－y| >2h 解析：選B　2h>|x－a|＋|y－a|≥|x－a－(y－a)|＝|x－y|，故選B. 3．不等式|x＋2|>的解集是(　　) A．(－3，－2) B.(－2,0) C．(0,2) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 解析：選D　不等式即為5(x＋2)>3x＋14或5(x＋2)<－(3x＋14)，解得x>2或x<－3，故選D. 4．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集為____________． 解析：不等式|x－1|－|x－5|<2等價于 或 或 即或或 故原不等式的

56、解集為{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪?＝{x|x<4}． 答案：{x|x<4} 5．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集為________． 解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得0

57、y是實(shí)數(shù)，那么“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　因?yàn)椤皒y＜0”可以推出“|x－y|＝|x|＋|y|”成立，反過來若“|x－y|＝|x|＋|y|”成立，但是xy有可能等于0，所以“xy＜0”是“|x－y|＝|x|＋|y|”的充分不必要條件，故選A. 3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是(　　) A．[－5,7] B.[－4,6] C. (－∞，－5]∪[7，＋∞) D． (－∞，－4]∪[6，＋∞) 解析：選D　當(dāng)x≤－3時，|x－5|＋|x＋3|

58、＝5－x－x－3＝2－2x≥10，即x≤－4，∴x≤－4.當(dāng)－3

59、1.∴－2≤x＜1. 綜上，－2≤x≤1. 所以原不等式的解集為{x|－2≤x≤1}，故選A. 5．(2018·長沙六校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1,3)，若f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　　) A．(－3,1) B.(－3,3) C．(－1,3) D．(－1,1) 解析：選B　∵f(x)＜0的解集是(－1,3)， ∴a＞0，f(x)的對稱軸是x＝1，且ab＝2. ∴f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． 又∵7＋|t|≥7,1＋t2≥1， ∴由f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，得7＋|t|＞1＋t2. ∴|

60、t|2－|t|－6＜0，解得－3＜t＜3. 故選B. 6．(2018·溫州模擬)不等式|x－1|－|x－2|(|x－1|－|x－2|)max. 因?yàn)閨x－1|－|x－2|≤|x－1－(x－2)|＝1，故a>1. 故a的取值范圍為(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞) 7．設(shè)|x－2|

61、因?yàn)閍>0，所以由題意得解得 0

62、＝2，∴a＝8. 答案：8 9．已知|2x－3|≤1的解集為[m，n]． (1)求m＋n的值； (2)若|x－a|＜m，求證：|x|＜|a|＋1. 解：(1)不等式|2x－3|≤1可化為－1≤2x－3≤1， 解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3. (2)證明：若|x－a|＜1，則|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.即|x|＜|a|＋1. 10．(2018·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值為a. (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)解不等式f(x)≤5. 解：(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，

63、 從而解得a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2|＝ 故當(dāng)x≤2時，令－2x＋6≤5，得≤x≤2， 當(dāng)24時，令2x－6≤5，得4

64、y，則|x|＋|y|≥|x＋y|≥x＋y，所以|x|＋|y|≤1?x＋y≤1，故充分性成立，必要性不成立，故選A. 2．(2018·寧波質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|. (1)解不等式f(x)＞0； (2)若存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)＋2m2＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)不等式f(x)＞0，即|2x－1|＞|x＋2|， 即4x2－4x＋1＞x2＋4x＋4， 3x2－8x－3＞0，解得x＜－或x＞3， 所以不等式f(x)＞0的解集為. (2)f(x)＝|2x－1|－|x＋2|＝ 故f(x)的最小值為f＝－. 因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)x0，使得f(x0)＋2m2

65、＜4m， 所以4m－2m2＞－， 解得－＜m＜. 故實(shí)數(shù)m的取值范圍為. 第四節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題 1．一元二次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C＞0 直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線 Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線 不等式組 各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2．線性規(guī)劃中的基本概念 名稱 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y

66、等 線性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿足線性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題 [小題體驗(yàn)] 1．下列各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是(　　) A．(0,0)　　　　　　　　 B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3) 答案：C 2．(教材習(xí)題改編)不等式組表示的平面區(qū)域是(　　) 答案：B 3．(2018·杭高、效實(shí)中學(xué)、嘉興一中聯(lián)考)已知變量x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最小值為(　　) A．12 B.11 C．8 D．－1 解析：選C　依題意，在平面直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)動直線z＝3x＋y經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)時，目標(biāo)函數(shù)z取得最小值，zmin＝2×3＋2＝8，故選C. 1．畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式化為ax＋by＋c>0(a>0)． 2．線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)解不一定是唯一的，即可