2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第10課時(shí) 拋物線（二）練習(xí) 理

2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 解析幾何 第10課時(shí) 拋物線（二）練習(xí) 理1(2018·廣東中山第一次統(tǒng)測(cè))過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)如果x1x26，那么|AB|()A6B8C9 D10答案B解析|AB|AF|BF|x1x2p8.故選B.2若拋物線y4x2上一點(diǎn)到直線y4x5的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是()A(，1) B(0，0)C(1，2) D(1，4)答案A解析設(shè)與直線y4x5平行的直線為y4xm，由平面幾何的性質(zhì)可知，拋物線y4x2上到直線y4x5的距離最短的點(diǎn)即為直線y4xm與拋物線相切的點(diǎn)而對(duì)y4x2求導(dǎo)得y8x，又直線y4xm的斜率為4，所以8x4，得x，此時(shí)y4×()21，即切點(diǎn)為(，1)，故選A.3(2017·北京東城期末)過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是原點(diǎn)，如果|BF|3，|BF|>|AF|，BFO，那么|AF|的值為()A1 B.C3 D6答案A解析由已知直線的斜率為k，則方程為y(x)，聯(lián)立方程得3x25px0，即(2x3p)(6xp)0.因?yàn)閨BF|>|AF|，所以xBp，xA，依題意xB2p3，所以p，則|AF|xAp1.故選A.4(2018·廣東汕頭第三次質(zhì)檢)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，與直線y2x4交于A，B兩點(diǎn)，則cosAFB()A. B.C D答案D解析拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)又直線y2x4與C交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，2)，(4，4)，則(0，2)，(3，4)，cosAFB.故選D.5(2018·河南四校聯(lián)考)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B.C. D1答案C解析由題意可得F(，0)設(shè)P(，y0)，當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0；當(dāng)y0>0時(shí)，kOM>0.要求kOM的最大值，y0>0.()(，)，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y022p2，即y0p時(shí)取得等號(hào)故選C.6(2018·廣西玉林期末)從拋物線y24x的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)若直線AB的傾斜角為，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A. B.C. D2答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，y)，則kAB.直線AB的傾斜角為，y1y2.切線PA的方程為yy1(xx1)，切線PB的方程為yy2(xx2)，即切線PA的方程為yxy1，切線PB的方程為yxy2.y1，y2是方程t22yt4x0兩個(gè)根，y1y22y.y.故選B.7(2018·石家莊市高三檢測(cè))已知圓C1：x2(y2)24，拋物線C2：y22px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，則拋物線C2的方程為()Ay2x By2xCy2x Dy2x答案C解析由題意，知直線AB必過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)AB的方程為ykx(k>0)，圓心C1(0，2)到直線AB的距離d，解得k2.由可取A(0，0)，B(，)，把(，)代入拋物線方程，得()22p·，解得p，所以拋物線C2的方程為y2x，故選C.8直線l與拋物線C：y22x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率k1，k2滿足k1k2，則直線l過(guò)定點(diǎn)()A(3，0) B(0，3)C(3，0) D(0，3)答案A解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閗1k2，所以·.又y122x1，y222x2，所以y1y26.將直線l：xmyb代入拋物線C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，所以b3，即直線l：xmy3，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(3，0)9.(2017·湖南益陽(yáng)模擬)如圖所示，已知直線l：yk(x1)(k>0)與拋物線C：y24x相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)在拋物線C準(zhǔn)線上的射影分別是M，N，若|AM|2|BN|，則k的值是()A. B.C. D2答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組消去x，得ky24y4k0.因?yàn)橹本€與拋物線相交，所以有424×k×4k16(1k2)>0.(*)y1，y2是方程的兩個(gè)根，所以有又因?yàn)閨AM|2|BN|，所以y12y2.解由組成的方程組，得k.把k代入(*)式檢驗(yàn)，不等式成立所以k，故選C.10(2017·威海一模)過(guò)拋物線C：y22px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0，y0)(y0>0)作兩條斜率均存在的直線，分別交拋物線C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直線PA，PB關(guān)于直線xx0對(duì)稱(chēng)，則log2|y1y2|log2y0的值為()A1 B1C D無(wú)法確定答案A解析設(shè)直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB.由y122px1，y022px0相減得(y1y0)(y1y0)2p(x1x0)，故kPA(x1x0)同理可得kPB(x2x0)若直線PA，PB關(guān)于直線xx0對(duì)稱(chēng)，則PA，PB的傾斜角互補(bǔ)故kPAkPB，即.所以y1y22y0，故2，故log2|y1y2|log2y01.故選A.11(2018·東城區(qū)期末)已知拋物線C1：yx2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：y21的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p()A. B.C. D.答案D解析由題可知，拋物線開(kāi)口向上且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，所以兩個(gè)焦點(diǎn)連線的直線方程為y(x2)設(shè)M(x0，y0)，則有yx0x0p.因?yàn)閥0x02，所以y0.又M點(diǎn)在拋物線的切線上，即有(p2)p，故選D.12(2017·浙江杭州七校模擬質(zhì)量檢測(cè))拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(0，3)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)D，若|AF|BF|6，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)答案(4，0)解析設(shè)直線AB的方程為ykx3，代入拋物線y24x，整理得k2x2(6k4)x90.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，由|AF|BF|6，得(x1)(x2)x1x2p26，解得k2，k(舍去)，所以線段AB的中點(diǎn)為(2，1)，線段AB的垂直平分線方程為y1(x2)，令y0，得x4.