《2022高考數學一輪復習 第9章 解析幾何 第10課時 拋物線(二)練習 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022高考數學一輪復習 第9章 解析幾何 第10課時 拋物線(二)練習 理(9頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、2022高考數學一輪復習 第9章 解析幾何 第10課時 拋物線(二)練習 理
1.(2018·廣東中山第一次統(tǒng)測)過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.6 B.8
C.9 D.10
答案 B
解析 |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=8.故選B.
2.若拋物線y=4x2上一點到直線y=4x-5的距離最短,則該點的坐標是( )
A.(,1) B.(0,0)
C.(1,2) D.(1,4)
答案 A
解析 設與直線y=4x-5平行的直線為y=4x
2、+m,由平面幾何的性質可知,拋物線y=4x2上到直線y=4x-5的距離最短的點即為直線y=4x+m與拋物線相切的點.而對y=4x2求導得y′=8x,又直線y=4x+m的斜率為4,所以8x=4,得x=,此時y=4×()2=1,即切點為(,1),故選A.
3.(2017·北京東城期末)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點O是原點,如果|BF|=3,|BF|>|AF|,∠BFO=,那么|AF|的值為( )
A.1 B.
C.3 D.6
答案 A
解析 由已知直線的斜率為k=,則方程為y=(x-),聯(lián)立方程得3x2-5px+=0,即(2x-3p)(6x
3、-p)=0.
因為|BF|>|AF|,所以xB=p,xA=,依題意xB+=2p=3,所以p=,則|AF|=xA+=p=1.故選A.
4.(2018·廣東汕頭第三次質檢)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,與直線y=2x-4交于A,B兩點,則cos∠AFB=( )
A. B.
C.- D.-
答案 D
解析 ∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,∴點F的坐標為(1,0).又∵直線y=2x-4與C交于A,B兩點,∴A,B兩點坐標分別為(1,-2),(4,4),則=(0,-2),=(3,4),∴cos∠AFB===-.故選D.
5.(2018·河南四校聯(lián)考)設O為坐標原點,P是以
4、F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,M是線段PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為( )
A. B.
C. D.1
答案 C
解析 由題意可得F(,0).設P(,y0),當y0<0時,kOM<0;當y0>0時,kOM>0.∵要求kOM的最大值,∴y0>0.∵=+=+=+(-)=+=(+,),∴kOM==≤=,當且僅當y02=2p2,即y0=p時取得等號.故選C.
6.(2018·廣西玉林期末)從拋物線y2=4x的準線l上一點P引拋物線的兩條切線PA,PB,A,B為切點.若直線AB的傾斜角為,則P點的縱坐標為( )
A. B.
5、C. D.2
答案 B
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),P(-1,y),則kAB==.
∵直線AB的傾斜角為,∴=,∴y1+y2=.
切線PA的方程為y-y1=(x-x1),切線PB的方程為y-y2=(x-x2),即切線PA的方程為y=x+y1,切線PB的方程為y=x+y2.
∴y1,y2是方程t2-2yt+4x=0兩個根,∴y1+y2=2y=.∴y=.故選B.
7.(2018·石家莊市高三檢測)已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2px(p>0),C1與C2相交于A,B兩點,且|AB|=,則拋物線C2的方程為( )
A.y2=x B.y2
6、=x
C.y2=x D.y2=x
答案 C
解析 由題意,知直線AB必過原點,則設AB的方程為y=kx(k>0),圓心C1(0,2)到直線AB的距離d===,解得k=2.由可取A(0,0),B(,),把(,)代入拋物線方程,得()2=2p·,解得p=,所以拋物線C2的方程為y2=x,故選C.
8.直線l與拋物線C:y2=2x交于A,B兩點,O為坐標原點,若直線OA,OB的斜率k1,k2滿足k1k2=,則直線l過定點( )
A.(-3,0) B.(0,-3)
C.(3,0) D.(0,3)
答案 A
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),因為k1k2=,所以·
7、=.又y12=2x1,y22=2x2,所以y1y2=6.將直線l:x=my+b代入拋物線C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,所以b=-3,即直線l:x=my-3,所以直線l過定點(-3,0).
9.(2017·湖南益陽模擬)如圖所示,已知直線l:y=k(x+1)(k>0)與拋物線C:y2=4x相交于A,B兩點,且A,B兩點在拋物線C準線上的射影分別是M,N,若|AM|=2|BN|,則k的值是( )
A. B.
C. D.2
答案 C
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組消去x,得ky2-4y+4k=0.①
因為直線與拋物線相
8、交,所以有
Δ=42-4×k×4k=16(1-k2)>0.(*)
y1,y2是方程①的兩個根,所以有
又因為|AM|=2|BN|,所以y1=2y2.④
解由②③④組成的方程組,得k=.
