（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線(xiàn)與方程 10.5 曲線(xiàn)與方程學(xué)案

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1、 §10.5　曲線(xiàn)與方程 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 曲線(xiàn)與方程 了解方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 理解 21(1),6分 7(文),5分 分析解讀　　1.求曲線(xiàn)方程的題目往往出現(xiàn)在解答題中,并且以第一小題的形式出現(xiàn),難度適中. 2.預(yù)計(jì)2019年高考試題中,求曲線(xiàn)的方程會(huì)有所涉及. 五年高考 考點(diǎn)　曲線(xiàn)與方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,20,12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:+y2=1上,過(guò)M作x軸

2、的垂線(xiàn),垂足為N,點(diǎn)P滿(mǎn)足=. (1)求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=-3上,且·=1.證明:過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 解析　本題考查了求軌跡方程的基本方法和定點(diǎn)問(wèn)題. (1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),則N(x0,0),=(x-x0,y), =(0,y0). 由=得x0=x,y0=y. 因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2. (2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),則=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由·=1得-3

3、m-m2+tn-n2=1, 又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以·=0,即⊥. 又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ,所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 2.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,20,12分)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E. (1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1,直線(xiàn)l交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 解析　(1)因?yàn)閨AD|=|AC|,E

4、B∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4.(2分) 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1(y≠0).(4分) (2)當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2). 由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0. 則x1+x2=,x1x2=. 所以|MN|=|x1-x2|=.(6分) 過(guò)點(diǎn)B(1,0

5、)且與l垂直的直線(xiàn)m:y=-(x-1),A到m的距離為,所以|PQ|=2=4. 故四邊形MPNQ的面積 S=|MN||PQ|=12.(10分) 可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí),四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8). 當(dāng)l與x軸垂直時(shí),其方程為x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四邊形MPNQ的面積為12. 綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為[12,8).(12分) 3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20,12分)已知拋物線(xiàn)C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線(xiàn)l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn). (1)若F在線(xiàn)段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ; (2

6、)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程. 解析　由題設(shè)知F.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線(xiàn)為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)證明:由于F在線(xiàn)段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則 k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(5分) (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由題設(shè)可得2×|b-a|=, 所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分) 設(shè)滿(mǎn)足條件的AB的中點(diǎn)為E(x

7、,y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=y,所以y2=x-1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分) 4.(2015廣東,20,14分)已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo); (2)求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程; (3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線(xiàn)L:y=k(x-4)與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由. 解析　(1)圓C1的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)2+y2=4,所以圓心坐標(biāo)為(3

8、,0). (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0), 則x0=,y0=. 由題意可知直線(xiàn)l的斜率必存在,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=tx. 將上述方程代入圓C1的方程,化簡(jiǎn)得(1+t2)x2-6x+5=0. 由題意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=, 所以x0=,代入直線(xiàn)l的方程,得y0=. 因?yàn)?=+===3x0, 所以+=. 由(*)解得t2<,又t2≥0,所以

9、4,0). 聯(lián)立直線(xiàn)L的方程與曲線(xiàn)C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0. 令判別式Δ=0,解得k=±,由求根公式解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xH,I=∈,由圖可知:要使直線(xiàn)L與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn),則k∈[kDG,kEG]∪{kGH,kGI},即k∈∪. 5.(2014湖北,21,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1).求直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍. 解析　(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y

10、),依題意得|MF|=|x|+1, 即=|x|+1, 化簡(jiǎn)整理得y2=2(|x|+x). 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2= (2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0), 依題意,可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y-1=k(x+2). 由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① i)當(dāng)k=0時(shí),y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=. 故此時(shí)直線(xiàn)l:y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). ii)當(dāng)k≠0時(shí),方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).② 設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③ 若由②③解得k<-1