故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，0)13(2018·鄭州質(zhì)檢)設(shè)拋物線y216x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，0)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且2，則|AF|2|BF|_答案15解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1，0)，(1x2，y2)，(x11，y1)2，2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.將A(x1，y1)，B(x2，y2)代入拋物線方程y216x，得y1216x1，y2216x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得x2，x12.|AF|2|BF|x142(x24)242×(4)15.14等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y22px(p>0)，O為拋物線的頂點(diǎn)，OAOB，AOB的面積是16，拋物線的焦點(diǎn)為F.若M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)答案解析設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y122px1，y222px2.由|OA|OB|，得x12y12x22y22，x12x222px12px20，即(x1x2)(x1x22p)0.x1>0，x2>0，2p>0，x1x2，即點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)設(shè)直線OA的方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立，解得或|AB|4p，SOAB×2p×4p4p2.AOB的面積為16，p2.焦點(diǎn)F(1，0)設(shè)M(m，n)，則n24m，m>0，設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線x1的距離等于d，則.令m1t，t>1，則mt1，(當(dāng)且僅當(dāng)t3時(shí)，等號(hào)成立)的最大值為.15(2018·河北唐山一中期末)已知拋物線C：x22py(p>0)，圓O：x2y21.(1)若拋物線C的焦點(diǎn)F在圓上，且A為C和圓O的一個(gè)交點(diǎn)，求|AF|；(2)若直線l與拋物線C和圓O分別相交于點(diǎn)M，N，求|MN|的最小值及相應(yīng)p的值答案(1)1(2)2解析(1)由題意得F(0，1)，C：x24y.解方程組得yA2，|AF|1.(2)設(shè)M(x0，y0)，則切線l：y(xx0)y0，整理得x0xpypy00.由|ON|1得|py0|，p且y021>0.|MN|2|OM|21x02y0212py0y021y0214(y021)8，當(dāng)且僅當(dāng)y0時(shí)等號(hào)成立|MN|的最小值為2，此時(shí)p.16.(2018·江西九江一模)已知拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線l被E截得的線段長(zhǎng)為8.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)點(diǎn)F，且圓C與直線x相交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|·|FB|的取值范圍答案(1)y24x(2)|FA|·|FB|3，)解析(1)由題意，直線l的方程為yx.聯(lián)立消去y整理得x23px0.設(shè)直線l與拋物線E的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，則x1x23p，故直線l被拋物線E截得的線段長(zhǎng)為x1x2p4p8，得p2，拋物線E的方程為y24x.(2)由(1)知，F(xiàn)(1，0)，設(shè)C(x0，y0)，則圓C的方程是(xx0)2(yy0)2(x01)2y02.令x，得y22y0y3x00.又y024x0，4y0212x03y023>0恒成立設(shè)A(，y3)，B(，y4)，則y3y42y0，y3y43x0.|FA|·|FB|·3|x01|.x00，|FA|·|FB|3，)1(2018·南昌一模)已知拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若x1x24|AB|，則AFB的最大值為()A. B.C. D.答案D解析因?yàn)閤1x24|AB|，|AF|BF|x1x24，所以|AF|BF|AB|.在AFB中，由余弦定理得cosAFB11.又|AF|BF|AB|2，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|BF|時(shí)等號(hào)成立，所以|AF|BF|AB|2，所以cosAFB1，所以AFB，即AFB的最大值為.2(2017·遼寧五校期末聯(lián)考)已知AB是拋物線y22x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|4，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A2 B.C. D.答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|4，x1x24，x1x23.C點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故選C.3(2017·東北三校)已知拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|·|FP3|答案C解析拋物線的準(zhǔn)線方程為x，由定義得|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，則|FP1|FP3|x1x3x1x3p，2|FP2|2x2p，由2x2x1x3，得2|FP2|FP1|FP3|，故選C.4(2017·豫晉冀三省一調(diào))設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是拋物線上一點(diǎn)，若直線PF的傾斜角為120°，則|PF|等于()A2 B.C3 D.答案B解析設(shè)P(x，y)，PAl，A為垂足，取l與x軸的交點(diǎn)為B.在RtABF中，AFB30°，BF4，則|AB|y|，即有8x，可得x，|PF|2.5已知拋物線y24x，過(guò)點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y12y22的最小值是_答案32解析設(shè)直線方程為xky4，與拋物線聯(lián)立得y24ky160，y1y24k，y1y216.y12y22(y1y2)22y1y216k232.故最小值為32.6已知過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|2，則|BF|_答案2解析拋物線y24x的焦點(diǎn)F(1，0)，p2.由，即，|BF|2.8.如圖所示，斜率為1的直線過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)(1)若|AB|8，求拋物線的方程；(2)求SABM的最大值答案(1)y24x(2)p2解析(1)由條件知lAB：yx，與y22px聯(lián)立，消去y，得x23pxp20，則x1x23p.由拋物線定義得|AB|x1x2p4p.又因?yàn)閨AB|8，即p2，則拋物線的方程為y24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且lAB：yx，設(shè)M(，y0)，則M到AB的距離為d.因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB的上方，所以y0<0，則d.當(dāng)y0p時(shí)，dmaxp.故SABM的最大值為×4p×pp2.方法二：由(1)知|AB|4p，且lAB：yx，設(shè)與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為yxm，代入拋物線方程，得x22(mp)xm20.由4(mp)24m20，得m.與直線AB平行且與拋物線相切的直線方程為yx，兩直線間的距離為dp，故SABM的最大值為×4p×pp2.