2022高中數(shù)學 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和學案 蘇教版必修5

2022高中數(shù)學 第2章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項和學案 蘇教版必修5一、考點突破知識點課標要求題型說明等差數(shù)列的前n項和1. 掌握等差數(shù)列前n項和的公式，并能運用公式解決一些簡單問題；2. 體會等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)間的關系選擇題填空題等差數(shù)列前n項和還要注意兩點：公式推導的方法和函數(shù)的思想二、重難點提示重點：運用等差數(shù)列前n項和的公式解決一些問題。難點：等差數(shù)列前n項和公式與二次函數(shù)間的關系?？键c一：等差數(shù)列前n項和公式及推導（1）等差數(shù)列的前n項和公式Snna1（2） 等差數(shù)列的前n項和公式的推導：Sna1a2an，Snanan1a1，2Sn（a1an）（a2an1）（ana1），n（a1an），Snn（a1an）這種推導方法稱為倒序求和法。 【核心突破】（1）由等差數(shù)列的前n項和公式及通項公式可知，若已知a1、d、n、an、Sn中三個便可求出其余兩個，即“知三求二”?！爸蠖钡膶嵸|是方程思想，即建立方程組求解。（2）在運用等差數(shù)列的前n項和公式來求和時，一般地，若已知首項a1及末項an用公式Sn較方便；若已知首項a1及公差d用公式Snna1d較好。（3）在運用公式Sn求和時，要注意性質“設m、n、p、q均為正整數(shù)，若mnpq，則amanapaq”的運用。（4）在求和時除了直接用等差數(shù)列的前n項和公式求和（即已知數(shù)列是等差數(shù)列）外，還要注意創(chuàng)設運用公式條件（即將非等差數(shù)列問題轉化為等差數(shù)列問題），以利于求和?？键c二：等差數(shù)列前n項和的性質數(shù)列an為等差數(shù)列，前n項和為Sn，則有如下性質：（1）Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差數(shù)列，公差為m2d。（2）若項數(shù)為偶數(shù)2n（nN*），則S偶S奇nd，。（3）若項數(shù)為奇數(shù)2n1（nN*），則S奇S偶an1，。（4）若an、bn均為等差數(shù)列，前n項和分別為Sn和Tn，則?？键c三：等差數(shù)列前n項和的最值解決等差數(shù)列前n項和的最值的基本思想是利用前n項和公式與函數(shù)的關系解決問題，即：（1）二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值的方法來求前n項和的最值，但要注意的是：。（2）圖象法：利用二次函數(shù)的對稱性來確定的值，使取最值。（3）通項法：當時，為使成立的最大的自然數(shù)時，最大。這是因為當時，即遞增；當時，即遞減。類似的，當時，則為使成立的最大的自然數(shù)時，最小。例題1（等差數(shù)列前n項和公式的應用）在等差數(shù)列an中，前n項和為Sn。（1）已知S848，S12168，求a1和d；（2）已知a610，S55，求a8和S8；（3）已知a3a1540，求S17。思路分析：（1）利用前n項和公式，建立關于a1、d的方程組，解方程組求a1、d；（2）根據(jù)前n項和公式求a1、d，再求a8和S8；（3）先根據(jù)等差數(shù)列的性質求a1a17，再求S17。答案：（1）由等差數(shù)列的前n項和公式，得 解得（2）a6S6S5，S6S5a615，×615，即3（a110）15，a15，d3，a8a62d16，S8×844；（3）根據(jù)等差數(shù)列的性質，有a3a15a1a1740，S17340。技巧點撥：1. 本題第（3）問看似缺少條件，但注意到a3a15與a1a17的聯(lián)系，便可以很容易地求出結果，所以應注意各元素之間的某些特殊聯(lián)系。2. 對于兩個求和公式Sn和Snna1，要根據(jù)題目的已知條件靈活選用。例題2（等差數(shù)列前n項和的最值）已知等差數(shù)列an中，a113且S3S11，那么n取何值時，Sn取得最大值？并求出Sn的最大值。思路分析：先根據(jù)前n項和公式求公差d，再求出Sn的表達式，轉化成二次函數(shù)在N*上的最值問題；也可求出公差d后，利用通項公式an的符號解決。答案：方法一設公差為d，由S3S11得3×13d11×13d，d2，又a113，Snn2（a1）nn214n（n7）249，當n7時，Sn取得最大值，最大值是S749；方法二同方法一得d2，an132（n1）152n，由 即解得6.5n7.5，當n7時，Sn取得最大值，Sn的最大值是S749；方法三同方法一得d2又由S3S11知a4a5a6a7a8a9a10a114（a7a8）0，a1130，a70，a80，知數(shù)列的前7項和最大，S77×13×（2）49。技巧點撥：1. 本題中方法一利用二次函數(shù)的最值確定n值；方法二利用等差數(shù)列的通項公式確定n值；方法三利用等差數(shù)列的性質，由條件本身的特點確定n值。2. 求等差數(shù)列前n項和的最值的常見方法：（1）方法一：利用通項公式確定n值若a10，d0，則Sn有最大值，n可由不等式組來確定；若a10，d0，則Sn有最小值，n可由不等式組來確定。（2）方法二：利用二次函數(shù)的最值確定n值等差數(shù)列的前n項和為Sn，當d0時，點（n，Sn）是二次函數(shù)yax2bx（a0）上的間斷點，因此可利用二次函數(shù)的最值確定n值。一類與等差數(shù)列有關的含絕對值的數(shù)列的求和【滿分訓練】已知數(shù)列為等差數(shù)列，求思路分析：所求和中關鍵是去掉絕對值，故根據(jù)的正負去掉絕對值。先確定各項的正負，再根據(jù)正負去掉絕對值，然后求和。答案：由于有正也有負，當0時，；當<0時，。當0時，所以技巧點撥：這類數(shù)列的求和問題的易錯點是未考慮的情形，或者考慮了，但認為它是一個常數(shù)。