（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)學(xué)案

《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 圓錐曲線與方程 10.3 拋物線及其性質(zhì)學(xué)案（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §10.3　拋物線及其性質(zhì) 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 1.拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用. 2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程. 掌握 15,4分 22(文), 約5分 22(文), 約5分 9,4分 19(1)(文), 6分 15,約4分 2.拋物線的幾何性質(zhì) 1.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 2.理解數(shù)形結(jié)合的思想. 掌握 22(文), 約5分 22(文), 約6分

2、5,5分 20(文), 約7分 19(2)(文), 9分 15,約6分 分析解讀　　1.考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 2.考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及與拋物線有關(guān)的綜合問題. 3.預(yù)計(jì)2019年高考中,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)仍將被考查. 五年高考 考點(diǎn)一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2),則C的方程為(　　) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x

3、 C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 答案　C 2.(2016浙江,9,4分)若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是　　　　.? 答案　9 3.(2017課標(biāo)全國Ⅱ理,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=　　　　.? 答案　6 4.(2015陜西,14,5分)若拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則p=　　　　.? 答案　2 5.(2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(

4、a0)經(jīng)過C,F兩點(diǎn),則=　　　　.? 答案　1+ 考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2015浙江,5,5分)如圖,設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C,其中點(diǎn)A,B在拋物線上,點(diǎn)C在y軸上,則△BCF與△ACF的面積之比是(　　) A. B. C. D. 答案　A 2.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,10,5分)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　B 3.(

5、2017山東理,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　.? 答案　y=±x 4.(2016浙江文,19,15分)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上的點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1. (1)求p的值; (2)若直線AF交拋物線于另一點(diǎn)B,過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點(diǎn)N,AN與x軸交于點(diǎn)M.求M的橫坐標(biāo)的取值范圍. 解析　(1)由題意可得,拋物線上點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)A到直線x=-

6、1的距離,由拋物線的定義得=1,即p=2. (2)由(1)得,拋物線方程為y2=4x,F(1,0),可設(shè)A(t2,2t),t≠0,t≠±1. 因?yàn)锳F不垂直于y軸,可設(shè)直線AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0, 故y1y2=-4,所以,B. 又直線AB的斜率為,故直線FN的斜率為-. 從而得直線FN:y=-(x-1),直線BN:y=-. 所以N. 設(shè)M(m,0),由A,M,N三點(diǎn)共線得 =,于是m=. 所以m<0或m>2. 經(jīng)檢驗(yàn),m<0或m>2滿足題意. 綜上,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞). 5.(2014浙江文,22,1

7、4分)已知△ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),=3. (1)若||=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)求△ABP面積的最大值. 解析　(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2). 由=3,分別得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)

8、為(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由=4y0得k2=-m+. 由Δ>0,k2≥0,得-f, 所以,當(dāng)m=時(shí), f(m)取到最大值,此時(shí)k=±. 所以,△ABP面積的最大值為. 6.(2013浙江文,22,14分)已知拋物線C的頂點(diǎn)為

9、O(0,0),焦點(diǎn)為F(0,1). (1)求拋物線C的方程; (2)過點(diǎn)F作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn).若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點(diǎn),求|MN|的最小值. 解析　(1)由題意可設(shè)拋物線C的方程為x2=2py(p>0),則=1,所以拋物線C的方程為x2=4y. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=kx+1. 由消去y,整理得x2-4kx-4=0, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.從而|x1-x2|=4. 由 解得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM===. 同理點(diǎn)N的橫坐標(biāo)xN=. 所以|MN|=|xM-xN| = =8 =

10、. 令4k-3=t,t≠0,則k=. 當(dāng)t>0時(shí),|MN|=2>2. 當(dāng)t<0時(shí),|MN|=2≥. 綜上所述,當(dāng)t=-,即k=-時(shí),|MN|的最小值是. 7.(2017北京理,18,14分)已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1).過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)求證:A為線段BM的中點(diǎn). 解析　本題考查拋物線方程及性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系. (1)由拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1),得p=. 所以拋物線C的方程為y2=x.