11、或k>, 即當(dāng)k∈(-∞,-1)∪時(shí),直線(xiàn)l與C1沒(méi)有公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn), 故此時(shí)直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 若或則由②③解得k∈或-≤k<0, 即當(dāng)k∈時(shí),直線(xiàn)l與C1只有一個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)k∈時(shí),直線(xiàn)l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2沒(méi)有公共點(diǎn), 故當(dāng)k∈∪時(shí),直線(xiàn)l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn). 若則由②③解得-1

12、C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k∈∪時(shí),直線(xiàn)l與軌跡C恰好有三個(gè)公共點(diǎn). 教師用書(shū)專(zhuān)用(6) 6.(2014廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 解析　(1)由題意知c=,e==, ∴a=3,b2=a2-c2=4, 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. (2)設(shè)兩切線(xiàn)為l1,l2, ①當(dāng)l1⊥x軸或l1∥x軸時(shí),l2∥x軸或l2⊥x軸,可知P(±3,±2). ②當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí),x0≠±3,設(shè)l1的斜率為k

13、,且k≠0,則l2的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+ =1聯(lián)立, 整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0, ∵直線(xiàn)l1與橢圓相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0, ∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0, ∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個(gè)根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個(gè)根, ∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3, ∴點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13(x≠±3). P(±3,±2)滿(mǎn)足上式. 綜上,點(diǎn)P的軌跡

14、方程為x2+y2=13. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)　曲線(xiàn)與方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,8)在圓C:x2+y2+2x-2y-23=0中,長(zhǎng)為8的弦中點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A.(x-1)2+(y+1)2=9 B.(x+1)2+(y-1)2=9 C.(x-1)2+(y+1)2=16 D.(x+1)2+(y-1)2=16 答案　B 2.(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,6)點(diǎn)P為直線(xiàn)y=x上任一點(diǎn),F1(-5,0),F2(5,0),則下列結(jié)論正確的是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　

15、　　　　 A.||PF1|-|PF2||>8 B.||PF1|-|PF2||=8 C.||PF1|-|PF2||<8 D.以上都有可能 答案　C 3.(2016浙江鎮(zhèn)海中學(xué)測(cè)試卷四,13)在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1(-2,0),A2(2,0),再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.則直線(xiàn)A1N1與A2N2的交點(diǎn)M的軌跡方程為　　　　　　　　.　? 答案　+=1(x≠±2) 4.(2017浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考(4月),21)已知兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)A,B在橢圓+=1上,且線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)P(0,-1).求: (1)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程; (2

16、)線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度的最大值. 解析　(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直線(xiàn)AB的斜率存在, 由題意可知,+=1,+=1, 則+=0, 得=-. 又·=-1,得y0=-2. 從而,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為y=-2(-

17、—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)一輪階段檢測(cè),7)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(ac≠0)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,與x軸的交點(diǎn)P,Q位于y軸的兩側(cè),以線(xiàn)段PQ為直徑的圓與y軸交于F1(0,4)和F2(0,-4),則點(diǎn)(b,c)所在的曲線(xiàn)為(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn) 答案　B 2.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,6)如圖,在四邊形ABCD中,將△ADC沿AC所在的直線(xiàn)進(jìn)行翻折,則翻折過(guò)程中線(xiàn)段DB的中點(diǎn)M的軌跡是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.橢

18、圓的一段 B.拋物線(xiàn)的一段 C.一段圓弧 D.雙曲線(xiàn)的一段 答案　C 3.(2016浙江高考沖刺卷(四),8)點(diǎn)P到圖形C上所有點(diǎn)的距離的最小值稱(chēng)為點(diǎn)P到圖形C的距離,那么平面內(nèi)到定圓C的距離等于到定點(diǎn)A的距離的點(diǎn)的軌跡不可能是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.圓 B.橢圓 C.雙曲線(xiàn)的一支 D.直線(xiàn) 答案　D 二、填空題 4.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,8)已知點(diǎn)M在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-4,-3)和點(diǎn)B(2,5)且面積最小的圓C上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N(3,-3),則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為　　　　.? 答案　(x-1)2+(y+1)2= 5.(2017浙

