3、b)的所有取值有36個(gè)，其中滿足a＞b的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共15個(gè)，則所求概率為＝，故選A.
答案：A
4．在長為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積大于35 cm2的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：設(shè)AC＝x cm，x∈(0,12)，則CB＝(12－x)cm.當(dāng)x(12－x)＞35時(shí)，解得5＜x＜7，故所求概率是＝，故選B.
答案：B
5．
4、在[－4,4]上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，能使函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上單調(diào)遞增的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：由題意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3.要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率為＝，故選D.
答案：D
6．某公司的班車在7：30,8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：如圖，7：50至8：30之間的時(shí)間長度為4
5、0分鐘，而小明等車時(shí)間不超過10分鐘是指小明在7：50至8：00之間或8：20至8：30之間到達(dá)發(fā)車站，此兩種情況下的時(shí)間長度之和為20分鐘，由幾何概型概率公式知所求概率為P＝＝.故選B.
答案：B
7．某同學(xué)先后投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y，在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：先后投擲兩次骰子的結(jié)果共有6×6＝36種，
而以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x－y＝1上的結(jié)果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3種，故所求概率為＝.
答案：A
6、
8．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品．現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為( )
A．0.4 B．0.6
C．0.8 D．1
解析：設(shè)5件產(chǎn)品中合格品分別為A1，A2，A3,2件次品分別為B1，B2，則從5件產(chǎn)品中任取2件的所有基本事件為：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10個(gè)，其中恰有一件次品的所有基本事件為：A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6個(gè)．故所求的概率為P＝＝0.6.
答案：B
9．從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該
7、正方形邊長的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)共有10種方法，若2個(gè)點(diǎn)之間的距離小于邊長，則這2個(gè)點(diǎn)中必須有1個(gè)為中心點(diǎn)，有4種方法，于是所求概率P＝＝.
答案：B
10．在區(qū)間[－，]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則sin x＋cos x∈[1，]的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：由sin x＋cos x＝sin(x＋)∈[1，]，得≤sin(x＋)≤1，因?yàn)閤∈[－，]，所以在區(qū)間[－，]內(nèi)，滿足sin(x＋)∈[，1]的x∈[0，]，故要求的概率為＝.故選B.
答案：B
11．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)
8、取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于2的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：區(qū)域D表示矩形，面積為3，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離小于2的點(diǎn)位于以原點(diǎn)O為圓心，半徑為2的圓內(nèi)，圖中陰影部分的面積為×1×＋×π×4＝＋，故所求概率為.
答案：D
12．從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為( )
A. B.
C. D.
解析：因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[
9、0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝.
答案：C
二、填空題
13．(2018·長沙長郡中學(xué)檢測)在所有的兩位數(shù)10～99中，任取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被2或3整除的概率是________．
解析：所有兩位數(shù)共有90個(gè)，其中2的倍數(shù)有45個(gè)，3的倍數(shù)有30個(gè)，6的倍數(shù)有15個(gè)，所以能被2或3整除的共有45＋30－15＝60(個(gè))，所以
10、所求概率是＝.
答案：
14．某校有A，B兩個(gè)文學(xué)社團(tuán)，若a，b，c三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇參加其中的一個(gè)社團(tuán)，則三人不在同一個(gè)社團(tuán)的概率為________．
解析：a，b，c三名學(xué)生各自隨機(jī)選擇參加A，B兩個(gè)文學(xué)社團(tuán)中的一個(gè)社團(tuán)，共有8種情況，其中3人同在一個(gè)文學(xué)社團(tuán)中有2種情況，因此3人同在一個(gè)社團(tuán)的概率為＝.由對(duì)立事件的概率可知，三人不在同一個(gè)社團(tuán)的概率為1－＝.
答案：
15．從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．
解析：從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，(a，b)的所有可能結(jié)果有(2,3)，(2,8)，(2,9)
11、，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12種，其中l(wèi)og28＝3，log39＝2為整數(shù)，所以logab為整數(shù)的概率為.
答案：
16．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為________．
解析：甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種的所有可能情況為(紅，白)，(白，紅)，(紅，藍(lán))，(藍(lán)，紅)，(白，藍(lán))，(藍(lán)，白)，(紅，紅)，(白，白)，(藍(lán)，藍(lán))，共9種，他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的所有可能情況為(紅，紅)，(白，白)，
12、(藍(lán)，藍(lán))，共3種．故所求概率為P＝＝.