11、 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-. (2)由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k≠0),l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2). 由得4k2x2+(4k-4)x+1=0. 則x1+x2=,x1x2=. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1+-2x1= = ===0, 所以y1+=2x1. 故A為線段BM的中點(diǎn). 8.(2014大綱全國,21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|P

12、Q|. (1)求C的方程; (2)過F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l'與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程. 解析　(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=. 所以|PQ|=,|QF|=+x0=+. 由題設(shè)得+=×, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程為y2=4x.(5分) (2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|A

13、B|=|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率為-m, 所以l'的方程為x=-y+2m2+3. 將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0. 設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中點(diǎn)為E, |MN|=|y3-y4|=.(10分) 由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2, 即4(m2+1)2++=. 化簡(jiǎn)得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)

14、教師用書專用(9—10) 9.(2013安徽,13,5分)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為　　　　.? 答案　[1,+∞) 10.(2013江西,14,5分)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線-=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=　　　　.? 答案　6 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江“超級(jí)全能生”聯(lián)考(3月),4)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,若拋

15、物線上的點(diǎn)A(-1,a)與焦點(diǎn)F的距離為2,則a=(　　) A.4 B.4或-4 C. -2 D.-2或2 答案　D 2.(2017浙江杭州二模(4月),7)設(shè)傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,點(diǎn)B在x軸下方.若=m,則cos α的值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 3.(2018浙江名校協(xié)作體期初,15)已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若=,則||=　　　　.? 答案　5 4.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考(4月),11)已知拋物線y2=-2px過點(diǎn)

16、M(-2,2),則p=　　　　,準(zhǔn)線方程是　　　　.? 答案　1;x= 5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,19)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F(0,1),過O作斜率為k(k≠0)的直線l交拋物線于A(異于O點(diǎn)),已知D(0,5),直線AD交拋物線于另一點(diǎn)B. (1)求拋物線C的方程; (2)若OA⊥BF,求k的值. 解析　(1)由題意知,=1,所以p=2,所以拋物線C:x2=4y.(6分) (2)由題意知,直線OA:y=kx,將其代入拋物線方程:x2=4y中, 消去y,得x2-4kx=0,則A(4k,4k2).(8分) 直線AB:y=x+5,直

17、線BF:y=-x+1,(10分) 聯(lián)立可解得B. (12分) 又因?yàn)锽在拋物線C上,則=4×,(13分) 得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=±.(15分) 考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì) 6.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,6)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,O為原點(diǎn),若M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值為(　　) A. B. C. D. 答案　C 7.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷(五),12)已知拋物線x2=4y,則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　;過焦點(diǎn)斜率為1的直線與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),則|PQ|=　　　　.? 答案　(0,1);8 8.(2016浙江寧波二模,19)在“20

18、16”的Logo設(shè)計(jì)中,有這樣一個(gè)圖案:.其由線段l、拋物線弧E及圓C三部分組成.對(duì)其進(jìn)行代數(shù)化的分析,如圖建系,發(fā)現(xiàn):圓C方程為(x-4)2+y2=16,拋物線弧E:y2=2px(p>0,y≥0,0≤x≤8),若圓心C恰為拋物線y2=2px的焦點(diǎn),線段l所在的直線恰為拋物線y2=2px的準(zhǔn)線. (1)求p的值及線段l所在的直線方程; (2)P為圓C上的任意一點(diǎn),過P作圓的切線交拋物線弧E于A、B兩點(diǎn),問是否存在這樣的點(diǎn)P,使得弦AB在l上的投影的長(zhǎng)度與圓C的直徑之比為4∶3?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 解析　(1)由題意易得p=8,線段l所在直線方程為x=-4.(

19、5分) (2)假設(shè)存在這樣的P點(diǎn),設(shè)P(x0,y0)(0≤x0≤8), 則切線方程為(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分) 將其與拋物線方程y2=16x聯(lián)立,顯然x0≠4,y0>0. 整理得y2+y0y-4x0=0,(9分) 設(shè)點(diǎn)A、B在l上的投影分別為M,N. 由題意可得|MN|=|yA-yB|==, 解得x0=1(x0=16舍去). 此時(shí)P(1,),則yA,B=(±2),(11分) 因?yàn)閽佄锞€弧的右上端點(diǎn)坐標(biāo)為(8,8), 且(+2)>8,故此時(shí)的P不滿足條件,即這樣的P點(diǎn)不存在.(15分) B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　

20、　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),7)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(p,0)的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若=2,則=(　　) A.2 B. C. D.與p有關(guān) 答案　B 二、填空題 2.(2017浙江名校(鎮(zhèn)海中學(xué))交流卷二,13)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,P,R為拋物線上的點(diǎn),若|PF|=4,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　;若直線RF與拋物線的另一交點(diǎn)為Q,且△RQO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的重心在直線y=x上,則直線RF的斜率是　　　　.　? 答案　(3,±2);2或1 3.(2017浙江臺(tái)州4月調(diào)研卷(一模),15)過拋