把k=代入(*)式檢驗,不等式成立.所以k=,故選C.
10.(2017·威海一模)過拋物線C:y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0)作兩條斜率均存在的直線,分別交拋物線C于A(x1,y1),B(x2,y2),若直線PA,PB關于直線x=x0對稱,則log2|y1+y2|-log2y0的值為( )
A.1 B.-1
C.- D.無法確定
答案 A
解析 設直線P
9、A的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.由y12=2px1,y02=2px0相減得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),故kPA==(x1≠x0).同理可得kPB=(x2≠x0).若直線PA,PB關于直線x=x0對稱,則PA,PB的傾斜角互補.故kPA=-kPB,即=-.所以y1+y2=-2y0,故=-2,故log2|y1+y2|-log2y0=1.故選A.
11.(2018·東城區(qū)期末)已知拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M,若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
A. B.
C.
10、D.
答案 D
解析 由題可知,拋物線開口向上且焦點坐標為(0,),雙曲線焦點坐標為(2,0),所以兩個焦點連線的直線方程為y=-(x-2).設M(x0,y0),則有y′=x0=?x0=p.因為y0=x02,所以y0=.又M點在拋物線的切線上,即有=-(p-2)?p=,故選D.
12.(2017·浙江杭州七校模擬質量檢測)拋物線y2=4x的焦點為F,過點(0,3)的直線與拋物線交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點D,若|AF|+|BF|=6,則點D的坐標為________.
答案 (4,0)
解析 設直線AB的方程為y=kx+3,代入拋物線y2=4x,
整理得k2x2+(
11、6k-4)x+9=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,由|AF|+|BF|=6,得(x1+)+(x2+)=x1+x2+p=-+2=6,解得k=-2,k=(舍去),
所以線段AB的中點為(2,-1),線段AB的垂直平分線方程為y+1=(x-2),令y=0,得x=4.故點D的坐標為(4,0).
13.(2018·鄭州質檢)設拋物線y2=16x的焦點為F,經過點P(1,0)的直線l與拋物線交于A,B兩點,且2=,則|AF|+2|BF|=________.
答案 15
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2).∵P(1,0),
∴=(1-x2,-y2),=(x1
12、-1,y1).
∵2=,∴2(1-x2,-y2)=(x1-1,y1),
∴x1+2x2=3,-2y2=y(tǒng)1.
將A(x1,y1),B(x2,y2)代入拋物線方程y2=16x,得
y12=16x1,y22=16x2.
又∵-2y2=y(tǒng)1,∴4x2=x1.又∵x1+2x2=3,解得x2=,x1=2.
∴|AF|+2|BF|=x1+4+2(x2+4)=2+4+2×(+4)=15.
14.等腰直角三角形AOB內接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點,OA⊥OB,△AOB的面積是16,拋物線的焦點為F.若M是拋物線上的動點,則的最大值為________.
答案
解析 設等
13、腰直角三角形OAB的頂點A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2.由|OA|=|OB|,得x12+y12=x22+y22,∴x12-x22+2px1-2px2=0,即(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.
∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2,即點A,B關于x軸對稱.
∴設直線OA的方程為y=x,與拋物線方程聯(lián)立,解得或
∴|AB|=4p,∴S△OAB=×2p×4p=4p2.
∵△AOB的面積為16,∴p=2.∴焦點F(1,0).
設M(m,n),則n2=4m,m>0,設點M到準線x=-1的距離等于d,
則==.
令m+1=t,t>1,則
14、m=t-1,=≤(當且僅當t=3時,等號成立).∴的最大值為.
15.(2018·河北唐山一中期末)已知拋物線C:x2=2py(p>0),圓O:x2+y2=1.
(1)若拋物線C的焦點F在圓上,且A為C和圓O的一個交點,求|AF|;
(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相交于點M,N,求|MN|的最小值及相應p的值.
答案 (1)-1 (2)2
解析 (1)由題意得F(0,1),∴C:x2=4y.
解方程組得yA=-2,∴|AF|=-1.
(2)設M(x0,y0),則切線l:y=(x-x0)+y0,整理得x0x-py-py0=0.
由|ON|=1得|py0|==,
∴p=且y
15、02-1>0.
∴|MN|2=|OM|2-1=x02+y02-1=2py0+y02-1=+y02-1=4++(y02-1)≥8,當且僅當y0=時等號成立.
∴|MN|的最小值為2,此時p=.
16.(2018·江西九江一模)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F且傾斜角為的直線l被E截得的線段長為8.