19、江“超級(jí)全能生”聯(lián)考(3月),13)在平面直角坐標(biāo)系中,A(a,0),D(0,b),a≠0,C(0,-2),∠CAB=,D是AB的中點(diǎn),當(dāng)A在x軸上移動(dòng)時(shí),a與b滿(mǎn)足的關(guān)系式為　　　　;點(diǎn)B的軌跡E的方程為　　　　.? 答案　a2=2b;y=x2(x≠0) 6.(2016浙江鎮(zhèn)海中學(xué)測(cè)試(五),14)已知線(xiàn)段PQ的長(zhǎng)為1,若P,Q分別在橢圓+y2=1和x軸上運(yùn)動(dòng),則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程是　　　　　　　　.? 答案　+4y2=1 三、解答題 7.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試,18)已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)Q(2,0)和圓O:x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線(xiàn)長(zhǎng)與|MQ|的比等于

20、常數(shù)λ(λ>0),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程,并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn). 解析　設(shè)M(x,y),則|MN|==,|MQ|=, 由題設(shè)知=λ,∴=λ,(5分) 兩邊平方整理得(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+4λ2x-(1+4λ2)=0(λ>0),(7分) 由得λ=1,(8分) ∴當(dāng)λ=1時(shí),方程化為4x-5=0,表示一條垂直于x軸的直線(xiàn);(10分) 當(dāng)λ∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),方程可變形為x2+y2+x-=0,配方得+y2=, 方程表示一個(gè)圓.(14分) 綜上,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+4λ2x-(1+4λ2)=0(λ>0),當(dāng)λ=1時(shí),它表示一

21、條垂直于x軸的直線(xiàn);當(dāng)λ∈(0,1)∪(1,+∞)時(shí),它表示一個(gè)圓.(15分) C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　直接法求軌跡方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.在△ABC中,⊥,=(0,-2),M在y軸上,且=(+),C在x軸上移動(dòng).求點(diǎn)B的軌跡方程. 解析　設(shè)B(x,y),C(a,0),M(0,b),a≠0, ∵=(+), ∴M是BC的中點(diǎn),可得∴a=-x,b=, 又=(-a,-2),=(x-a,y),⊥,∴-ax+a2-2y=0, ① 把a(bǔ)=-x代入①中,得y=x2(x≠0),所以點(diǎn)B的軌跡方程為y=x2(x≠0). 2.已知△ABC

22、中,AB=2,AC=BC,求頂點(diǎn)C的軌跡方程. 解析　以直線(xiàn)AB為x軸,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0). 設(shè)C(x,y),由AC=BC得,=, 平方整理得(x-3)2+y2=8, ∵A、B、C三點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn),∴y≠0, ∴頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-3)2+y2=8(y≠0). 方法2　定義法求軌跡方程 3.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為焦點(diǎn)的橢圓過(guò)A,B兩點(diǎn),則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.y2-=1(y≤-1) B.y2-=1(y≥-1)

23、C.y2-=1 D.x2-=1 答案　A 方法3　相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程 4.過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線(xiàn)l與中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上且離心率為的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),直線(xiàn)y=x過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn),同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),試求直線(xiàn)l與橢圓C的方程. 解析　設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0),由e==,得=,從而a2=2b2,所以c=b. 故橢圓C方程為x2+2y2=2b2,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),∵A、B在橢圓C上,∴+2=2b2,+2=2b2,兩式相減得(-)+2(-)=0,即=-. 設(shè)AB中點(diǎn)為(x0,y0),則kAB=-,又(x0,y0)在直線(xiàn)y=x上,故y0=x0,于是-=-1,即kAB=-1,故直線(xiàn)l的方程為y=-x+1. 右焦點(diǎn)(b,0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)設(shè)為(x',y'), 則解得 由點(diǎn)(1,1-b)在橢圓上,得1+2(1-b)2=2b2, ∴b=,∴b2=,a2=.∴所求橢圓C的方程為+=1. 10