21、物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線與拋物線及其準(zhǔn)線分別交于A,B,C三點(diǎn),若=4,則||=　　　　.? 答案　 4.(2017浙江名校新高考研究聯(lián)盟測(cè)試一,11)已知拋物線C:y2=2x,若C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為,則△OFM的面積是　　　　.? 答案　1 三、解答題 5.(2018浙江名校協(xié)作體期初,21)如圖,已知拋物線C1:x2=2py的焦點(diǎn)在拋物線C2:y=x2+1上,點(diǎn)P是拋物線C1上的動(dòng)點(diǎn). (1)求拋物線C1的方程及其準(zhǔn)線方程; (2)過點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線,A、B為兩個(gè)切點(diǎn),求△PAB面積的最小值. 解析　(1)C1的方程為x2=4y,(3分)

22、 其準(zhǔn)線方程為y=-1.(5分) (2)設(shè)P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2), 則切線PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切線PB的方程為y=2x2x+2-y2,又切線PA和PB都過P點(diǎn),所以所以直線AB的方程為4tx-y+2-t2=0.(9分) 聯(lián)立得x2-4tx+t2-1=0,所以 所以|AB|=|x1-x2|=.(11分) 點(diǎn)P到直線AB的距離d==.(13分) 所以△PAB的面積S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1, 所以當(dāng)t=0時(shí),S取得最小值,為2.即△PA

23、B面積的最小值為2.(15分) 6.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,21)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F,且與C交于M,N兩點(diǎn). (1)當(dāng)l與y軸垂直時(shí),△OMN的面積為2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求此時(shí)拋物線C的方程; (2)過M,N分別作拋物線C的兩條切線交于點(diǎn)P,當(dāng)直線l變化時(shí),證明:P點(diǎn)在一條定直線上,并且以MP為直徑的圓過定點(diǎn). 解析　(1)當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí),|MN|=2p,S△OMN=·2p·==2,因此p=2, 所以此時(shí)拋物線C的方程為x2=4y.(4分) (2)證明:由題意知,直線l的斜率必存在,設(shè)l的方程為y=kx+,M(x1,

24、y1),N(x2,y2),P(xP,yP). 由x2=2py,得y=x2,所以y'=x, 所以切線PM的斜率為x1,PM的方程為y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y). 同理,PN的方程為x2x=p(y2+y). 聯(lián)立消去x,得y===-, 故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值,所以點(diǎn)P在定直線y=-,即拋物線的準(zhǔn)線上.(12分) 把yP=-代入x1x=p(y1+y),得xP==pk,所以P, 又因?yàn)镕,所以kPF=-. 于是PF⊥MN,亦即∠PFM=90°, 所以以PM為直徑的圓過定點(diǎn)F.(15分) C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

25、的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江名校協(xié)作體期初,9)雙曲線C:-y2=1的漸近線方程是　　　　;若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合,則p=　　　　.? 答案　y=±x;4 2.(2016浙江嘉興第一中學(xué)能力測(cè)試,20)已知拋物線x2=2py(p>0)與直線3x-2y+1=0交于A,B兩點(diǎn),|AB|=,點(diǎn)M在拋物線上,MA⊥MB. (1)求p的值; (2)求點(diǎn)M的坐標(biāo). 解析　(1)將y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0, 由|AB|=及p>0得p=. (2)由(1)得A(1,2),B,拋物線方

26、程為y=2x2. 設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),由MA⊥MB得·=0, 即(x0-1)+(y0-2)=0, 將y0=2代入得(x0-1)+4(x0-1)(x0+1)·=0, 又x0≠1且x0≠-,所以1+4(x0+1)=0,解得x0=0或x0=-, 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)或. 方法2　拋物線的幾何性質(zhì)的解題策略 3.(2016“江南十?！毙畔?yōu)化卷,13)經(jīng)過拋物線y2=2px(p≠0)的頂點(diǎn)O作兩條弦OA和OB,若弦OA、OB所在直線的斜率k1、k2恰好是方程x2+6x-4=0的兩個(gè)根,則直線AB的斜率為　　　　.? 答案　 方法3　與拋物線有關(guān)的綜合問題的解題策略 4.

27、(2016浙江模擬訓(xùn)練卷(三),19)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(-1,0)且斜率為k的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且∠AFB為銳角. (1)求k的取值范圍; (2)求△AFB面積的取值范圍. 解析　(1)顯然k≠0,直線l的方程為y=k(x+1), 由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0. 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則有x1+x2=-,x1x2=1. 顯然A,F,B三點(diǎn)不共線,故∠AFB為銳角等價(jià)于·>0. 而·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)·(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=2k2+2+, 從而有2k2+2+>0,即有k2>. 由Δ=4(k2-2)2-4k4>0,得k2<1. 則有