(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點C是拋物線上的動點,以C為圓心的圓過點F,且圓C與直線x=-相交于A,B兩點,求|FA|·|FB|的取值范圍.
答案 (1)y2=4x (2)|FA|·|FB|∈[3,+∞)
解析 (1)由題意,直線l的方程為y=x-.聯(lián)立消去
16、y整理得x2-3px+=0.設直線l與拋物線E的交點的橫坐標分別為x1,x2,則x1+x2=3p,故直線l被拋物線E截得的線段長為x1+x2+p=4p=8,得p=2,∴拋物線E的方程為y2=4x.
(2)由(1)知,F(1,0),設C(x0,y0),則圓C的方程是
(x-x0)2+(y-y0)2=(x0-1)2+y02.
令x=-,得y2-2y0y+3x0-=0.
又∵y02=4x0,∴Δ=4y02-12x0+3=y(tǒng)02+3>0恒成立.
設A(-,y3),B(-,y4),則y3+y4=2y0,y3y4=3x0-.
∴|FA|·|FB|=·
=
=
==3|x0+1|.
∵x
17、0≥0,∴|FA|·|FB|∈[3,+∞).
1.(2018·南昌一模)已知拋物線y2=8x的焦點為F,設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上的兩個動點,若x1+x2+4=|AB|,則∠AFB的最大值為( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 因為x1+x2+4=|AB|,|AF|+|BF|=x1+x2+4,所以|AF|+|BF|=|AB|.在△AFB中,由余弦定理得cos∠AFB===-1=-1.又|AF|+|BF|=|AB|≥2,當且僅當|AF|=|BF|時等號成立,所以|AF||BF|≤|AB|2,所以cos∠AFB≥-1=-,所以∠AFB≤,即∠A
18、FB的最大值為.
2.(2017·遼寧五校期末聯(lián)考)已知AB是拋物線y2=2x的一條焦點弦,|AB|=4,則AB中點C的橫坐標是( )
A.2 B.
C. D.
答案 C
解析 設A(x1,y1),B(x2,y2),
∵|AB|=4,∴x1++x2+=4,∴x1+x2=3.
∴C點橫坐標為,故選C.
3.(2017·東北三校)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在拋物線上,且2x2=x1+x3,則有( )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3| B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.
19、2|FP2|=|FP1|+|FP3| D.|FP2|2=|FP1|·|FP3|
答案 C
解析 拋物線的準線方程為x=-,由定義得|FP1|=x1+,|FP2|=x2+,|FP3|=x3+,則|FP1|+|FP3|=x1++x3+=x1+x3+p,2|FP2|=2x2+p,由2x2=x1+x3,得2|FP2|=|FP1|+|FP3|,故選C.
4.(2017·豫晉冀三省一調)設拋物線y2=8x的焦點為F,準線為l,P是拋物線上一點,若直線PF的傾斜角為120°,則|PF|等于( )
A.2 B.
C.3 D.
答案 B
解析 設P(x,y),PA⊥l,A為垂足,取l與x
20、軸的交點為B.在Rt△ABF中,∠AFB=30°,BF=4,則|AB|=|y|=,即有8x=,可得x=,|PF|=2+=.
5.已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y12+y22的最小值是________.
答案 32
解析 設直線方程為x=ky+4,與拋物線聯(lián)立得
y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
∴y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.
故最小值為32.
6.已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點,|AF|=2,則|BF|=________.
21、
答案 2
解析 拋物線y2=4x的焦點F(1,0),p=2.由+=,即+=,∴|BF|=2.
8.如圖所示,斜率為1的直線過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,與拋物線交于A,B兩點,M為拋物線弧AB上的動點.
(1)若|AB|=8,求拋物線的方程;
(2)求S△ABM的最大值.
答案 (1)y2=4x (2)p2
解析 (1)由條件知lAB:y=x-,與y2=2px聯(lián)立,消去y,得x2-3px+p2=0,則x1+x2=3p.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p.
又因為|AB|=8,即p=2,則拋物線的方程為y2=4x.
(2)方法一:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,設M(,y0),則M到AB的距離為d=.
因為點M在直線AB的上方,所以-y0-<0,
則d==
==.
當y0=p時,dmax=p.
故S△ABM的最大值為×4p×p=p2.
方法二:由(1)知|AB|=4p,且lAB:y=x-,設與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+m,代入拋物線方程,得x2+2(m-p)x+m2=0.由Δ=4(m-p)2-4m2=0,得m=.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為y=x+,兩直線間的距離為d==p,
故S△ABM的最大值為×4p×p=p2.