2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 蘇教版必修5一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1. 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式,并能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題;2. 體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系選擇題填空題等差數(shù)列前n項(xiàng)和還要注意兩點(diǎn):公式推導(dǎo)的方法和函數(shù)的思想二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn):運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式解決一些問(wèn)題。難點(diǎn):等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)間的關(guān)系??键c(diǎn)一:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及推導(dǎo)(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1(2) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo):Sna1a2an,Snanan1a1,2Sn(a1an)(a2an1)(an

2、a1),n(a1an),Snn(a1an)這種推導(dǎo)方法稱(chēng)為倒序求和法。 【核心突破】(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可知,若已知a1、d、n、an、Sn中三個(gè)便可求出其余兩個(gè),即“知三求二”?!爸蠖钡膶?shí)質(zhì)是方程思想,即建立方程組求解。(2)在運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)求和時(shí),一般地,若已知首項(xiàng)a1及末項(xiàng)an用公式Sn較方便;若已知首項(xiàng)a1及公差d用公式Snna1d較好。(3)在運(yùn)用公式Sn求和時(shí),要注意性質(zhì)“設(shè)m、n、p、q均為正整數(shù),若mnpq,則amanapaq”的運(yùn)用。(4)在求和時(shí)除了直接用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和(即已知數(shù)列是等差數(shù)列)外,還要注意創(chuàng)設(shè)運(yùn)用公式條件(

3、即將非等差數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問(wèn)題),以利于求和??键c(diǎn)二:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)數(shù)列an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則有如下性質(zhì):(1)Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差數(shù)列,公差為m2d。(2)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n(nN*),則S偶S奇nd,。(3)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1(nN*),則S奇S偶an1,。(4)若an、bn均為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,則??键c(diǎn)三:等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值解決等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的基本思想是利用前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題,即:(1)二次函數(shù)法:用求二次函數(shù)的最值的方法來(lái)求前n項(xiàng)和的最值,但要注意的是:。(2)圖象法:利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定的值

4、,使取最值。(3)通項(xiàng)法:當(dāng)時(shí),為使成立的最大的自然數(shù)時(shí),最大。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí),即遞增;當(dāng)時(shí),即遞減。類(lèi)似的,當(dāng)時(shí),則為使成立的最大的自然數(shù)時(shí),最小。例題1(等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用)在等差數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn。(1)已知S848,S12168,求a1和d;(2)已知a610,S55,求a8和S8;(3)已知a3a1540,求S17。思路分析:(1)利用前n項(xiàng)和公式,建立關(guān)于a1、d的方程組,解方程組求a1、d;(2)根據(jù)前n項(xiàng)和公式求a1、d,再求a8和S8;(3)先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求a1a17,再求S17。答案:(1)由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,得 解得(2)a6S6S5,S6S5a

5、615,615,即3(a110)15,a15,d3,a8a62d16,S8844;(3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),有a3a15a1a1740,S17340。技巧點(diǎn)撥:1. 本題第(3)問(wèn)看似缺少條件,但注意到a3a15與a1a17的聯(lián)系,便可以很容易地求出結(jié)果,所以應(yīng)注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系。2. 對(duì)于兩個(gè)求和公式Sn和Snna1,要根據(jù)題目的已知條件靈活選用。例題2(等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值)已知等差數(shù)列an中,a113且S3S11,那么n取何值時(shí),Sn取得最大值?并求出Sn的最大值。思路分析:先根據(jù)前n項(xiàng)和公式求公差d,再求出Sn的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在N*上的最值問(wèn)題;也可求出公差d后,利

6、用通項(xiàng)公式an的符號(hào)解決。答案:方法一設(shè)公差為d,由S3S11得313d1113d,d2,又a113,Snn2(a1)nn214n(n7)249,當(dāng)n7時(shí),Sn取得最大值,最大值是S749;方法二同方法一得d2,an132(n1)152n,由 即解得6.5n7.5,當(dāng)n7時(shí),Sn取得最大值,Sn的最大值是S749;方法三同方法一得d2又由S3S11知a4a5a6a7a8a9a10a114(a7a8)0,a1130,a70,a80,知數(shù)列的前7項(xiàng)和最大,S7713(2)49。技巧點(diǎn)撥:1. 本題中方法一利用二次函數(shù)的最值確定n值;方法二利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式確定n值;方法三利用等差數(shù)列的性質(zhì),由

7、條件本身的特點(diǎn)確定n值。2. 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的常見(jiàn)方法:(1)方法一:利用通項(xiàng)公式確定n值若a10,d0,則Sn有最大值,n可由不等式組來(lái)確定;若a10,d0,則Sn有最小值,n可由不等式組來(lái)確定。(2)方法二:利用二次函數(shù)的最值確定n值等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)d0時(shí),點(diǎn)(n,Sn)是二次函數(shù)yax2bx(a0)上的間斷點(diǎn),因此可利用二次函數(shù)的最值確定n值。一類(lèi)與等差數(shù)列有關(guān)的含絕對(duì)值的數(shù)列的求和【滿分訓(xùn)練】已知數(shù)列為等差數(shù)列,求思路分析:所求和中關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值,故根據(jù)的正負(fù)去掉絕對(duì)值。先確定各項(xiàng)的正負(fù),再根據(jù)正負(fù)去掉絕對(duì)值,然后求和。答案:由于有正也有負(fù),當(dāng)0時(shí),;當(dāng)0時(shí),。當(dāng)0時(shí),所以技巧點(diǎn)撥:這類(lèi)數(shù)列的求和問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)是未考慮的情形,或者考慮了,但認(rèn)為它是一個(gè)常數(shù)。

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