答案：
B組 大題規(guī)范練
1．《聰明花開——莆仙話挑戰(zhàn)賽》欄目共有五個(gè)項(xiàng)目，分別為“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放獨(dú)步”“正功夫”．《聰明花開》欄目組為了解觀眾對(duì)項(xiàng)目的看法，設(shè)計(jì)了“你最喜歡的項(xiàng)目是哪一個(gè)”的調(diào)查問卷(每人只能選一個(gè)項(xiàng)目)，對(duì)現(xiàn)場觀眾進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)(單位：人)：
和一斗
斗麻利
文儒生
放獨(dú)步
正功夫
115
230
115
345
460
(1)在所有參與該問卷調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取n人座談，其中恰有4人最喜歡“斗麻利”，求n的值及所抽取的人中最喜歡“和一斗”的人數(shù)；
(2)在
13、(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，任選2人參加欄目組互動(dòng)，求恰有1人最喜歡“和一斗”的概率．
解析：(1)由已知得
＝，
解得n＝22.
抽取的人中最喜歡“和一斗”的有115×＝2(人)．
(2)從(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，最喜歡“和一斗”的有2人，分別記為A1，A2，最喜歡“斗麻利”的有4人，分別記為B1，B2，B3，B4.從中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{
14、B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共15種．
其中，恰有1人最喜歡“和一斗”的可能結(jié)果有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A2，B4}，共8種．
故恰有1人最喜歡“和一斗”的概率P＝.
2．(2018·石家莊模擬)某港口有一個(gè)泊位，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r(shí)間(單位：小時(shí))，如果停靠時(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
?？繒r(shí)間
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
輪船數(shù)量
12
15、
12
17
20
15
13
8
3
(1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r(shí)間為a小時(shí)，求a的值；
(2)假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位?？縜小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率．
解析：(1)a＝×(2.5×12＋3×12＋3.5×17＋4×20＋4.5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3)＝4.
(2)設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為x，乙船到達(dá)的時(shí)間為y，
則
若這兩艘輪船在停靠該泊位時(shí)至少有一艘船需要等待，則|y－x|<4，作出示意圖如圖．
所以必須等待的概率P＝1－＝，
故這兩艘輪船中至少有一艘在停
16、靠該泊位時(shí)必須等待的概率為.
3．(2018·惠州第三次調(diào)研考試)在某校舉行的航天知識(shí)競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3，且成績分布在[40,100]，分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按文、理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；
(2)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”.
文科生
理科生
總計(jì)
獲獎(jiǎng)
5
不獲獎(jiǎng)
總計(jì)
200
17、
附表及公式：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2＝.
解析：(1)a＝×[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]＝0.025，
＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69.
(2)2×2列聯(lián)表如下：
文科生
理科生
總計(jì)
獲獎(jiǎng)
5
35
40
不獲獎(jiǎng)
45
115
160
總計(jì)
50
150
18、
200
因?yàn)镵2＝≈4.167>3.841，
所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”．
4．傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識(shí)競賽為主的《中國詩詞大會(huì)》火爆熒屏．某機(jī)構(gòu)組織了一場詩詞知識(shí)競賽，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，從中隨機(jī)抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)與人數(shù)的條形圖．
(1)若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關(guān)？
優(yōu)秀
合格
總計(jì)
19、
大學(xué)組
中學(xué)組
總計(jì)
(2)若參賽選手共6萬名，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；
(3)在優(yōu)秀等級(jí)的選手中選取6名，在良好等級(jí)的選手中選取6名，都依次編號(hào)為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為a，在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為b，求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解(x，y)的概率．
參考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
參考數(shù)據(jù)：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解析：(1)由條形圖可得2×2列聯(lián)表
20、如下：
優(yōu)秀
合格
總計(jì)
大學(xué)組
45
10
55
中學(xué)組
30
15
45
總計(jì)
75
25
100
所以K2的觀測值k＝＝≈3.030<3.841，
所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績優(yōu)秀與文化程度有關(guān)．
(2)由條形圖知，所抽取的100名選手中，優(yōu)秀等級(jí)有75名，所以估計(jì)參賽選手中優(yōu)秀等級(jí)的選手有60 000×＝45 000(名)．
(3)a可從1,2,3,4,5,6中取，有6種取法，b可從1,2,3,4,5,6中取，有6種取法，共有36組，
要使方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解，則≠.易知使＝成立的a，b滿足的實(shí)數(shù)對(duì)有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3組，故滿足≠的實(shí)數(shù)對(duì)的組數(shù)為36－3＝33.故所求概率P＝＝.
2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 保分專題四 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 概率及應(yīng)用練習(xí) 文
